Integraal-staprespons

[blackbox]

dag,

volgende stelling begrijp zie ik niet:

"Het anwtwoord van een lineair systoom op een eenheidsstap kan worden gevonden als de integraal van de Greense functie".

de Greense functie wordt gedefinieerd (in mijn cursus) als de inverse Laplace transformatie van de transfertfunctie bij een eenheidsimpulsrespons.

stel nu volgende situatie:

bron signaal

\(b(t)=u(t) => L(u(t))=L(u(t))=\frac{1}{s}\)

systeem

\(G(s)\)

staprespons

\(A(s)\)

nu geldt volgende relatie tussen de 3 entiteiten:

\(A(s)=G(s).B(s)=\frac{G(s)}{s}\)

nu wil het antwoord hebben van het systeem dus dan doe ik:

\(L^{-1}(A(s))\)

dit is dan toch gelijk aan de integraal nemen van

\(g(t)\)

; omdat geldt:

\( \int g(t).dt=\frac{G(s)}{s}\)

dus de stelling klopt niet, in die zin dat het de integraal is van g(t): dus het systeem..

heb er even over nagedacht maar kan niet direct een logische verklaring vinden.

grtz

[Xenion]

"Het anwtwoord van een lineair systoom op een eenheidsstap kan worden gevonden als de integraal van de Greense functie".

De verwoording klopt hier in mijn ogen langs geen kanten. Wordt die stelling ook bewezen?

Waar ik wel aan moet denken is de volgende stelling: "De staprespons is de integraal van de impulsrespons."

Misschien wordt deze stelling bedoeld?

[blackbox]

De verwoording klopt hier in mijn ogen langs geen kanten. Wordt die stelling ook bewezen?

de stelling wordt aangekaart in de context van de stapfunctie aangeled aan een systeem g(t);

de stelling dient volgens mij dan ook verandert te worden in:

"Het antwoord van een lineair systeem op een eenheidsstap kan worden gevonden als de integraal van het systeem g(t)"

de verantwoording hiervoor: zie mijn erste post.

het verband tss. de staprespons en de impulsrespons => stapfunctie en impulsfunctie:

\(\int_{0}^{x}\delta(t-t0}dt=u(x-t0)\)

\(\frac{du(t-t0}{dt}=\delta(t-t0)\)

kan u bevestigen of de stelling die ik neerschreef correct is ?

grtz

[Xenion]

Ja zo klopt het volgens mij wel.

Kleine opmerking: jij spreekt over de integraal van 'het systeem', maar correcter is de integraal van 'het impulsantwoord van het systeem'. Een systeem wordt natuurlijk volledig gekarakteriseerd door het impulsantwoord, maar je kan ook de transferfunctie hiervoor gebruiken. Om verwarring te vermijden verwijs je best naar de juiste functie ipv 'het systeem'.

Ter informatie heb je hier nog een bewijs van die stelling, zoals ik het gezien heb:

g(t) is het antwoord van het systeem op een eenheidsstap u(t).

\(g(t) = u(t)*h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}u(\tau)h(t-\tau)d\tau\)

Aangezien h(t) = 0 voor t < 0, moet je enkel de integraal voor tau tot t nemen.

\(= \int_{-\infty}^{t}u(\tau)h(t-\tau)d\tau\)

Aangezien u(t) = 0 voor t < 0, moet de integraal ook pas vanaf 0 beginnen. En u(t) = 1 in het stuk dat je integreert.

\(= \int_{0}^{t}h(t-\tau)d\tau\)

Substitueer t-tau = tau' en dan krijg je tenslotte:

\(= \int_{0}^{t}h(\tau')d\tau'\)

[blackbox]

Kleine opmerking: jij spreekt over de integraal van 'het systeem', maar correcter is de integraal van 'het impulsantwoord van het systeem'. Een systeem wordt natuurlijk volledig gekarakteriseerd door het impulsantwoord, maar je kan ook de transferfunctie hiervoor gebruiken. Om verwarring te vermijden verwijs je best naar de juiste functie ipv 'het systeem'.

ja idd. wat er intussen achtergekomen dat het de integraal is van het impulsantwoord (correcter omschrijving):

ik gebruik, om alles analytisch uit t rekenen:

de convolutie van :

\(\int_{0}^{t} b(\tau)g(t-\tau)d\tau\)

met

\(b(t)=>b(\tau)\)

het inputsignaal

en

\( g(t)=>g(t-\tau)\)

het impulsantwoord

voila problem solved

danku

grtz

[In physics I trust]

de convolutie van :

\(\int_{0}^{t} b(\tau)g(t-\tau)d\tau\)

Let nog even op je formulering. Die integraal IS de convolutie, namelijk de convolutie van b en g, dus niet de convolutie van de integraal. Waarschijnlijk bedoelde je het zo, maar ik wijs er toch maar even op.

[blackbox]

ik bedoelde: de convolutie van input b(t) met impulsantwoord g(t)

hetzelfde als xenion berschreef :

\(g(t) = u(t)*h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}u(\tau)h(t-\tau)d\tau\)

grtz