Kwadraat van laplaciaan

[kotje]

Iedereen kent de Laplacian:

\(\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial^2{x}}+\frac{\partial^2}{\partial^2{y}}+\frac{\partial^2}{\partial^2{z}}\)

.Deze werkt op een scalaire functie U(x,y,z).

Ik vraag me af of

\(\nabla^4\)

ook bestaat en werkt op eenzelfde scalaire functie?

[Drieske]

Die bestaat inderdaad .

EDIT: Verplaatst naar Analyse.

[ZVdP]

Je kan zo'n dingen gewoon zelf makkelijk uitrekenen met de definitie van de nabla operator. Ik kom uit op:

\(\nabla^4=\frac{\partial^4}{\partial x^4}+\frac{\partial^4}{\partial y^4}+\frac{\partial^4}{\partial z^4}+2\frac{\partial^4}{\partial x^2y^2}+2\frac{\partial^4}{\partial x^2z^2}+2\frac{\partial^4}{\partial y^2z^2}\)

Edit: Met behulp van de term gegeven door Drieske: Biharmonic equation

[kotje]

Wat is het verschil tussen

\( \partial^4{x}\)

en

\( \partial{x^4} \)

?

[ZVdP]

\(\frac{\partial^4f}{\partial x^4}\)

is de vierde afgeleide van f naar x.

\(\frac{\partial f^4}{\partial x}\)

is de afgeleide van f^4 naar x.

\(\frac{\partial^4f}{\partial^4 x}\)

is foutieve notatie.

[kotje]

Gij hebt gelijk.

Gij hebt mijn titel van mijn topic verandert. Het kwadraat van de Laplaciaan.

Volgens mij klopt dat niet en kunt ge nooit die uitkomst krijgen, die trouwens juist is.

Men schrijft

\(\nabla^4(U)=\nabla^2(\nabla^2(U)) \)

en rekenen dan komt men aan de juiste uitkomst.

[ZVdP]

Dat is een standaard definitie van machten van een operator.

\(\hat{A}^2f=(\hat{A}\circ\hat{A})f=\hat{A}(\hat{A}f)\)

\(\hat{A}^nf=(\hat{A}\circ\hat{A}...\circ\hat{A})f\)

Of is er iets anders dat er niet klopt volgens jou?

[Drieske]

Gij hebt mijn titel van mijn topic verandert. Het kwadraat van de Laplaciaan.

Volgens mij klopt dat niet en kunt ge nooit die uitkomst krijgen, die trouwens juist is.

Die titelverandering was ik. Zoals je ondertussen ongetwijfeld al lang weet, hebben we graag dat titels duidelijk aangeven waarover je topic gaat. Het gaat daarover.

Jij beweert dat dit niet bestaat. Kun je dit ook staven?

[kotje]

\((\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}})((\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}}))=\frac{\partial^4}{\partial{x^4}}+...\)

geeft de juiste uitkomst.

\((\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2}{\partial{z^2}})^2=(\frac{\partial^2}{\partial{x}^2}})^2+...\)

geeft niet de juiste uitkomst.

[EvilBro]

Waarom is dat noemenswaardig?

[physicalattraction]

@Kotje: Ook je tweede antwoord klopt, mits je vasthoudt aan de definities die ZvdP gegeven heeft.

@ZvdP: Moet de notatie niet zijn met twee d's in de noemer wanneer ze een andere variabele erachter hebben? Dus:

\(\nabla^4=\frac{\partial^4}{\partial x^4}+\frac{\partial^4}{\partial y^4}+\frac{\partial^4}{\partial z^4}+2\frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2}+2\frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial z^2}+2\frac{\partial^4}{\partial y^2 \partial z^2}\)

[ZVdP]

@ZvdP: Moet de notatie niet zijn met twee d's in de noemer wanneer ze een andere variabele erachter hebben?

Uiteraard

[Bartjes]

Het "algebraïsch" rekenen met operatoren heeft een lange en interessante geschiedenis. Hierbij liep net als bij het rekenen met oneindige reeksen de toepassing op de (rigoureuze) theorie vooruit:

http://en.wikipedia.org/wiki/Operational_calculus

http://www.latp.univ-mrs.fr/~chaabi/ARTICL...an%20,2006).pdf