Kwadraten 'aan elkaar' plakken

[Drieske]

Volgend vraagstuk vond ik in een boek: Je hebt de rij van positieve (perfecte) kwadraten: 1, 4, 9, 16, 25, ... neergeschreven in stijgende volgorde. Als je deze nu achter elkaar zet, krijg je: 149162536496481100121144...

Van links naar rechts gelezen: wat is het 2010de cijfer in deze rij.

Er staat een oplossing bij, maar ik loop al op de eerste zin vast:

\(\sqrt{10} = 3.16227766...\)

1² tot 3² hebben 1 cijfer.

4² tot 9² hebben 2 cijfers.

10² tot 31² hebben 3 cijfers.

32² tot 99² hebben 4 cijfers.

100² tot 316² hebben 5 cijfers.

317² tot 999² hebben 6 cijfers.

1000² tot 3162² hebben 7 cijfers.

..//..

Het werkt. Maar waarom? Ik zie het niet...

[Safe]

Je werkt immers met kwadraten, de kwadraten hebben één cijfer 1 tot 10, dus sqrt(10) geeft 1, 2 en 3

zodat 4 tot 9 (sqrt(100)=10) twee cijfers hebben enz

[Drieske]

Hmm, misschien mis ik toch nog iets, maar ik vind het unieke niet dat 4² tot 9² uit 2 cijfers bestaat, maar dat die opsomming neerkomt op wortel10 'ontwikkelen'...

[Safe]

Ok, sqrt(1000)<32, dus de kwadraten van 10 tot en met 31 bestaan uit drie cijfers. 1000 bestaat uit 4 cijfers

de kwadraten van 32 tot en met 99 bestaan uit 4 cijfers enz.

[EvilBro]

Misschien maakt dit het duidelijker

\(10^k \leq a^2 < 10^{k+1}\)

\(\sqrt{10^k} \leq a < \sqrt{10^{k+1}}\)

Stel k is even:

\(\sqrt{10^{2 m}} \leq a < \sqrt{10^{2 m+1}}\)

\(10^m \leq a < \sqrt{10 \cdot 10^{2 m}}\)

\(10^m \leq a < \sqrt{10} \cdot 10^m}\)

Voor k is oneven kan je dit natuurlijk ook doen...

Haskell oplossing:

Code: Selecteer alles

head $ drop 2009 $ concat [show (k^2)|k<-[1..]]

[Drieske]

Ja, dat laatste is precies wat ik zocht. Stom dat ik zoiets (relatief) eenvoudig maar niet zag . Danku beiden!