Probleem bij delen van een vergelijking

[choco-and-cheese]

Van onderstaand stelsel moet ik dee onbekende bepalen. Ik ben er vrijwel zeker van dat er één onbekende in voorkomt. Volgend stelsel is gegeven:

\(\frac{ x^3 - 4x^2}{x^2 - 5}= 2 \)

Voor de uitwerking ervan loopt het ergens de mist in:

\(\frac{4 x^3 * (-5) - 4x^2 * x^2}{x^2 * -5}= 2 \)

\(\frac{-20 x^3 - 5x^2}{x^2 * -5}= 2 \)

\(\frac{-20 x^3}{-5x^2}= 2 \)

\(\frac{-20 x^3}{-5x^2}= 2 \)

Nu zit ik vast...

Ik zou op -1 moeten uitkomen.

[Safe]

Van onderstaand stelsel moet ik dee onbekende bepalen. Ik ben er vrijwel zeker van dat er één onbekende in voorkomt. Volgend stelsel is gegeven:

\(\frac{ x^3 - 4x^2}{x^2 - 5}= 2 \)

Voor de uitwerking ervan loopt het ergens de mist in:

Wat is je gedachtegang bij de volgende stap:

\(\frac{4 x^3 * (-5) - 4x^2 * x^2}{x^2 * -5}= 2 \)

Vermenigvuldig links en rechts met de noemer links.

[EvilBro]

Ik zou op -1 moeten uitkomen.

Het is altijd belangrijk om even te kijken of dit soort stellingen klopt (en dat kan zelfs als je het antwoord niet zelf kan bedenken):

\(\frac{ (-1)^3 - 4(-1)^2}{(-1)^2 - 5}= \frac{ -1 - 4}{1 - 5}= \frac{-5}{-4} \neq 2 \)

Misschien begrijp ik het verkeerd, maar ik denk dus dat je niet op x=-1 uit zou moeten komen.

Ik zou beginnen met beide kanten te vermenigvuldigen met \(x^2 - 5\).

[Puntje]

Bij het oplossen van dit soort vergelijkingen doe ik altijd "kruislings vermenigvuldigen" om de boel op te lossen. Misschien niet de snelste manier, wel een duidelijke manier. Dus:

\(\frac{ x^3 - 4x^2}{x^2 - 5}= \frac{2}{1}\)

wordt dan

\(x^3-4x^2 = 2x^2-10\)

Hier heb ik dus de teller links met de noemer rechts vermenigvuldigd en dit gelijkgesteld aan de noemer links vermenigvuldigd met de teller rechts.

[choco-and-cheese]

Bij het oplossen van dit soort vergelijkingen doe ik altijd "kruislings vermenigvuldigen" om de boel op te lossen. Misschien niet de snelste manier, wel een duidelijke manier. Dus:

\(\frac{ x^3 - 4x^2}{x^2 - 5}= \frac{2}{1}\)

wordt dan

\(x^3-4x^2 = 2x^2-10\)

Hier heb ik dus de teller links met de noemer rechts vermenigvuldigd en dit gelijkgesteld aan de noemer links vermenigvuldigd met de teller rechts.

Ik heb gisteren niet meer kunnen reageren op dit topic door computerproblemen, maar ben weer helemaal terug. Ik heb een typ fout gemaakt wat de opgave betreft. De eerste 4 was ik vergeten te plaatsen en dan is het antwoord wel degelijk -1, dus ziehier de opgave:

\( \frac{ 4x^3 - 4x^2}{x^2 - 5}= 2 \)

De hints die mij gegeven werden heb ik ook gevolgd en nogmaals een poging gedaan:

Uitwerking:

\( 4x^3 - 4x^2 = 2*(x^2 - 5)\)

\( 4x^3 - 4x^2 = 2x^2 - 10\)

\( 4x^3 - 4x^2 - 2x^2+ 10 = 0\)

Nog even vereenvoudigen:

\( \frac{ 4x^3}{-2} - \frac{6x^2}{-2}+ \frac{10}{-2}= 0\)

\( -2x^3 + 3x^2 - 5 = 0 \)

[/b]

Bij controle met -1 klopt deze vergelijking, maar nu ondervind ik problemen met de uitwerking ervan...

\( -2x^3 + 3x^2 = 5 \)

\( -2x + 3x = \sqrt[3] \sqrt {5} \)

\( x = 1,30766... \)

[Safe]

Je weet toch dat x=-1 voldoet ...

\( -2x^3 + 3x^2 = 5 \)

\( 2x^3 - 3x^2+5=0 \)

Dan kan je voor het linkerlid dus schrijven:

\((x+1)(2x^2 ... ...) = 0\)

Weet je ook waarom?

[choco-and-cheese]

Je weet toch dat x=-1 voldoet ...

\( -2x^3 + 3x^2 = 5 \)

\( 2x^3 - 3x^2+5=0 \)

Dan kan je voor het linkerlid dus schrijven:

\((x+1)(2x^2 ... ...) = 0\)

Weet je ook waarom?

Ik weet dat de uitkomst -1 is omdat ik gewoon achteraan de cursus het antwoord heb opgezocht..

De logica is voor het linkerlid:

(x+1)=0 want (-1+1)=0

Voor het rechterlid geldt dan:

\( (2x^2-3x-5)=0 \)

MAAR: stel dat je niet weet dat -1 de uitkomst is, dan zal je toch ook niet weten dat (x+1)=0 want (-1+1)=0 ?

[Safe]

Voor het rechterlid geldt dan:

\( (2x^2-3x-5)=0 \)

Je bedoelt waarschijnlijk de rechterfactor ... , helaas is die niet goed.

Hoe kom je daaraan?

MAAR: stel dat je niet weet dat -1 de uitkomst is, dan zal je toch ook niet weten dat (x+1)=0 want (-1+1)=0 ?

Je hebt gelijk, als je dit niet weet kan je dit niet toepassen ...

Def: een verg bestaat uit linkerlid=rechterlid

Het = teken kan ook vervangen worden door < of > ...

[Drieske]

Als je een reële oplossing van een derdegraadsvergelijking zoekt, is er een makkelijkere manier om deze te vinden. Zeker als je constante, zoals hier, een priemgetal is. Dan moet je gewoon de delers van je constante aflopen, en bij een priemgetal is dat dus het getal zelf en zijn tegengestelde (dus 5 en -5) en 1 en -1. Als er een reële oplossing is van je vergelijking, zal een van deze getallen er eentje zijn. Snap je waarom?

[choco-and-cheese]

Je bedoelt waarschijnlijk de rechterfactor ... , helaas is die niet goed.

Hoe kom je daaraan?

Je hebt gelijk, als je dit niet weet kan je dit niet toepassen ...

Def: een verg bestaat uit linkerlid=rechterlid

Het = teken kan ook vervangen worden door < of > ...

Trail and error methode, ik heb (-1) ingevuld voor x tot ik 0 uitkwam voor de rechterfactor. Een cursus over wiskunde zou eigenlijk moeten beginnen met het ontbinden in factoren, maar dat staat nergens uitgelegd. Dus zou ik eerst mijn kennis daaromtrent moeten opfrissen om het mezelf veel makkelijker te maken. Ik begrijp niet wat er mis is want ik kom toch 0 uit?

Maar de hoofdvraag is wel: hoe begin ik eraan om onderstaande vgl op te lossen?

\( -2x^3 + 3x^2 - 5 = 0 \)

[Drieske]

Kun je niets met mijn tip? Of snap je ze niet?

[choco-and-cheese]

Als je een reële oplossing van een derdegraadsvergelijking zoekt, is er een makkelijkere manier om deze te vinden. Zeker als je constante, zoals hier, een priemgetal is. Dan moet je gewoon de delers van je constante aflopen, en bij een priemgetal is dat dus het getal zelf en zijn tegengestelde (dus 5 en -5) en 1 en -1. Als er een reële oplossing is van je vergelijking, zal een van deze getallen er eentje zijn. Snap je waarom?

Ik begrijp dat -5 een cte is, namelijk het snijpunt met de y-as bij x=0..

Dus als x=0 dan klopt de vergelijking. Verder weet ik ook dat een priemgetal alleen deelbaar is door zichzelf of door 1. (of zoals je zelf aangeeft de negatieve waardes van die 2 getallen).

Maar stel dat de -5 een -6 wordt in de opgave, wat kan ik dan doen? Gewoon hetzelfde maar dan (6, -6, 3, -3, 2, -2, 1, -1) tot x=0 proberen?

[Safe]

Maar de hoofdvraag is wel: hoe begin ik eraan om onderstaande vgl op te lossen?

\( -2x^3 + 3x^2 - 5 = 0 \)

Ja, het blijft proberen ...

Soms heb je aanwijzingen.

Maar je weet toch dat een 3egr verg zeker één reële opl heeft? Waarom?

Verder hoort ontbinden in factoren tot de wiskunde in de onderbouw van het voortgezet onderwijs.

En hoe zit het met je 'rechterfactor' ...

[Drieske]

Het idee werkt eerder zo: je veronderstelt dat a een oplossing van je veelterm is. Dit betekent dat

\(-2a^3 + 3a - 5 = 0.\)

Of nog:

\(-2x^3 + 3x - 5 = (x - a)(....)\)

met op de puntjes een tweedegraadsveelterm. Deze tweedegraadsveelterm, heeft ook een constante, zeg b. Dus

\(-2x^3 + 3x - 5 = (x - a)(.... + b)\)

. Dan zie dus dat ab = 5. Maar 5 is priem, dus moet a 5, -5, 1 of -1 zijn.

Eigenlijk werkt het nog iets ingewikkelder dan ik nu zeg, maar dat zal ik zo dadelijk proberen uit te leggen. Immers je eigenlijk ook rekening houden met je hoogste macht. Maar dit geeft je al een ruw idee van de opties die je hebt.

Safe's manier is uiteraard ook een optie. Heb je een GRM ter beschikking, is grafisch een snijpunt zoeken nog het beste denk ik. Zeker met hogeremachtsvergelijkingen.

Was het 6 geweest, had je inderdaad meer opties na te gaan.

[choco-and-cheese]

In de bijlage vind je de polynoom van deze derdegraadsfunctie. Het intercept is hierbij 5, omdat y=5 bij x=0.

Verder zie je nu duidelijk het antwoord, in dit geval is er slechts één snijpunt met de x-as en dit is -1.

Nu heb ik even een drukke periode, maar de regel van Horner ben ik wel tegengekomen, is die nuttig? Ik vraag mij af of ik ook in dit geval de substitutiemethode kan toepassen?

Wordt vervolgd...