Zwaartekracht binnen de aarde.

[Jan van de Velde]

Hier hebben we duidelijk een verschil van mening.

Daar laten wetenschappers het niet bij. Bij deze de uitnodiging aan Aadkr én Tempelier om hun standpunten te onderbouwen, bijvoorbeeld aan de hand van een model dat de werkelijke opbouw van de aarde redelijk benadert.

Dus, geen meningen meer, zelfs geen losse beredeneringen, rekenkundige onderbouwing graag

[tempelier]

@Tempelier: lees alles nog eens over. 317070 beweert nergens dat de zwaartekracht alleen maar afneemt, of dat de aarde homogeen is. Alleen maar dat de bolschil die je boven je laat niet meer meedoet.

Ik heb er uit gelezen dat dat zijn model was, maar het is waar zuiver formeel staat het er niet.

Is het redelijk dat ik "tegenspreken" vervang door "aanvulling"?

[Jan van de Velde]

Absoluut redelijk. Maar intussen beweer je dat afdalend in de aarde je onderweg ergens een 3% grotere g ondervindt dan aan de oppervlakte. Dat dient onderbouwd te worden.

[tempelier]

Absoluut redelijk. Maar intussen beweer je dat afdalend in de aarde je onderweg ergens een 3% grotere g ondervindt dan aan de oppervlakte. Dat dient onderbouwd te worden.

Voor die 3% kan ik niet staan, het was een artikel van een kleine 40jaar terug en dus kan die waarde best wel anders zijn geweest ik bezit geen absoluut geheugen. (dat had ik overigens vermeld)

[Jan van de Velde]

Dan nog (of juist daarom) verdient het onderbouwing.

[Jan van de Velde]

Er van uitgaande dat het model van de homogene aarde niet kán kloppen en uitgaande van de gedachte dat daar vast al eerder over nagedacht moet zijn heb ik google gestart, en stuitte daarbij op de PREM, preliminary reference earth model:

http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth#Depth

Hieruit valt te concluderen dat de zwaartekrachtversnelling vanaf de oppervlakte onderweg naar de kern nergens onder de oppervlaktewaarde van 9,8 m/s² zakt, en nabij de kern zelfs sterk oploopt tot wel om en nabij de 10,7 m/s², om pas vanaf daar bijna lineair te dalen tot 0 in het middelpunt.

de 3% die Tempelier zich meende te herinneren is dus nog een forse onderschatting van de werkelijkheid.

[ZVdP]

De atmosfeer analogie van Jan is een perfecte uitleg, maar voor degenen die wiskunde prefereren:

Wet van Gauss, voor de eenvoud zonder zonder de constantes en voor een inhomogene aarde (dichtheid enkel afhankelijk van de afstand tot het middelpunt, geen hoekafhankelijkheid):

\(g( r )\sim\frac{M_{in}( r )}{A( r )}\)

waarbij

\(M_{in}( r )\)

de massa ingesloten is door een schil met straal r, en A( r ) de oppervlakte van die schil.

\(A( r )=4\pi r^2\)

\(M_{in}( r )=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^r \rho( r )r^2\sin(\theta) drd\theta d\phi\)

Gebruik makende van de homogeniteit in de radiële richtingen:

\(M_{in}( r )=4\pi\int_0^r \rho( r )r^2dr\)

\(g( r )\sim\frac{\int_0^r\rho( r )r^2dr}{r^2}\)

Voor een homogene aarde (

\(\rho( r )=cte\)

) geeft dit de welgekende formule:

\(g( r )\sim r\)

Maar als je nu een

\(\rho( r )\)

neemt die sneller afneemt dan 1/r (op een bepaald interval eventueel), dan neemt de noemer (~r²) sneller toe dan de teller (

\(\sim r^k\)

, waarbij k<2). En kan g dus wel degelijk dalen.

Of een model met een stapsgewijze

\(\rho( r )\)

(zware kern, lichtere mantel):

\(g( r )\sim\frac{\int_0^{r_1} \rho_1r^2dr+\int _{r_1}^r \rho_2r^2dr}{r^2}\)

\(g( r )~\sim\frac{\rho_1 r_1^3+\rho_2r^3-\rho_2r_1^3}{r^2}=\rho_2r+\frac{(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^2}\)

De tweede bijdrage is positief, aangezien

\(\rho_1>\rho_2\)

, maar die bijdrage neemt wel af bij toenemende r.

Als nu de toename van

\(\rho_2r\)

kleiner is dan de afname van

\(\frac{(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^2}\)

, dan neemt g ook weer af. De voorwaarde hierop zal te vinden zijn door de differentiaal naar r van beide termen te nemen en met elkaar te vergelijken.

Toename eerste term=

\(\rho_2dr\)

afname tweede term=

\(\frac{2(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^3}dr\)

De voorwaarde voor afnemende g is:

\(\frac{2(\rho_1-\rho_2)r_1^3}{r^3}>\rho_2\)

of

\(r_1<r<\sqrt[3]{\frac{2(\rho_1-\rho_2)}{\rho_2}}r_1\)

Nu moet je enkel nog de dichtheden zodanig kiezen dat die derdemachtswortel groter is dan 1.

[SuperStalker]

Volgens mij zal de zwaartekracht toenemen.

Mijn theorie:

De aarde veroorzaakt een centripetale versnelling, als gevolg van haar volume en massa, echter wordt er ook een centrifugale versnelling veroorzaakt, door de rotering van de aarde om haar middelpunt:

\(\alpha = \omega^2 \cdot r\)

De resulterende versnelling, heeft de naam zwaartekracht gekregen.

- Wanneer de aarde minder snel gaat draaien, zal de centrifugale versnelling afnemen wat resulteerd in toename van zwaartekracht.

- Wanneer men een tunnel graaft naar de kern, neemt r (radius) af, dus zal de tegenwerkende kracht afnemen, wat resulteerd in een hogere zwaartekracht.

[physicalattraction]

Ik denk dat je hier wat zaken door elkaar haalt. Zwaartekracht heeft niets te maken met de schijnkrachten waar jij het over hebt. We zouden namelijk ook naar de aarde worden aangetrokken wanneer deze niet zou ronddraaien.

[tempelier]

Volgens mij zal de zwaartekracht toenemen.

Mijn theorie:

De aarde veroorzaakt een centripetale versnelling, als gevolg van haar volume en massa, echter wordt er ook een centrifugale versnelling veroorzaakt, door de rotering van de aarde om haar middelpunt:

\(\alpha = \omega^2 \cdot r\)

De resulterende versnelling, heeft de naam zwaartekracht gekregen.

- Wanneer de aarde minder snel gaat draaien, zal de centrifugale versnelling afnemen wat resulteerd in toename van zwaartekracht.

- Wanneer men een tunnel graaft naar de kern, neemt r (radius) af, dus zal de tegenwerkende kracht afnemen, wat resulteerd in een hogere zwaartekracht.

Aan de evenaar is dat op zijn sterkst maar bedraagt daar iets meer dan een

\(\dfrac{1}{300}\)

g

Een waarde die in de praktijk zo goed als verwaarloosbaar is.

[Benm]

Afgezien daarvan wordt ook nergens expliciet gevraagd of het traject vanaf de evenaar of vanaf de pool naar de kern loopt - in het laatste geval maakt het draaien sowieso geen verschil (veronderstelt dat de rotatie-as door de polen loopt, als definitie).

Ik denk dat de eerder genoemde 'ongeveer 3%' voortkomt uit een model met linear toenemende dichtheid - op zich geen slechte aanname, al blijkt het in de praktijk dus nog harder dan linear te gaan.

[SuperStalker]

Aan de evenaar is dat op zijn sterkst maar bedraagt daar iets meer dan een

\(\dfrac{1}{300}\)

g

Een waarde die in de praktijk zo goed als verwaarloosbaar is.

Mijn theorie toegepast, op geschatte getallen.

\( v = \omega \cdot r \)

\( \frac {40.000km} {24uur}= \omega \cdot 5000km\)

\( \omega = \frac {1.666,66km/u}{5000km}=0,333rad/u\)

\( \alpha = \omega ^2 \cdot r\)

\( \alpha = 0,111rad/u ^2 \cdot 5.000km = 555,55 km/u^2 = 42,9 m/s^2 \)

Volgens mij is dit iets meer dan de 1/300 die jij zei, of ik heb iets over het hoofd gezien.

[tempelier]

Mijn theorie toegepast, op geschatte getallen.

\( v = \omega \cdot r \)

\( \frac {40.000km} {24uur}= \omega \cdot 5000km\)

\( \omega = \frac {1.666,66km/u}{5000km}=0,333rad/u\)

\( \alpha = \omega ^2 \cdot r\)

\( \alpha = 0,111rad/u ^2 \cdot 5.000km = 555,55 km/u^2 = 42,9 m/s^2 \)

Volgens mij is dit iets meer dan de 1/300 die jij zei, of ik heb iets over het hoofd gezien.

Ja je werkt in km en uren en stapt dan ineens over op m en s daar zit een fout van een factor 1000 lijkt me.

Ook is de hoeksnelheid niet juist

\( \omega = \frac{2Pi}{24}=0.2618rad/u=0.00087266rad/s\)

[Michel Uphoff]

Leuk onderwerp en prima uitleg!

Aanvullende overpeinzing: Is in het exacte gravitatiecentrum van een black hole de versnelling van de zwaartekracht ook nul?

[Gast]

Fascinerend onderwerp inderdaad! (#30=mijn 30ste  )
 

Alles. Goed beschouwd maakt die ook onderdeel uit van de totale massa van de aarde. Op het aardoppervlak is er minder totale massa die je aantrekt dan op bijvoorbeeld 20 km hoogte, je hebt al een (bol)schil boven je die effectief niet meer meedoet. Toch stijgt g als je in de atmosfeer afdaalt. Omdat je een lichte schil boven je laat en dichter tot de zwaardere schillen nadert.

Ook als je in de aarde afdaalt: Korststeen is relatief licht materiaal. En je afstand tot de zware ijzer-nikkelkern neemt af.

Het verschil is dus dat tussen een theoretische homogene aarde en een praktische heterogeen opgebouwde aarde.

 
Als ik het goed begrijp betekent dit dus dat de gravitatie toeneemt naarmate "iets" (wat dan ook) dichter bij plekken komt waar de volumieke massa van materie 'om/op en in de aarde' groter is (right?). 
 
(Hierdoor wordt bijvoorbeeld zeewater (dus) aangetrokken door het ijs (en gesteente) van Groenland.)
 
In dit geval zou je kunnen zeggen dat er meerdere zwaartepunten op en in de aarde zitten met elk hun eigen gravitatieveld. Hierdoor ontstaan er "grenzen" tussen die gravitatievelden en wanneer "iets" zo'n grens overschrijdt, "iets" geen enkele invloed meer ondervindt van het gravitatieveld waar het uitkomt. (Hetzelfde als bij die (bol)schillen?) 
Maar toch nog wel van het gravitatieveld van het gemeenschappelijke zwaartepunt van de aarde?
 
De vraag ging er in eerste instantie toch om of "iets" aangetrokken kan worden door meerdere zwaartekrachten op of in de aarde? ... En zoals ik het nu begrijp kan dat dus wel, maar is de één verwaarloosbaar ten opzichte van de ander. Zoals de massa's van die (bol)schillen verwaarloosbaar zijn ten opzichte van het de massa van de nikkel-ijzerkern van de aarde  ???
 
Sorry voor de grammatica en hopelijk sta ik niet helemaal voor *** met ... hoe ik het begrijp.
 
(In het exacte gravitatiecentrum van een zwart gat verandert "alles" toch in TommyWhite-Hawkingstraling?  )