Botsende bal probleem

[Aurely]

In onze opdracht moeten we de lengte bepalen die een botsende bal aflegd.

Gegeven:

hoogte: 20cm

82% terugkaatsing na elke kaats op de grond

Het antwoord is:

Hoogte / (1-terugkaatsing)

20cm / (1-0.82)

20 / 0.18

= 111cm

Dit klopt als je 20+ (20*82%) + ((20*82%)*82%))..etc opteld.



Maar begrijp niet waar de formule voor de lengte: Hoogte / (1-terugkaatsing) vandaan komt, kan iemand me dit uitleggen (zonder direct bewijs, ik begrijp gewoon de logica niet).

[ZVdP]

\(\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}\)

Maar dit is niet het correcte antwoord op het vraagstuk.

De astand die de bal aflegt is niet

20+ (20*82%) + ((20*82%)*82%))..

maar

20+ 2*(20*82%) + 2*((20*82%)*82%))..

[Aurely]

Dank U.

Hield geen rekening met de neerwaartse val.

Dus

initiële val a + 2 *a / (1-kaats %)

20cm + 2 ( 20 / (1-0.82)) = 242cm

Kan men hoofd nog altijd niet rond de formule krijgen, begrijp de formule wel maar begrijp nog niet helemaal waarom.

[ZVdP]

Nog niet helemaal. Het is goed dat je de eerste 20cm apart telt, aangezien die maar 1 keer doorlopen wordt, maar nu tel je die wel drie keer mee... (de som begint bij n=0)

De formule kan je afleiden met een simpel trucje:

stel

\(X=1+z+z^2+...+z^n\)

dan is:

\(X(1-z)=(1+z+z^2+...+z^n)(1-z)=1-z^{n+1}\)

dus

\(X=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\)

Als we nu de limiet voor n naar oneindig nemen (natuurlijk enkel voor |z|<1, anders gaat de som naar oneindig) dan vervalt de term

\(z^{n+1}\)

in de teller.