Probleem met imaginaire getallen

[sjasogun1]

Met wiskunde hebben we nu net het onderwerp van imaginaire getallen aangesneden. Toen we echter hogere machten van i uit begonnen te werken viel me het volgende op.

\(i^4 = i^2 \cdot i^2 = -1 \cdot -1 = 1\)

Dit klopt prima, maar het volgende niet meer.

\(\sqrt[4]{i^4} = \sqrt[4]{1}\)

\(i^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1^{4 \cdot \frac{1}{4}}\)

\(i^1 = 1^1\)

\(i = 1\)

Wat natuurlijk onzin is. Het probleem is echter dat ik niet weet waar de fout zit. Normaal zit de fout in dit soort vergelijkingen in het misbruik van de regels

\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)

en

\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)

die alleen gelden als minstens een van de getallen positief is. Een voorbeeld van dit soort misbruik is zoiets.

\(1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = i \cdot i = i^2 = -1\)

Dit lijkt hierin niet voor te komen, dus mijn vraag is wat mijn denkfout hier is.

[Jaimy11]

\(i^1 = 1^1\)

Dit lijkt hierin niet voor te komen, dus mijn vraag is wat mijn denkfout hier is.

Dat klopt niet.

\( i^1=i \neq 1^1=1\)

Edit: net als de regels erboven!

[Jaimy11]

\(\sqrt[4]{i^4} = \sqrt[4]{1}\)

Dit werk je niet goed uit.

jij:

\(i^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1^{4 \cdot \frac{1}{4}}\)

ik:

\(i^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1^{\frac{1}{4}}\)

Daarom ook je verder fouten.

Je keek nu hoe je bij 1 eenzelfde macht kon schrijven om te stellen dat

\(i=1\)

Maar zoals je weet kun je altijd zeggen:

\(1^a=1\)

voor elke a, maar dat betekent niet dat:

\(2^0=16^0=1\)

dus

\(2=16\)

toch?

[wesleyc]

\( x^4 = 16 x = \sqrt[4]{16} \ OF x = -\sqrt[4]{16}x = 2 OF x = -2\)

Soms krijg je antwoorden die niet kloppen, door wortels te trekken.

En sowieso geldt

\( i^2 = -1 \)

dus niet met de wortel van -1 gaan lopen rotzooien maar daarvoor i gebruiken

[sjasogun1]

Bedankt voor jullie uitleg, ik zie nu dat ik inderdaad de fout gemaakt heb dat

\(a^c = b^c\)

niet direct betekent dat

\(a=b\)

Jaimy, jij gaf het voorbeeld dat

\(2^0 = 16^0\)

niet inhoudt dat

\(2 = 16\)

Een ander voorbeeld zou zijn dat

\((-2)^2 = 4\)

\(2^2 = 4\)

\((-2)^2 = 2^2\)

maar niet

\(-2 = 2\)

Ik moet hier, nu ik het antwoord nu zo voor me zie hartelijk om lachen en ik denk dat mijn wiskundeleraar die er ook niet uit kwam het daar van harte mee eens is.

Dank jullie wel voor jullie hulp!

[Drieske]

Verplaatst naar Wiskunde.

[Erik Leppen]

Binnen de complexe getallen heeft elke n-de graads vergelijking, exact n oplossingen. Het kan zijn dat enkele oplossingen samenvallen echter, maar er zijn altijd n oplossingen. De vergelijking waarmee jij begint,

\(x^4 = 1\)

\(x = \sqrt[4]{16}\)

of

\(x = -\sqrt[4]{16}\)

[/quote]

Je vergeet

\(x = i \sqrt[4]{16}\)

of

\(x = -i \sqrt[4]{16}\)

Tenslotte is het een vierdegraads vergelijking en moeten er dus vier oplossingen zijn.

NB

\( \sqrt[4]{16}\)

is per afspraak gelijk aan +2. Dit volgt nergens uit, het is gewoon een conventie.

[Badshaah]

Hallo,

Als ik het goed heb is het imaginaire getal i als volgt gedefinieerd:

\(i^2=-1\)

Dus hier ging ik een beetje mee puzzelen en botste ik tegen het volgende probleem:

\(i^4=i^2*i^2=-1*-1=1\)

\(\sqrt{i^4}=\sqrt{1}=1\)

maar ook geldt:

\(\sqrt{i^4}=i^2=-1\)

Dus de vraag is wat ik hier nou fout doe?

[Bartjes]

Dus de vraag is wat ik hier nou fout doe?

\(\sqrt{i^4}=i^2=-1\)

Bij de toepassing van rekenregels moet je er altijd rekening mee houden op wat voor getallen die regels van toepassing zijn.

[Badshaah]

Dus ik mag geen wortel gebruiken bij i?

[Bartjes]

De wortel geeft bij complexe getallen meerdere uitkomsten:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nth_root#Complex_roots

[In physics I trust]

Aangezien een plaatje zoveel meer zegt dan een stuk tekst:



Als we dan even kijken naar de (vijfdemachts)wortels uit 1:



Dan zie je dat je inderdaad vindt dat de wortel 1 is, zoals je al weet, maar dat er in het complexe vlak nog 4 andere zijn!

[Safe]

\(\sqrt{i^4}=i^2=-1\)

Bij de toepassing van rekenregels moet je er altijd rekening mee houden op wat voor getallen die regels van toepassing zijn.

Vind je dit overtuigend genoeg?

[EvilBro]

\(\sqrt{(\cdot)^2}=|\cdot| \neq \cdot\)

[tempelier]

Het werken met wortels in het complexe gebied kan men beter niet doen.

Dat zit hem in de meerwaardigheid van de wortels:

immers in

\(\mathbb{C}\)

is er geen groter kleiner begrip.

Dat geeft verwarring volop.

Maar hier wordt verholen toegepast:

\(\bigl(z^p\bigr)^q = z^{pq}\)

wat NIET geldt in

\(\mathbb{C}\)