Sage

[EmmaDB]

Dit is de opgave. Hoe los je puntje e op?

De punten $A(-1,0)$ en $B(1,0)$ liggen in het vlak op afstand $|AB|=2$ van elkaar. Beschouw dan de verzameling van punten $P(x,y)$ die voldoen aan $|PA| \cdot |PB| = a$ voor zekere $a >0$.

We kiezen overal $a = 1$. We werken verder met de volgende vergelijking van de lemniscaat: \[ x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2 = 0. \]

De bijhorende grafiek staat bekend als de Lemniscaat van Bernouilli. Deze lemniscaat bestaat uit twee bladen, één in het linkerhalfvlak en één in het rechterhalfvlak. Ga nu op zoek naar een parametervergelijking $(x(t),y(t))$ voor het rechterblad van de lemniscaat. Dit kan, bijvoorbeeld, door het snijpunt te bepalen van de rechte $y = xt$ met de lemniscaat. Voor elke waarde van $t\in\mathbb R$ heeft deze rechte hoogstens één snijpunt met de rechterhelft van de lemniscaat (naast de oorsprong); dit punt is dan $(x(t),y(t))$.

e. Ergens langs de kromme bevindt zich een punt $U$ zodat de lengte van het stuk lemniscaat dat van de oorsprong tot $U$ loopt precies een vijfde is van de totale lengte van de lemniscaat. Bereken de coördinaten $(u_x,u_y)$ van dit punt en duid het aan op een grafiek. Probeer bijvoorbeeld om onderstaande grafiek te imiteren (de lengte van het rode stuk is dus precies een vijfde van de totale lengte)

We hebben de totale lengte van het lemniscaat en de parametervergelijkingen al.

\[x(t) = - sqrt(-t^2 + 1) * sqrt(2) / (t^2 + 1)

y(t) = -sqrt(-t^2 + 1)*sqrt(2)*t/(t^2 + 1)\]

Nu zoek ik hoe ik het punt U kan berekenen.

[Drieske]

Wat is de lengte van het lemniscaat? En wat is de formule voor afstand tussen 2 punten?

PS: je parametervergelijking heb ik (nog) niet nagerekend. Voorlopig neem ik dus aan dat die klopt.

[EmmaDB]

De totale lengte is 7.4162986551445389

De afstand tussen twee punten is \sqrt((x-x1)² + (y-y1)²)

[Drieske]

En hoe ben je aan dat kommagetal gekomen? Waarschijnlijk door bepaalde zaken af te ronden?

Nuja, los daarvan. Je hebt de lengte, je hebt een formule voor afstand, je hebt je punten (met 1 onbekende). Samen resulteert dit in 1 vergelijking met 1 onbekende, toch?

[EmmaDB]

zo kom ik aan dat kommagetal:

var('x y t')

x(t) = sqrt(-t^2 + 1) * sqrt(2) / (t^2 + 1)

y(t) = -sqrt(-t^2 + 1)*sqrt(2)*t/(t^2 + 1)

g(t) = x.diff(t)

h(t) = y.diff(t)

s(t) = g^2+h^2

s(t)

z = sqrt(s(t))

b = integral_numerical(z,0,0.99999999999999999999999)[0]

w = b*4

w

Dit is de lengte langs het lemniscaat. Niet de afstand tussen 2 punten.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate_of_Bernoulli

[Drieske]

Okee, numerieke benadering dus. Nadeel daarvan is uiteraard dat je punt dan ook maar benaderend gaat kloppen hè.

En ik weet dat het de lengte is. Ik beweerde toch niet anders? Hoever geraak je met mijn tips?

[EmmaDB]

We hebben een gebogen afstand en geen rechte afstand. We zullen de lengte dus waarschijnlijk met een integraal moeten berekenen, maar daar zitten we dus vast... Sage kan de integraal niet uitwerken.

[Drieske]

Aha okee, ik had je vraag een beetje verkeerd geïnterpreteerd. Excuses hiervoor. Met syntax van Sage ben ik niet bekend. Maar als je de totale lengte kunt berekenen, kun je toch ook de lengte tot het punt (x, y) berekenen?

[EmmaDB]

De totale lengte berekenen we zo:

\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ (x'(t))^2 + (y'(t))^2 } dt

met grenzen: 0,pi/2

Voor deze vraag zoeken we de grenzen om 1/5 van de totale lengte te berekenen.

Een grens (0,0) hebben we al.

[EmmaDB]

Waarschijnlijk niemand die ons kan helpen??