Formele en metaformele getallen

[kee]

Hum, ik weet het niet meer. Wat je dan krijgt is dat (in gewone notatie, met metaformele getallen op die manier) i=-i en dus bijvoorbeeld ook 5i=-5i zoals je al hebt opgemerkt, maar verder ook bvb i*i=i+i=2i als ik mij niet vergis. Dat wordt dus niets. Jij een idee om op commutativiteit na iets unieks te kunnen maken?

[kee]

Sterker nog, kan je niet gewoon ook ai=i doen (a reëel getal)? In dat geval zou ook a+i=a (met a een reëel getal)? Ik zal er morgen mss eens over nadenken als er tijd is want nu is het te laat en ga ik slapen.

[Bartjes]

@ kee. Zo als het nu in elkaar zit ben ik er vrij zeker van dat het een consistent systeem is met niet-triviale uitkomsten. Daarom ben ik er ook huiverig voor om in de grondslagen nog iets te veranderen. Als zo'n alternatief iets interessants oplevert zou ik dat liever los van dit systeem uitwerken.

Over het werken met plustekens en punten moet ik nog even nadenken.

[Bartjes]

Over het werken met plustekens en punten moet ik nog even nadenken.

Voor de leesbaarheid zal ik in de hier gevoerde discussie met plustekens en punten werken.

[kee]

Ik ben dan niet helemaal goed begrepen. Ik bedoelde geen echt ander systeem, het gebruik van i was bedoeld omdat ik in mijn voorstel voor representanten 1-1 (ik bedoel dus 1+(-1) ) als een soort 'basis' behandel.

Zo dan zonder deze invoer: vervang het eerste criterium door:

i. Voor alle stukjes van de vorm F+G in de standaardrepresentant waarbij F en G formele getallen zijn en F+G is niet gelijk aan 1+(-1) geldt rw(F)=rw(G)=0.

-------

Maar om terug te komen op het probleem daarna, een eerste deel gaat als volgt als ik geen fout maak:

Bewijs dat het metaformeel getal 1+(-1) opslorpend element is voor de vermenigvuldiging met een metaformeel getal F waarbij

rw(F)=a en a is verschillend van 0.

1) Geval a=1

F.(1+(-1))

=a.(1+(-1))

=1.(1+(-1))

=1.1+1.(-1)

=1+(-1)

2) Geval a=-1

F.(1+(-1))

=a.(1+(-1))

=(-1).(1+(-1))

=(-1).1+(-1).(-1)

=(-1)+1

=1+(-1)

3) Geval a is niet gelijk aan 1 en a is niet gelijk aan -1

F.(1+(-1))

=a.(1+(-1))

=((a+1)/2+(a-1)/2).(1+(-1))

=(1+(-1)).((a+1)/2+(a-1)/2)

=((1+(-1)).((a+1)/2))+((1+(-1)).((a-1)/2))

=((1+(-1)).((a+1)/2))+(((a-1)/2).(1+(-1)))

=((1+(-1)).((a+1)/2))+((((a-1)/2).1)+(((a-1)/2).(-1)))

=((1+(-1)).((a+1)/2))+((((1-a)/2).(-1))+(((1-a)/2).1))

=((1+(-1)).((a+1)/2))+(((1-a)/2).((-1)+1))

=((1+(-1)).((a+1)/2))+(((-1)+1).((1-a)/2))

=((1+(-1)).((a+1)/2))+((1+(-1)).((1-a)/2))

=(1+(-1)).(((a+1)/2)+((1-a)/2))

=(1+(-1)).1

=1.1+(-1).1

=1+(-1)

[kee]

En dan hieruit eenvoudig.

Bewijs dat het metaformeel getal 1+(-1) neutraal element is voor de optelling met een metaformeel getal F waarbij

rw(F)=a en a is verschillend van 0.

F+(1+(-1))

=F.1+(F.(1+(-1)))

=F.(1+(1+(-1)))

=F

[Bartjes]

Dat is heel knap! Op het eerste gezicht zou ik inderdaad zeggen dat het bewijs van de opslorping klopt. Ik moet het nog wel netjes uitwerken, maar ik ben niets tegen gekomen dat er verdacht uit ziet.

[Bartjes]

En dan hieruit eenvoudig.

Bewijs dat het metaformeel getal 1+(-1) neutraal element is voor de optelling met een metaformeel getal F waarbij

rw(F)=a en a is verschillend van 0.

F+(1+(-1))

=F.1+(F.(1+(-1)))

=F.(1+(1+(-1)))

=F

Voor F met rw(F) = a en a ongelijk nul geldt direct: F+(1+(-1)) = F omdat rw(F+(1+(-1))) = rw(F) en rw(F+(1+(-1))) en rw(F) beide ongelijk aan nul zijn.

[kee]

Verder hebben we

(1+(-1)).(1+(-1))

=((1+(-1)).1)+((1+(-1)).(-1))

=(1.(1+(-1)))+((-1).(1+(-1)))

=((1.1)+(1.(-1)))+(((-1).1)+((-1).(-1)))

=(1+(-1))+((-1)+1)

=(1+(-1))+(1+(-1))

=((1.1)+(1.(-1)))+((1.1)+(1.(-1)))

=(1.(1+(-1)))+(1.(1+(-1)))

=((1+(-1)).1)+((1+(-1)).1)

=(1+(-1)).(1+1)

=(1+(-1)).2

=2.(1+(-1))

=(1+(-1))

conclusie

(1+(-1)).(1+(-1))

=(1+(-1))+(1+(-1))

=(1+(-1))

Voor F met rw(F) = a en a ongelijk nul geldt direct: F+(1+(-1)) = F omdat rw(F+(1+(-1))) = rw(F) en rw(F+(1+(-1))) en rw(F) beide ongelijk aan nog zijn.

Klopt, dat geldt idd direct.

Nog opmerking: Ik doe vaak wat extra stappen omdat ik de distributiviteit langs de definitie (die maar langs 1 kant staat) wil toepassen, maar via eigenschappen is dat niet nodig natuurlijk.

[Bartjes]

i. Voor alle stukjes van de vorm F+G in de standaardrepresentant waarbij F en G formele getallen zijn en F+G is niet gelijk aan 1+(-1) geldt rw(F)=rw(G)=0.

Bedoel je hier met gelijk identiek of gelijkaardig? D.w.z. is het al OK als F+G niet identiek aan 1+(-1) is of moet F+G ook niet gelijkaardig aan 1+(-1) zijn?

Aanvulling: al die bewijzen leiden nu ineens tot een grote vereenvoudiging, heel mooi! Ik hoop alleen wel dat er nog wat verschillende nullen overblijven?

[kee]

Bedoel je hier met gelijk identiek of gelijkaardig? D.w.z. is het al OK als F+G niet identiek aan 1+(-1) is of moet F+G ook niet gelijkaardig aan 1+(-1) zijn?

Ik heb het wat verwarrend gedaan hier. Dit voorstel is "verouderd" als het bewijs erna gegeven klopt. Oorspronkelijk bedoelde ik ook identiek. Bedoeling is nog altijd om op commutativiteit na unieke standaardrepresentanten te vinden. Door het bewijs zou dit ook al zeker niet voldoende zijn daarvoor.

Aanvulling: al die bewijzen leiden nu ineens tot een grote vereenvoudiging, heel mooi! Ik hoop alleen wel dat er nog wat verschillende nullen overblijven?

Dat hoop ik ook. Op een bepaald moment dacht ik intuïtief dat het iets isomorf met veeltermen in 1 variabele over de reële getallen is, maar nu weet ik het eigenlijk niet meer echt. Zal het misschien morgen ook eens verder bekijken als er tijd is (bedtijd nu ).

[Bartjes]

Probeersel voor extra criteria voor de standaard representant S:

(*) S is een net formeel getal.

(**) Er komen in S geen stukjes A + B met rw(A) = -rw(B) = a en a 1 en a 0 voor.

(***) Er bestaat geen aan A gelijkaardig net formeel getal dat minder stukjes van de vorm 1 + (-1) of (-1) + 1 bevat.

Mogelijk zie ik iets over het hoofd, maar dit lijkt me aardig om over na te denken...

[Bartjes]

(**) Er komen in S geen stukjes A + B met rw(A) = -rw(B) = a en a :) ;) 1 en a :) 0 voor.

Waar komen die emoticons vandaan?

Verder ben ik weer wat na aan het denken hoe dit topic tot een goed einde kan worden gebracht. Het lijkt nu in een wirwar van definities en technische bewijzen vast te open. Ik kan er inmiddels zelf ook nauwelijks meer wijs uit worden. :?

Zou het iets zijn om het systeem van de metaformele getallen in axioma's te vangen, waarbij de tot nu toe gegeven constructie van deze getallen als een model dient dat aantoont dat er inderdaad zulke wiskundige objecten bestaan die aan die axioma's voldoen. Dan kan men verder gewoon vanaf die axioma's werken, en wordt het geheel hopelijk weer overzichtelijk en interessant. :D

[Bartjes]

Dat zal dan iets dergelijks worden:

Er bestaat een niet-lege verzameling der metaformele getallen

\( \mathfrak{M} \)

zodat voor alle metaformele getallen X, Y en Z geldt:

i. X + Y = Y + X .

ii. X . Y = Y . X .

iii. X . (Y + Z) = (X .Y) + (X . Z) .

iv. (Y + Z) . X = (Y. X) + (Z . X) .

Met andere woorden:

\( ( \mathfrak{M} , \, + \, , \, . \, ) \)

is een (additief en multiplicatief) commutatieve ringoïde.

Er bestaat een functie

\( \varrho \)

van

\( \mathfrak{M} \)

in

\( \mathbb{R} \)

zodat voor alle metaformele getallen X en Y geldt:

\( \varrho(X + Y) = \varrho(X) + \varrho(Y) \)

,

\( \varrho(X \, . \, Y) = \varrho(X) \, . \, \varrho(Y) \)

.

Er bestaat een functie

\( \mu \)

van

\( \mathbb{R} \)

in

\( \mathfrak{M} \)

zodat voor alle reële getallen x en y geldt:

\( \varrho(\mu(x + y)) = \varrho(\mu(x) + \mu(y)) \)

,

\( \varrho(\mu(x \, . \, y)) = \varrho(\mu(x) \, . \, \mu(y)) \)

,

\( \varrho(\mu(x)) = x \)

.

Maar:

\( \mu(1) + \mu(-1) \, \neq \, \mu(0) \)

.

(Dit moet dan nog wel allemaal nagekeken worden, en de hele presentatie zal daardoor veranderen. Maar het ziet er alvast een stuk netter uit, en men ziet zo snel in wat de bedoeling is, zonder dat eerst hele lappen tekst met bewijzen moeten worden doorgewerkt.)

[rikketik]

Ik weet niet of je iets van bewijs theorie kent. Maar daar is het een common practice om afleidingsregels te specifieren. Je specifieert welke regels je aanvaard. Enkele voorbeelden:

• Substitutieregel:
  
  • X.A en A=B ?=> X.A = X.B
  • Zie dat je de regels duidelijk definieert.
  • Als ik X.(A+A) gebruik en A=B
    
    Mag ik dit dan vervangen door X.(A+B) of moet ik bij het substitueren consequent zijn en alle variabelen vervangen?
  • Ps: de standaard notatie van A=B impliceert dat A en B een equivalentierelatie vormen
    
    • reflexiviteit
    • symmetrie
    • transitiviteit
• Zelfde bewerking aan beide leden?
  
  • In wiskundige termen, verenigbaarheid van een operator T met een (equivalentierelatie)
    
    • X=Y ?=> X+A=Y+A