Stabiliteitscriterium nyquist

[blackbox]

dag iedereen,

de volgende transfer functie bschrijft het gedrag van een gesloten kring:

\(\frac{Hr(s).Hp(s)}{1+Hr(s).Hp(s).Ht(s)}\)

in de noemer van de breuk staat de term

\(Hr(s).Hp(s).Ht(s)\)

, deze stelt dan de open kring transferfunctie voor

we vervangen ze door

\(Hv(s)\)

nu stelt men in mijn cursus dat het gesloten systeem instabiel zal zijn bij

\(Hv(s)=-1\)

omdat de noemer van de transfer funtie voor de gesloten kring dan 0 wordt.

en wat is de reden hiervoor?

stel dat:

\(Hr(s).Hp(s)=G(s)=\frac{1}{s-1}\)

dan moet

\(Ht(s)\)

gelijk zijn aan 2, om ervoor te zorgen dat

\( Hv(s) = -1\)

zodoende is de gesloten kring dan stabiel.

verder stelt men dat het regimegedrag van het gesloten systeem, uit de frequentieanalyse van

\(Hv(j \omega)\)

kan wordne afgeleid,

dus in het nyquistdiagram moet met kijken waar

\(\vert Hv(j \omega) \vert = 1\)

waar het nyquistdiagram dan het punt (-1,0) omcircelt wil zeggen dat het hele systeem instabiel is..?

heb reeds op het net wat info gezocht, maar vind nergens echt een 'basis' uitleg

grtz

[Xenion]

Het is al een tijdje geleden, maar ik zal een poging doen:

Hoe Nyquist het formuleert met de omcirkelingen rond -1 heeft meer te maken met de wiskundige formulering dan met de achterliggende systeemtheorie.

Je moet eerst begrijpen wat instabiliteit juist inhoudt:

Meestal wordt er BIBO stabiliteit beschouwd: dat betekent dat voor een eindige input je enkel eindige outputs kan krijgen.

Kijkende naar de transferfunctie: als de noemer van de transferfunctie 0 wordt voor een zekere frequentiecomponent van een input dan 'explodeert' ze en dan krijg je een oneindige output.



Er is ook een manier om het intuïtief in te zien:

Ken je het 'Barkhausen gedachtenexperiment'?

Het idee is dat je een gesloten lus maakt van een systeem H(w) met eenheidsterugkoppeling.

Aan de ingang leg je een sinus aan en je kiest de frequentie zodanig dat het systeem H voor 180° fasedraaiing zorgt. En zodra de sinus in het systeem zit haal je de input weg. Je hebt nu een lus waar een sinus inzit die 180° in fase gedraaid is en eventueel in amplitude veranderd is.

Als de amplitude van de sinus verkleind is (|H(w) < 1) dan zal het signaal afnemen en uiteindelijk uitdoven naar 0.

Als de amplitude niet veranderd is (|H(w) = 1) dan blijft de sinus gewoon eeuwig in de lus en heb je een oscillator.

Als de sinus echter versterkt werd (|H(w)| > 1), dan wordt het signaal steeds groter en gaat het in de limiet naar oneindig.

Je systeem wordt als instabiel beschouwd als er bij 180° fasedraaiing een |H(w)| >= 1 is.

Die 180° kan je dan ook uitdrukken door te zeggen dat H(w) = -1, zonder de absolute waarde. Als je in het imaginair vlak van +1 naar -1 gaat, dan draai je over 180°.

Ben je hier iets mee?

[blackbox]

Bedankt voor de wat late reactie . Zeker en vast een hulp, intussen had ik al de oplossing gevonden. En idd. wiskundig gaat het nog een pak dieper.

grtz