Driehoeksongelijkheid bewijzen

[William_Slegers]

Graag had ik een vraag beantwoord over het bewijzen van de driehoeksongelijkheid, er zijn twee manieren maar zijn deze allebei 'even' juist?

Bewijs driehoeksongelijkheid:

Te Bewijzen:

We willen bewijzen dat de absolute waarden van de som kleiner dan of gelijk is aan de som van de absolute waarden.

Voor alle a, b ∈R: |a + b| ≤ |a| + |b|

Bewijs:

-|a|≤ a ≤ |a|

+ -|b| ≤ b ≤ |b|

- (|a|+|b|) ≤ a+b ≤ |a|+|b|

en dus a+b ≤ |a|+|b|

Voor het rechterlid weten we dat de absolute waarden tekens overbodig zijn omdat het een som is van elementen die sowieso positief zijn.

en dus: |a| + |b|≤ a+b waaruit volgt dat |a + b| ≤ |a| + |b|

_______________________________________

Zij q ∈R en r ∈R^+. Dan zijn volgende uitspraken equivalent:

I. |q|≤ r

II. -r ≤ q ≤ r

Voor alle a, b ∈R

-|a|≤ a ≤ |a|

+ -|b| ≤ b ≤ |b|

- (|a|+|b|) ≤ a+b ≤ |a|+|b|

Dit is door I en II gelijk aan:

|a + b| ≤ |a| + |b| waarbij q = a+b en a+b ∈R

en r = |a| + |b| en |a| + |b| ∈R^+

[Safe]

Ja hoor, maar zie jij 'problemen'?

[William_Slegers]

Mijn methode, de eerste dus, leek mij veel eenvoudiger, maar was niet zeker of deze aan de noden voldeed. Hierdoor wou ik hier even verificatie halen dat mijn methode echt juist was.

[Safe]

Bewijs:

-|a|≤ a ≤ |a|

+ -|b| ≤ b ≤ |b|

- (|a|+|b|) ≤ a+b ≤ |a|+|b|

en dus |a+b| ≤ |a|+|b|

De tekst is overbodig