[minicursus] differentiëren

[Prof. Algebra]

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen .


Als je van deze cursus gebruik maakt, willen we je vriendelijk vragen te laten weten wat je er van vond:

• Geef eventuele foutjes aan;
• Zijn de onderdelen soms onduidelijk, of net erg helder?
• Ontbreken er volgens jou stukken, of heb je suggesties?
• ...

Reageren kan in vragen en opmerkingen over de cursus . We wensen je veel plezier en succes met cursus.


---------------------------------------------------------------------------------------


[minicursus] DIFFERENTIËREN


Aan deze minicursus hebben de volgende mensen gewerkt:

Bart, Math, Rogier en sdekivit


Inhoud

• Les 1 : Formeel Differentieren
• Les 1a : Raaklijnen
• Les 1b : Formele Afleidingen
• Les 2 : Lineairiteit
• Les 2a : Maxima / Minima
• Les 3 : Productregel
• Les 4 : Quotientregel
• Les 5 : Kettingregel
• Les 5a : Bewijs kettingregel
• Les 6 : Hogere afgeleiden

[Prof. Algebra]

Les 1 : Formeel differentieren


Definitie: Differentieren is een wiskundige methode om de verandering van een functie te bepalen ten opzichte van een argument van die functie. De nieuwe functie die ontstaat na het differentieren heet afgeleide.


Klinkt moeilijk? Valt allemaal best mee. Laten we eens kijken naar een eenvoudig voorbeeldje. We rijden in een auto die een afstand van 100 meter aflegt in 10 seconden. De afstand die door ons wordt afgelegd is dus afhankelijk van de tijd. Na 10 seconden hebben we immers 100 meter afgelegd, maar na 20 seconden is dit natuurlijk 200 meter. De afgelegde afstand (die we uitdrukken als x) is dus een functie van het argument tijd (uitgedrukt als t. Dit noteren wij als x(t). De verandering van x per tijdseenheid is de afgeleide van x. Deze afgeleide is in dit probleem niks anders dan de snelheid van de auto. Hoe berekenen we nu deze snelheid?

De snelheid berekenen we door de verandering van x te delen door de verandering van t. Dit wordt genoteerd als:



waarbij het symbool wordt gebruikt om een verschil aan te duiden. In dit voorbeeld is de snelheid van de auto dus 100 m / 10 s = 10 m/s.


Laten we nu een functie y(x) kiezen die continue is (dat wil zeggen dat je de grafiek kunt tekenen zonder je potlood van het papier te halen). We willen nu de verandering tussen het punt (x, y(x)) en een ander naburig punt (x + h, y(x + h)) berekenen. Het verschil van x is dan:




en het verschil van y is dan




De verandering of afgeleide van de functie y op dit traject (domein) is dan:




Waar we bij de voorgaande voorbeelden vanuit zijn gegaan is dat de grafiek op het gekozen domein een rechte lijn was. Meestal zijn functies veel complexer en werkt deze methode niet.

Bekijk eens de volgende grafiek (blauw), die een kwadratische functie voorstelt.



Stel dat we de verandering of steilheid van de blauwe lijn in het bovenstaande figuur willen berekenen in het punt P. Deze steilheid wordt weergegeven door de rode lijn. Omdat de steilheid varieert met het gekozen punt, kunnen we niet zomaar een tweede naburig punt (x + h) kiezen om de steilheid uit te rekenen.

Dit punt kiezen we nu zo dat deze heel dicht bij het orginele punt P ligt. De afstand h wordt dus zo klein dat deze in feite nul wordt. We zeggen dan dat de limiet van h naar nul gaat. De formele definitie voor het bepalen van de afgeleide van elke willekeurige (continue) functie wordt nu:




Deze vergelijking is tegelijkertijd ontdekt door Newton en Leibniz. De notatie df/dx is de gebruikelijke notatie voor de afgeleide, maar wordt meestal afgekort tot f'(x).


Stel we hebben de functie f(x) = x², waarvan we de afgeleide willen berekenen een willekeurig punt x. Dit doen we als volgt:




Op deze manier zijn veel algemenere functies te differentieren. Er volgt nu een lijst met algemene functies en hun afgeleides. Omdat het bepalen van deze afgeleides via de formele definitie meestal vrij veel wiskunde is, zullen de afleidingen worden behandeld in les 1b.

• Voor een polynoom f(x) = xⁿ (n ongelijk aan nul is de afgeleide f'(x) = n x^n-1
• Voor een constant getal geldt dat de afgeleide hiervan nul is.
• De afgeleide van de functie e^x is zichzelf. Dit is immers de definitie van het natuurlijke grondgetal e (~ 2.7).
• De afgeleide van de natuurlijke logaritme ln(x) is 1/x
• Voor de cosinus en sinus geldt dat ze elkaars tegenpolen zijn:
  
  f(x) = sin(x) -> f'(x) = cos(x)
  
  f(x) = cos(x) -> f'(x) = -sin(x)

[Prof. Algebra]

Les 1a : Raaklijnen


In de vorige les hebben we de volgende grafiek gebruikt om de definitie van differentieren af te leiden.




Hierin is de blauwe lijn een willekeurige functie f. De rode lijn wordt raaklijn genoemd. Om precies te zijn, de raaklijn van de functie f in het punt P. Een raaklijn heeft twee kenmerken.

• De afgeleide van de functie in het punt P is gelijk aan de afgeleide van de raaklijn van diezelfde functie in hetzelfde punt.
• De raaklijn gaat door het punt P heen.

Met deze twee kenmerken kunnen we een raaklijn van een bepaalde functie in een bepaald punt uitrekenen.

Stel we hebben een functie f(x). We willen de raaklijn bepalen in het punt P, die coordinaten (x₀, f(x₀)) heeft. Een raaklijn is --- zoals de naam al zegt --- een eerstegraads polynoom (een rechte lijn), die geschreven kan worden als

y(x) = ax + b


Laten we eerst kijken naar het eerste kenmerk van de raaklijn. Deze zegt dat de afgeleiden van de raaklijn en de functie zelf in het punt P gelijk zijn. Oftewel y'(x₀) = f'(x₀). De afgeleide van y(x) is y'(x) = a. Daarmee hebben we dus de eerste onbekende gevonden.


Het tweede kenmerk zegt dat de raaklijn door het punt P gaan. Op x = x₀ zijn dus de functiewaarden van f en y dus gelijk.

y(x₀) = ax₀ + b = f(x₀).


Hieruit kan de onbekende b worden gehaald:

b = f(x₀) - ax₀


Met de twee onbekenden gevonden, kunnen we nu de raaklijn opstellen.

y(x) = ax + b = ax + f(x₀) - ax₀

y(x) = a(x - x₀) + f(x₀) = (x - x₀) f'(x₀) + f(x₀)


Een voorbeeld: Stel de raaklijnen op van de functie g(x) = x³ in de punten x = 2 en x = -1

Laten we beginnen met het punt x = 2. De functiewaarde g in dit punt is g(2) = 8. Nu moeten we nog de helling van g weten in het punt x = 2. De afgeleide van g is eenvoudigweg g'(x) = 3x², waaruit dus volgt dat g'(2) = 12.

De raaklijn is dan y(x) = (x - 2) * 12 + 8 = 12x - 16


Nu nog het punt x = -1.

g(-1) = -1

g'(-1) = 3

w(x) = (x + 1) * 3 - 1 = 3x + 2

[Prof. Algebra]

Les 1b : Formele afleidingen


Deze les behandeld de formele afleidingen van de afgeleiden zoals deze in de eerste les zijn gegeven. Deze les is niet noodzakelijk om de rest van de minicursus te volgen, want het wiskundeniveau ligt in deze les vrij hoog.


Als eerste bekijken we de polynoom.




Waar C(n,k) de binomiale coefficienten zijn, die volgen uit het uitschrijven van (x + h)ⁿ:




We gaan de uitdrukking vereenvoudigen en komen tot het antwoord




De tweede afleiding die we bekijken is die van de constante




De sinus en cosinus hangen met elkaar samen. Er is gekozen om de afgeleide uit te rekenen met behulp van de Taylor reeks van de sinus en cosinus. Een andere manier om het af te leiden is met complexe e-machten.




en de cosinus gaat op dezelfde manier.

[Prof. Algebra]

Les 2 : Lineairiteit


In deze en de komende lessen gaan we een aantal regels of 'truukjes' behandelen die bij het differentiëren van pas komen. Het komt heel vaak voor dat je de afgeleide wel weet van een bepaalde basisfunctie, maar dat je de afgeleide nodig hebt van een andere functie, die op de één of andere manier op die eerste functie is gebaseerd.


In deze les beginnen we met de makkelijkste gevallen, de lineaire combinaties. Hier alvast de regels waar het in deze les om gaat, daarna de uitwerking:

• de afgeleide van c·f(x) = c·f'(x)
• de afgeleide van f(x)+c = f'(x)
• de afgeleide van f(x)+g(x) = f'(x)+g'(x) (de "somregel")

Nu de uitleg achter deze regels. Stel dat je een bepaalde functie hebt, die we even f(x) noemen, en je kent zijn afgeleide f'(x). Kun je nu ook bepalen wat de afgeleide van 3·f(x) is? Of van f(x)+2? En als je nog een andere functie g(x) hebt waarvan je ook de afgeleide kent, wat is dan de afgeleide van f(x)+g(x)?


Zometeen gaan we dit wiskundig aanpakken, maar eerst bekijken we even wat plaatjes om vast een idee te krijgen wat je eigenlijk van de uitkomst kunt verwachten.


Zoals je weet is de afgeleide f'(x) de helling van de grafiek van f(x). Hoe steiler de grafiek, hoe steiler de raaklijn, hoe groter de helling, en dus hoe groter f'(x) is. In dit voorbeeld zie je een functie, waarbij we de helling in een bepaald punt bepalen: (zie les 1b)





Wat de formule van f(x) precies is, doet er even niet toe.


Nu bekijken we de functie 3*f(x):





Hoe zou de raaklijn aan datzelfde punt op de grafiek van 3*f(x) (groen) zich verhouding tot die van f(x) (rood) ?


Zie hier de raaklijnen aan beide grafieken:




Uit het plaatje blijkt het al een beetje: als je een functie maal drie doet, wordt zijn grafiek en dus de raaklijn ook drie keer zo steil, dus f'(x) drie keer zo groot. En inderdaad zal blijken dat de afgeleide van 3·f(x) ook 3·f'(x) is.


Nu het optellen van een constant getal. Zie hier de functie f(x)+2:




Wederom bekijken we hoe de helling van de nieuwe grafiek (blauw) zich verhoudt tot de helling van de oorspronkelijke functie f(x):





Je ziet in het plaatje dat de grafiek van f(x)+2 weliswaar hoger ligt dan die van f(x), maar niet steiler. De raaklijnen zijn even steil, dus je zou verwachten dat de afgeleide van f(x)+2 hetzelfde is als die van f(x).


Nu gaan we het officieel uitrekenen. Stel dat je f'(x) weet, wat is dan de afgeleide van g(x) = c·f(x) waarbij c een constant getal is? (in het voorbeeld was c=3)




Merk op dat je hiermee natuurlijk ook de afgeleide van f(x)/c kunt bepalen: dat is gewoon de functie (1/c)·f(x) dus de afgeleide is f'(x)/c.


En hetzelfde voor g(x) = f(x)+c, de afgeleide daarvan is:




Tenslotte de somregel: als je twee functies f(x) en g(x) hebt, en je kent hun afgeleide, en je maakt een nieuwe functie s(x) = f(x)+g(x), dan is de afgeleide van die nieuwe functie:




Deze drie kun je combineren tot één algemene regel:

De afgeleide van a·f(x)+b·g(x)+c (met a,b,c reële getallen) is a·f'(x)+b·g'(x).

[Prof. Algebra]

Les 2a : Maxima / Minima


In deze les gaan we bekijken hoe je via differentiëren minimale en maximale waarden van een functie kunt vinden, ook wel extreme punten of "extremen" genaamd.


Hier vast in het kort de werkwijze waar we naartoe werken, daarna volgt de uitleg:

• Bepaal f'(x)
• Bereken de nulpunten van f'(x)
• Maak een tekenschema van f'(x)
• Lees de minima en maxima af

Inleiding: wat zijn minima en maxima?


Een minimum of maximum van een functie is een punt waar de functie een zo klein of groot mogelijke waarde aanneemt. In de grafiek van een functie komt dat overeen met een berg of een dal. Voorbeeld:





Punt A is hier een minimum van de functie f.

Net zo is punt B een maximum van g.


Lokaal


Heel vaak gaat het om lokale minima en maxima, dat wil zeggen dat zo'n punt minimaal of maximaal is voor de omgeving van dat punt. Voorbeeld:





De punten A en C zijn hier allebei lokale minima, en punt B is een lokaal maximum. Hoewel de functie verderop nog groter wordt dan B, en rondom C ook lager ligt dan in A, noemen we de punten wel lokale minima en maxima, omdat de functie in de buurt van die punten daar minimaal of maximaal wordt.

"In de buurt" moet je opvatten als dat er een gebiedje om zo'n punt heen ligt (ook al is het een heel klein gebiedje) waarbinnen dat punt minimaal of maximaal is.


Helling, raaklijn en afgeleide


Nu bekijken we een grafiek van een andere functie, waarin een minimum, een maximum, en enkele raaklijken staan aangegeven:





Zoals je ziet stijgt de functie links van een maximum, en daalt hij rechts ervan. En bij een minimum omgekeerd. Op de extreme punten zelf is de grafiek plat. Dat is logisch, als de functie in een bepaald punt stijgt of daalt (dus niet plat is) ligt de grafiek ietsje naast dat punt altijd hoger, en aan de andere kant lager, en dus zou dat punt ook geen minimum of maximum zijn.


In het volgende plaatje staat in het blauw de grafiek van f'(x):





Zoals je weet en wellicht in het plaatje ook kunt zien, is f'(x) de helling van f(x). Dus hoe groter f'(x), hoe steiler f(x) oftewel hoe harder f(x) stijgt, en hoe kleiner (negatief) f'(x) is, hoe harder f(x) daalt. Als f'(x) nul is, dus waar zijn grafiek door de x-as gaat, is de grafiek van f(x) plat: een helling van nul betekent geen stijging of daling. Je ziet in het plaatje dat dit het geval is in x=1 en x=4.


De platte stukken van f(x), en dus de (mogelijke) minima en maxima van f(x), komen dus overeen met de nulpunten van f'(x)!


Nu maken we iets wat we een tekenschema van f'(x) noemen: we geven de nulpunten aan, dat wil zeggen de x'en waarvoor f'(x)=0, en er tussenin geven we aan of f'(x) daar positief (+) of negatief (-) is:





Aan zo'n tekenschema kun je nu de minima en maxima van f(x) uitlezen! Let op: een nulpunt kan een extreem punt zijn, maar dat hoeft niet! Als het teken links van het nulpunt anders is dan rechts, dan heb je te maken met een minimum of maximum.


Als f'(x) links van het nulpunt positief is en rechts negatief, dan steeg de functie f(x) dus eerst en daarna daalde hij weer, dus is het nulpunt van f'(x) een maximum van f(x). Als f'(x) links daalde, en rechts weer steeg, dan is het nulpunt van f'(x) blijkbaar een minimum van f(x).


Je kunt ook zo'n situatie hebben:





Het bijbehorende tekenschema is:





Hier zie je dat f'(2) weliswaar 0 is, dus op x=2 ligt een nulpunt van f'(x), maar zowel links als rechts van het nulpunt is f'(x) positief! De functie f(x) stijgt dus, stopt dan even in één punt (in x=2) met stijgen, en stijgt daarna weer verder. In dat geval is er dus géén sprake van een minimum of maximum!


De algemene werkwijze bij het bepalen van extreme punten van een functie zal nu wel duidelijk zijn:

• Differentieer de functie, zodat je in ieder gewenst punt de helling kunt bepalen.
• Zoek de nulpunten van de afgeleide, hier kunnen zich mogelijk minima en maxima bevinden.
• Zet een tekenschema op, geef de nulpunten aan, en bepaal het teken (+ of -) van de afgeleide in de tussengelegen gebieden. Dit doe je door gewoon een willekeurig tussenliggend punt in f'(x) in te vullen: als f'(x) bijvoorbeeld nulpunten heeft op x=0 en x=5, vul je x=1 of x=2 of x=pi.gif of wat dan ook in, alles wat tussen 0 en 5 ligt is goed om het teken van f'(x) te bepalen in dat gebied.
• Bekijk nu of er nulpunten zijn waar f'(x) van teken wisselt: links + en rechts - is een maximum, omgekeerd is een minimum. Aan beide kanten hetzelfde teken wil zeggen: geen mimimum of maximum.

Een voorbeeld


Bepaal van de functie f(x) = x³-9x²+15x-4 de lokale minima en maxima.


Oplossing:

Eerst differentiëren: f'(x) = 3x²-18x+15

Nulpunten van f'(x) uitrekenen: f'(x) = 3x²-18x+15 = 0, dit los je op door hem te herschrijven naar 3(x-1)(x-5) of desnoods met de abc-formule, de oplossingen zijn x=1 en x=5.

In het tekenschema vullen we uit ieder gebied (dus x<1, 1<x<5, en x>5) een willekeurige waarde in om het teken te bepalen.

Bijvoorbeeld f'(0) = 15 = positief, f'(2) = -9 = negatief, f'(6) = 15 = positief.

Het tekenschema wordt dus:





Conclusie: f(x) heeft een maximum op x=1, en een minimum op x=5.

De waarden in deze extreme punten krijg je door deze x'en in f(x) in te vullen: f(1)=3 en f(5)=-29.

[Prof. Algebra]

Les 3 : De productregel


De productregel gebruiken we wanneer we een functie moeten differentiëren die bestaat uit een product van twee functies:


p(x) = f(x) * g(x)


Uitgaande van de algemene definitie van de afgeleide kunnen we een regel opstellen om functies van bovenstaande vorm te kunnen differentiëren. De algemene definitie van de afgeleide was:





De afgeleide voor een productfunctie komt er dan als volgt uit te zien:





Om de productregel verder te kunnen afleiden, moeten we nu in de teller ‘– f(x + h) * g(x) + f(x + h) * g(x)’ toevoegen. Merk op dat we in totaal 0 toevoegen aan de teller. We verkrijgen nu:





Vervolgens splitsen we deze breuk:





In het linkerquotiënt kunnen we nu f(x + h) buiten haakjes halen. Hetzelfde doen we in het rechterquotiënt voor g(x). Dit resulteert in:





Laten we nu h naar 0 naderen, verkrijgen we de productregel:


p ‘(x) = f(x) * g ‘(x) + f ‘(x) * g(x) oftewel f ‘(x) * g(x) + f(x) * g ‘(x)


De productregel kunnen we voor iedere productfunctie gebruiken, maar vaak kun je een productfunctie vereenvoudigen. Een paar voorbeelden:


p(x) = x * ln (x)


In deze functie noemen f(x) = x en g(x) = ln x. De afgeleiden van deze functies zijn

f '(x) = 1 en g '(x) = 1/x. Nu hebben we alle 'brokstukjes' voor de productregel en dus krijgen we:




p '(x) = 1 * ln (x) + x * 1/x


Deze afgeleide kunnen we gaan vereenvoudigen, want x * 1/x = x/x = 1:


p '(x) = ln (x) + 1


Een ander voorbeeld:


p(x) = (x – 1) * (4x⁴ – 7x³ + 2x² – 5x + 8 )


We noemen f(x) = x – 1 en g(x) = 4x⁴ – 7x³ + 2x² – 5x + 8. Vervolgens differentiëren we deze twee functies: f '(x) = 1 en g '(x) = 16x³ – 21x² + 4x – 5. Dit kunnen we weer invullen in de productregel.


p '(x) = 4x⁴ – 7x³ + 2x² – 5x + 8 + [(x – 1) * (16x³ – 21x² + 4x – 5)]


Door de haakjes weg te werken krijgen we:


p '(x) = 4x⁴ – 7x³ + 2x² – 5x + 8 + 16x⁴ – 21x³ + 4x² – 5x – 16x³ + 21x² – 4x + 5



p '(x) = 20x⁴ – 44x³ + 27x² – 14x + 13


Ook quotiëntfuncties kunnen met de productregel worden opgelost (in les 4 zullen we ook voor quotiëntfuncties een regel opstellen):


q(x) = sin (x) / x


Door gebruik te maken van de regel 1 / aⁿ = a^-n kunnen we q(x) ook schrijven als:




q(x) = sin (x) * x^-1


Nu noemen we f(x) = sin (x) en g(x) = x^-1. Deze functies differentiëren we weer en we krijgen f '(x) = cos (x) en g '(x) = - x^-2


Invullen in de productregel levert dan:


q '(x) = cos (x) * x^-1 - sin (x) * x^-2


q '(x) = [x * cos (x) - sin (x)] / x²

[Prof. Algebra]

Les 4: De quotiëntregel


In de vorige les hebben we kunnen zien dat als we een functie p(x) hebben dat bestaat uit een product van twee functies f(x) en g(x), dat we de kettingregel moeten gebruiken om f(x) te differentiëren. We hebben ook al kunnen zien dat we een quotiëntfunctie met de productregel kunnen differentiëren met behulp van de regel 1/aⁿ = a^-n. Is er een regel waarmee we direct een quotiëntfunctie q(x) kunnen differentiëren?


Ja, deze regel heet de quotiëntregel en kunnen we gebruiken voor alle functies q(x) die bestaan uit een quotiënt van de functies f(x) en g(x):


q(x) = f(x) / g(x)


De quotiëntregel kunnen we op twee manieren bewijzen, gebruikmakend van de eerder beschreven productregel. De eerste manier is door van bovenstaande functie een product te maken door het linkerlid en het rechterlid te vermenigvuldigen met g(x). Hierdoor verkrijgen we:


f(x) = q(x) * g(x)


Het is nu eenvoudig om f(x) te differentiëren met behulp van de productregel:


f '(x) = [q '(x) * g(x)] + [q(x) * g '(x)]


Maar we willen de afgeleide van q(x) berekenen. We zullen dus bovenstaande vergelijking om moeten werken naar q '(x) = …:


[q '(x) * g(x)] = f '(x) – [q(x) * g '(x)]


Hieruit volgt dat q '(x) is:


q '(x) = [f '(x) – [q(x) * g '(x)]] / g(x)


We moeten nu alleen van die q(x) in deze vergelijking af komen. Hiervoor kunnen we een simpele substitutie toepassen. We zagen immers dat q(x) = f(x) / g(x). We verkrijgen nu:


q '(x) = [f '(x) – [[f(x) / g(x)] * g '(x)] / g(x)


In de teller blijft nu een breuk staan. Deze werken we weg door teller en noemer te vermenigvuldigen met g(x). We verkrijgen hierdoor de quotiëntregel:


q '(x) = [[f '(x) * g(x)] – [f(x) * g '(x)]] / g²(x)


Een tweede manier, is q(x) schrijven als f(x) * g^-1(x). We kunnen g^-1(x) nog niet differentiëren. De kettingregel komt later aan bod.


Als voorbeeld beginnen we met de quotiëntfunctie q(x) die we tegenkwamen in de vorige les:


q(x) = sin (x) / x


We noemen f(x) = sin (x) en g(x) = x. Nu kunnen we de brokstukjes voor de quotiëntregel berekenen: f '(x) = cos (x); g '(x) = 1 en g²(x) = x². We vullen dit in in de quotiëntregel:


q '(x) = [[cos (x) * x] – [sin (x) * 1]] / x²


We werken vervolgens de haakjes weg en verkrijgen dan, net als bij de productregel:


q '(x) = [x * cos (x) – sin (x)] / x²


Nog een voorbeeld:


q(x) = (e^x – 1) / (e^x + 1)


We noemen f(x) = e^x – 1 en g(x) = e^x + 1. De brokstukjes voor de quotiëntregel worden dan: f '(x) = e^x; g '(x) = e^x en g²(x) = (e^x + 1)². Hieruit volgt q '(x):


q '(x) = [[e^x(e^x + 1)] – [e^x(e^x – 1)]] / (e^x + 1)²


We vereenvoudigen dit door in de teller de haakjes weg te werken.


q '(x) = [e^2x + e^x – [e^2x – e^x]] / (e^x + 1)² = 2e^x / (e^x + 1)²


Met de quotientregel kunnen we ook de afgeleide bepalen van f(x) = tan (x). Deze functie kan ook worden geschreven als q(x) = sin (x) / cos (x). De afgeleide van tan (x) bepalen we dan met de quotiëntregel. We noemen f(x) = sin (x) en g(x) = cos (x). De brokstukjes voor de quotiëntregel worden dan f '(x) = cos (x); g '(x) = -sin (x) en g²(x) = cos² (x). De afgeleide van f(x) = tan (x) wordt dan:


q '(x) = [[cos (x) * cos (x)] – [sin (x) * -sin (x)] / cos² (x)


q '(x) = [cos² (x) + sin² (x)] / cos² (x)


Dit kunnen we op twee manieren opschrijven. We kunnen allereerst gebruik maken van de goniometrische regel sin² (x) + cos² (x) = 1. We vinden dan q '(x) = 1 / cos² (x).

Een tweede manier is de breuk te splitsen en vervolgens te vereenvoudigen:


q '(x) = [cos² (x) / cos² (x)] + [sin² (x) / cos² (x)] = 1 + tan² (x).

[Prof. Algebra]

Les 5: De Kettingregel


De kettingregel is misschien wel een van de moeilijkste regels van differentieren. Hij wordt gebruikt bij functies die zich in functies bevinden. Dit kan betekenen dat bijvoorbeeld een functie g niet alleen afhangt van x, maar ook van de functie f(x): g = g[f(x)]. Een voorbeeld hiervan is g(x) = sin(x²). We kennen inmiddels de functie sin(x) wel en weten ook dat de afgeleide daarvan cos(x) is. Maar hoe zit het dus met de functie sin(x²)?


Het bewijs van de kettingregel zal in les 5a worden behandeld, omdat deze nogal complex is. De kettingregel kan wiskundig geschreven worden als:




of




Laten we beginnen met onze voorbeeldfunctie g(x) = sin(x²). We nemen nu f = x², waardoor de functie veranderd in g[f(x)] = sin[f(x)]

De afgeleide van g(x) naar f(x) is simpelweg de cosinus van f(x). Maar voor de afgeleide van g(x) naar x wordt deze nog vermenigvuldigd met de afgeleide van f(x) naar x. Deze laatste is natuurlijk 2x, waardoor we het uiteindelijke antwoord vinden:

g(x) = sin(x²)

g'(x) = 2 x cos(x²)


Nog een voorbeeldje.

h(x) = (2 x³ - 3 x⁵)²


De termen tussen haakjes kiezen we als f(x). We krijgen dan als afgeleide:

h'(x) = 2 (2 x³ - 3 x⁵) * (6 x² - 15 x⁴)


Nu ken je alle regels van het differentieren.

[Prof. Algebra]

Les 5a: De Kettingregel - bewijs


Deze les zal het bewijs geven voor de kettingregel. Dit is geen vereiste stof voor de minicursus en zal niet al te makkelijk zijn.


Voor het bepalen van de afgeleide van g[f(x)] naar x maken we gebruik van de

limietstelling voor differentieren, zoals deze in de eerste les is behandeld.


(1)


voor h->0.

Voor f(x) geldt dat:


(2)


waarbij v nul wordt als h naar nul gaat. We kunnen f(x+h) nu definieren als


(3)


en zo ook voor g


(4)


waarbij w gedefinieerd is als





Combineren we nu vergelijking (1) en (3) dan krijgen we:





Gebruik makend van vergelijking (4) volgt hieruit







Met de limiet h->0 volgt dat v->0 en w->0, met als eindresultaat:

[Prof. Algebra]

Les 6 : Hogere afgeleiden


Met het berekenen van hogere afgeleiden bedoelen we dat we een gedifferentieerde functie nogmaals differentiëren.


Voorbeeld 1:




Voorbeeld 2:




We gebruiken ook andere notaties voor de tweede (of derde of nog hogere) afgeleide;




Meetkundig kunnen we aan hogere afgeleiden relatief eenvoudig een betekenis geven.

Met de eerste afgeleide van functie f bereken je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan f. Als je deze gelijk aan nul stelt, dan zijn de toppen van f te bepalen omdat daar de richtingscoëfficiënt gelijk is aan nul (raaklijn loopt horizontaal). Is de eerste afgeleide positief voor x = a, dan is de grafiek van f stijgend in x = a. Is de eerste afgeleide negatief voor x = a, dan is de grafiek van f dalend in x = a.


Zoals het positief (negatief) zijn van f' samengaat met stijgen (dalen) van f, zo volgt uit een positieve (negatieve) waarde van f'' op een zeker interval ook, dat f' stijgend (dalend) is op dat interval.

Als f'' > 0, dan zal de eerste afgeleide toenemen. Dit betekent dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kromme van f toeneemt; de grafiek van f ligt dan met de 'bolle' kant naar beneden hetgeen we convex (= bol) noemen. We kijken daarbij in de richting van de positieve Y-as.

Als f'' < 0, dan zal de eerste afgeleide afnemen. Dit betekent dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de kromme van f afneemt; de grafiek van f ligt dan met de 'bolle' kant naar boven hetgeen we concaaf (= hol) noemen. We kijken daarbij weer in de richting van de positieve Y-as.


Uit het voorafgaande volgt de volgende stelling:

Indien f' en f'' bestaan in een omgeving van a en f(a) = 0, dan is f(a) een lokaal maximum als f'' < 0 en een lokaal minimum als f'' > 0.


Met de tweede afgeleide kunnen we precies analyseren waar de grafiek van convex naar concaaf gaat of omgekeerd. Deze overgangspunten noemen we buigpunten en dus komen we op de volgende definitie:

De grafiek van een continue functie f heeft in (a,f(a)) een buigpunt B als f''(x) in x = a van teken wisselt én als in (a,f(a)) de kromme een raaklijn heeft.


Neem als eenvoudig voorbeeld de functie:



Hierbij is het zo dat f''(x) bij x = 0 van teken wisselt en er dus een buigpunt is bij x = 0. De grafiek gaat hier van concaaf (links van 0) naar convex (rechts van 0).