Oefeningen predicatenlogica

[Klintersaas]

1)

\(\left(\forall x\right)\left(\left(Fx \vee Gx\right) \supset Hx\right)\)

A)

\(\left(\forall x\right)\left(\left(Fx \supset Hx\right) \wedge \left(Gx \supset Hx\right)\)

1)

\(\left(\forall x\right)\left(Fx \supset Gx\right) \wedge \left(\forall x\right)\left(Fx \supset Hx\right)\)

A)

\(\left(\forall x\right)\left(Fx \supset \left(Gx \wedge Hx\right)\right)\)

1)

\(\left(\forall x\right)\left(Fx \supset Gx\right)\)

A)

\(\left(\forall x\right)Fx \supset \left(\forall x\right)Gx\)

Het is telkens de bedoeling om aan te tonen dat A) volgt uit 1). Hoewel dat mij telkens vanzelfsprekend lijkt, heb ik weinig inzicht in hoe dit formeel te noteren valt. Bij die eerste zou de Morgan wel eens om de hoek kunnen komen kijken en bij die laatste neem ik aan dat we op 1) universele instantiatie kunnen toepassen om tot \(Fa \supset Ga\) te komen. Maar dan...

[In physics I trust]

Dit onderwerp past beter in Wiskunde en is daarom verplaatst.

[Klintersaas]

Terzijde, het symbool \(\supset\) wordt in deze context gebruikt als symbool voor implicatie (\(\rightarrow\)).

[Siron]

Om de laatste bewering te bewijzen, nl:

\((\forall x: F(x) \Rightarrow G(x))\Rightarrow (\forall x: F(x) \Rightarrow \forall x: G(x))\)

Ik zou eerst 2x het deductie theorema toepassen, modus ponens en daarna een generalisatie.

[Klintersaas]

Ik heb iets in deze aard in gedachten, maar weet niet of het logisch sluitend is:

1. \(\forall x: F(x) \Rightarrow G(x)\)
2. \(\forall x: F(x)\)
   (uit (1) door simplificatie)
3. \(F(a) \Rightarrow G(a)\)
   (uit (1) door universele instantiatie)
4. \(F(a)\)
   (uit (3) door simplificatie)
5. \(G(a)\)
   (uit (3) en (4) door modus ponens)
6. \(\forall x: G(x)\)
   (uit (5) door generalisatie)
7. \(\forall x: F(x) \Rightarrow \forall x: G(x)\)
   (deductie)

[Siron]

Ik heb iets in deze aard in gedachten, maar weet niet of het logisch sluitend is:

1. \(\forall x: F(x) \Rightarrow G(x)\)
2. \(\forall x: F(x)\)
   (uit (1) door simplificatie)
3. \(F(a) \Rightarrow G(a)\)
   (uit (1) door universele instantiatie)
4. \(F(a)\)
   (uit (3) door simplificatie)
5. \(G(a)\)
   (uit (3) en (4) door modus ponens)
6. \(\forall x: G(x)\)
   (uit (5) door generalisatie)
7. \(\forall x: F(x) \Rightarrow \forall x: G(x)\)
   (deductie)

Maar als je nu de modus ponens toepast op (1) en (2) krijg je:

\(G(x)\)

Door generalisatie:

\(\forall x: G(x)\)

Dit is wat moest bewezen worden.

[Klintersaas]

Ergo, stappen 3-5 zijn overbodig?