Orde van element in z

[Drieske]

Kun je dan zeggen wat de eenheden zijn van Z_p als p priem is?

[Jaimy11]

Kun je dan zeggen wat de eenheden zijn van Z_p als p priem is?

1 toch?

[Drieske]

Dus in Z_5 is de enige eenheid 1? Daar zou ik nog eens goed over denken (eventueel ook eens terugkijken ).

Eens je er daar uit bent, probeer het ook eens voor Z_7. Hopelijk zie je dan het patroon.

[Jaimy11]

Dus in Z_5 is de enige eenheid 1? Daar zou ik nog eens goed over denken (eventueel ook eens terugkijken ).

Eens je er daar uit bent, probeer het ook eens voor Z_7. Hopelijk zie je dan het patroon.

Blijkbaar niet dus..

Zou je dan voor Z_5 eens de voorbeelden kunnen geven, mss wordt het dan duidelijker..

Maar ik zal het eerst zelf even proberen:

0: sowieso niet

1: 1*5=1

2: 2*5=1

3: 3*5=1

4: 4*5=1

Dus eenheden 1,2,3,4 ?

[Drieske]

0: sowieso niet

1: 1*5=1

2: 2*5=1

3: 3*5=1

4: 4*5=1

Dus eenheden 1,2,3,4 ?

De conclusie klopt, maar de uitwerking niet. (1*5) mod 5 is toch niet 1? Sterker nog: (a*5) mod 5 = 0 voor alle a... De juiste uitwerking is dit:

0: inderdaad sowieso niet (nooit zelfs).

1: niet te moeilijk maken: 1*1 = 1

2: 2*3 = 1

3: zie hierboven

4: 4*... = 1 (enig idee van de puntjes?)

Onthouden: eenheden = {1, 2, 3, 4}

Doe nu ook Z_7.

[Jaimy11]

De conclusie klopt, maar de uitwerking niet. (1*5) mod 5 is toch niet 1? Sterker nog: (a*5) mod 5 = 0 voor alle a... De juiste uitwerking is dit:

0: inderdaad sowieso niet (nooit zelfs).

1: niet te moeilijk maken: 1*1 = 1

2: 2*3 = 1

3: zie hierboven

4: 4*... = 1 (enig idee van de puntjes?)

Onthouden: eenheden = {1, 2, 3, 4}

Doe nu ook Z_7.

Oeps ja ik heb modulo 4 gedaan :s

4: 4*4=1

Z_7

1: niet

2&4: 2*4=1

3&5: 3*5=1

6: 6*6=1

[Drieske]

Inderdaad. Algemeen patroon: eenheden van Z_p als p priem is...

[Jaimy11]

Inderdaad. Algemeen patroon: eenheden van Z_p als p priem is...

1 t/m p-1?

Edit: ik zie net dat ik een foutje heb gemaakt in mijn Z_7

ik bedoel:

0: niet

1: 1*1

[Drieske]

Inderdaad. Kort genoteerd: (Z_p)^x = Z_p \{0}. Verder is het ook nuttig om je eens of te vragen: bekijk (Z-n)^x (met n een willekeurig, niet per se priem, getal). Neem dan twee elementen hieruit (als er twee zijn), en noem ze a en b. Is a*b (mod n) dan ook een eenheid?

Nu pas heeft het eigenlijk zin om over de opdracht na te gaan denken. Wat begrip over wat eenheden zijn, is toch nodig.

-edit- daar had ik dus zelfs over gelezen .

[Jaimy11]

Inderdaad. Kort genoteerd: (Z_p)^x = Z_p \{0}. Verder is het ook nuttig om je eens of te vragen: bekijk (Z-n)^x (met n een willekeurig, niet per se priem, getal). Neem dan twee elementen hieruit (als er twee zijn), en noem ze a en b. Is a*b (mod n) dan ook een eenheid?

Nu pas heeft het eigenlijk zin om over de opdracht na te gaan denken. Wat begrip over wat eenheden zijn, is toch nodig.

Om de een of andere reden had ik al het idee dat er geen elementen waren van orde 7.

Maar mijn idee daarachter was dat 7, geen deler was van 96.

Maar dat was puur gevoelsmatig..

Zit daar nog een kern van waarheid in?

Na wat jij me hebt verteld:

(En als

\(Z^*_{175}=\varphi(7)*\varphi(5)*\varphi(5)=96\)

)

Zijn er in Z_175 dus 96 elementen.

Ik zie nog niet systematisch in welke dat zouden zijn.

Dus eerst maar eens een jouw vraag beantwoorden

\(Z^*_6=\{1,5\}\)

, dan

\((1*5) \mod 6 = 5\)

, dus nee dat is geen eenheid.

Ik was net aan het denken.

Stel:

\(Z^*_8=\varphi(2)*\varphi(2)*\varphi(2)=1\)

\(1 \mod 8 = 1\)

\((3*3) \mod 8 = 1\)

\((5*5) \mod 8 = 1\)

\((7*7) \mod 8 = 1\)

==>

\(Z^*_8=4\)

??

Nog maar eens edit:

Ik pas de regel vast verkeerd toe:

\(Z^*_8=\varphi(2^3)=2^2=4\)

[Drieske]

Dus eerst maar eens een jouw vraag beantwoorden

\(Z^*_6=\{1,5\}\)

, dan

\((1*5) \mod 6 = 5\)

, dus nee dat is geen eenheid.

Dus hoewel 5 een heid is, 1*5 is geen eenheid in Z_6??? Daar zit iets mis.

\(Z^*_8=\varphi(2)*\varphi(2)*\varphi(2)=1\)

Fout. Kijk nog eens naar je definitie van de Euler phi functie.

\(\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n)\)

als m en n relatief priem zijn. Verder

\(\varphi(p^k) = p^{k-1} (p-1)\)

. -edit- je beseft het . Ik laat de regel toch maar staan.

\(1 \mod 8 = 1\)

\((3*3) \mod 8 = 1\)

\((5*5) \mod 8 = 1\)

\((7*7) \mod 8 = 1\)

==>

\(Z^*_8=4\)

??

Dat klopt wel. Er zijn 4 eenheden. Je notatie is wel slecht: het is |Z_8^x| = 4 en (Z_8)^x = {1, 3, 5, 7}.

Zijn er in Z_175 dus 96 elementen.

Je bedoelt eenheden?

[Jaimy11]

Dus hoewel 5 een heid is, 1*5 is geen eenheid in Z_6??? Daar zit iets mis.

Ja ik begon te twijfelen.

Ik zei eerst dat het dus wel een eenheid was.

Ik kan ook niet beargumenteren waarom ik het toch nog heb aangepast.

Gewoon fout en duidelijk.

Fout. Kijk nog eens naar je definitie van de Euler phi functie.

\(\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n)\)

Dat klopt wel. Er zijn 4 eenheden.

Eens!

Je notatie is wel slecht: het is

\(|Z_8^x| = 4 en (Z_8)^x = {1, 3, 5, 7}\)

Je bedoelt eenheden?

Ja

[Drieske]

Ja ik begon te twijfelen.

Ik zei eerst dat het dus wel een eenheid was.

Ik kan ook niet beargumenteren waarom ik het toch nog heb aangepast.

Gewoon fout en duidelijk.

En wat denk je nu in het algemeen over het product van 2 eenheden?

Ow, okee, zal er op letten.

Niets ergs ofzo. Het is gewoon hetzelfde als het verschil tussen |G| en G, dat is al .

Ja

Dan is het goed .

[Jaimy11]

En wat denk je nu in het algemeen over het product van 2 eenheden?

Elk product van 2 eenheden is ook een eenheid.

Is het correct om te zeggen, dat elke getal deelbaar door 7 in

\(Z_{175}\)

Een mogelijkheid is.

Daarna moet voor elke van deze (25) mogelijkheden nog worden gecheckt of voor deze 25 geldt: getal * b = 1.

Als er zo'n b is, dan is het een element van orde 7.

Dus eigenlijk is het maximale aantal elementen van orde 7 gelijk aan 25. (als in: meer kan gewoon niet)

En na controle, zullen er vast nog een paar wegvallen...

[Drieske]

Is het correct om te zeggen, dat elke getal deelbaar door 7 in

\(Z_{175}\)

Hoe kom je daarbij? Een getal a is van orde b, als

\(a^b\)

= 1 én

\(a^{b - 1} \neq 1\)

. Wat je wél zeker weet, is dat je moet gaan kijken tussen die 96 elementen (je eenheden). Waarom?