Een bijzondere limiet aantonen

[Siron]

Hallo,

Heeft iemand een goed bewijs om aan te tonen dat:

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{n!}=0\)

Als er geldt dat:

\(0<x<1\)

is het direct bewezen.

Echter voor de andere waarden van

\(x\)

heb ik geen idee hoe dit te bewijzen.

Bvd!

[Drieske]

Definieer:

\(y_n = \frac{x^n}{n!}\)

. Dan is

\(\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x}{n + 1}\)

. Kies n_0 zodat

\(\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x}{n + 1} < \frac{1}{2}\)

voor alle n > n_0. (Dit kan waarom?)

Dan is, via herhaaldelijk toepassen

\(\frac{y_{n+1}}{y_{n_0}} < ...\)

Kun je afmaken?

[Siron]

Kies n_0 zodat

\(\frac{y_{n+1}}{y_n} = \frac{x}{n + 1} < \frac{1}{2}\)

voor alle n > n_0. (Dit kan waarom?)

Dit volg ik niet, er staat nergens een

\(n_0\)

in de uitdrukking

[Drieske]

Nee, dat is ook de bedoeling... Er staat toch ook: 'kies n0 zodat ... voor alle n > n0'?

[hanzwan]

Siron , wat is je wiskunde niveau? Heb je zowel calculus 1 als 2 gehad? In calculus 1 worden meestal alleen de resultaten van het bewijs geleverd en wordt er verder van uit gegaan dat je intuïtief snapt dat een faculteit het 'wint' van een macht. In een cursus calculus twee wordt het limiet vaak aangetoond. Dit gaat dan op de manier die door Drieske is gepost, dmv de zogenaamde Ratio Test.

Bij een Ratio test wordt er gekeken of de waarden van twee opeenvolgende antwoorden (n en n+1) relatief toeneemt, afneemt of gelijk blijft. Kijk voor meer informatie hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

ik hoop dat je hier wat aan hebt.

[Siron]

Siron , wat is je wiskunde niveau? Heb je zowel calculus 1 als 2 gehad? In calculus 1 worden meestal alleen de resultaten van het bewijs geleverd en wordt er verder van uit gegaan dat je intuïtief snapt dat een faculteit het 'wint' van een macht. In een cursus calculus twee wordt het limiet vaak aangetoond. Dit gaat dan op de manier die door Drieske is gepost, dmv de zogenaamde Ratio Test.

Bij een Ratio test wordt er gekeken of de waarden van twee opeenvolgende antwoorden (n en n+1) relatief toeneemt, afneemt of gelijk blijft. Kijk voor meer informatie hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

ik hoop dat je hier wat aan hebt.

Bedankt!

Met de ratio test kom er 0 uit. Ik heb alleen nog maar calculus 1 gehad (niveau: 1ste bachelor wiskunde).

[Drieske]

Ja, maar vergeet dan even die ratio test. Mijn manier lijkt misschien op de ratio test, maar was niet zo bedoeld . Je kunt er echt wel zo geraken. Snap je nu alvast waar je eerst vast liep?

Dit volg ik niet, er staat nergens een n_0 in de uitdrukking

[Siron]

Nee, dat is ook de bedoeling... Er staat toch ook: 'kies n0 zodat ... voor alle n > n0'?

Moet ik nu een bepaalde waarde van

\(n_0\)

zoeken?

[Drieske]

Nee (dat mag wel, maar moet niet per se)... Je bent het met me eens dat, voor n groot genoeg, er geldt dat

\(\frac{x}{n + 1} < \frac{1}{2}\)

? Je zegt nu gewoon: kies n0 het overgangspunt...

Heb je nog nooit eerder met limieten van rijen en dergelijke gewerkt?

[Siron]

Nee (dat mag wel, maar moet niet per se)... Je bent het met me eens dat, voor n groot genoeg, er geldt dat

\(\frac{x}{n + 1} < \frac{1}{2}\)

? Je zegt nu gewoon: kies n0 het overgangspunt...

Heb je nog nooit eerder met limieten van rijen en dergelijke gewerkt?

Rijen e.d staan niet in de cursus calculus die ik nu heb gehad ... het is geen eigenschap dat ergens in de cursus staat, maar bij taylorreeksen kwam ik deze limiet tegen en ik wilde graag weten hoe ze erop kwamen dat deze limiet gelijk is aan 0.

[Drieske]

Hmm, als je rijen en dergelijke niet kent, is het misschien niet erg nuttig je dat bewijs te geven... Of heb je toch interesse?

[TD]

Ik geef nog een alternatieve manier die je misschien wat inzicht geeft in hoe je zelf op bewijsjes kan komen.

Probeer eerst intuïtief te begrijpen waarom de limiet inderdaad 0 is. Voor x tussen 0 en 1 vond je dat al duidelijk, kijk eens wat er gebeurt voor x > 1. In de teller krijg je n factoren van deze x, in de noemer krijg je ook n factoren maar van de vorm 1*2*...*n. Zo lang n < x, is de teller duidelijk groter (want elke factor is groter). Maar je neemt de limiet voor n naar oneindig dus hoe groot x ook is, x is vast, ooit zal n groter worden dan x. Vanaf dat moment worden de factoren in de noemer allemaal groter dan de bijkomende factoren in de teller. Dit zou inspiratie kunnen geven: dat 'moment' is wellicht van belang want vanaf dan begint de noemer (niet onmiddellijk, maar stilaan...) te domineren.

Even in formules gieten: stel x > 0 (negatief kan je analoog doen of in een keer door wat te prutsen met absolute waarden) en kies een natuurlijk getal k zodat k > x. In dat geval is x/k < 1 en gaat (x/k)ⁿ dus zeker naar 0. Dat weet je wellicht wel? Meer is er eigenlijk niet nodig. Een beetje herschrijven en afschatten:

\(\frac{{{x^n}}}{{n!}} = \frac{{{x^n}}}{{\underbrace{1.2.\cdots.(k-1).k}_{k!}.{\left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right). \cdots .n}}} = \frac{{{x^n}}}{{k!\underbrace{{\left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right). \cdots .n}}_{\ge k^{n-k}}}} \le \frac{{{x^n}}}{{k!{k^{n - k}}}} = \frac{{{k^k}}}{{k!}}{\left( {\frac{x}{k}} \right)^n}\)

In de stap van de afschatting vervang je elke factor vanaf k+1 tot en met n door k; deze k is nog steeds groter dan x maar je maakt hierdoor de noemer kleiner dus de breuk groter. Je kan dan handig de factor (x/k)ⁿ afzonderen en de factor die ervoor staat, k^k/k!, is mogelijk 'heel groot', maar wel constant en eindig. Neem nu de limiet:

\(0 \le \frac{{{x^n}}}{{n!}} \le \frac{{{k^k}}}{{k!}}{\left( {\frac{x}{k}} \right)^n}\xrightarrow{{n \to \infty }}0\)