[minicursus] speciale relativiteitstheorie

[Prof. relativiteit]

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen .


Als je van deze cursus gebruik maakt, willen we je vriendelijk vragen te laten weten wat je er van vond:

• Geef eventuele foutjes aan;
• Zijn de onderdelen soms onduidelijk, of net erg helder?
• Ontbreken er volgens jou stukken, of heb je suggesties?
• ...

Reageren kan in vragen en opmerkingen . We wensen je veel plezier en succes met cursus.


---------------------------------------------------------------------------------------


[minicursus]SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE


Aan deze minicursus hebben de volgende gebruikers meegewerkt:

DePurpereWolf, doemdenker, DvR, Elmo, hallo1979, peterdevis, Reinder, robblokland, Stefan, Syd


inhoudsopgave


Ontstaan van de speciale relativiteitstheorie


Les 1 : Het newtoniaans wereldbeeld

Les 2a : Maxwells theorie in woorden

Les 2b : Maxwells theorie verder uitgewerkt

Les 3 : Het Michelson - Morleyexperiment

Speciaal relativistische kinematica


Les 4 : De twee postulaten van de relativiteitstheorie

Les 5 : Lorentzcontractie (deel 1)

Les 6 : Tijdsdilatie

Les 7 : De tweelingparadox voor eenparig bewegende waarnemers

Les 8 : Gelijktijdigheid en ongelijktijdigheid

Les 9 : Lorentzcontractie (deel 2)

Les 10 : Aberratie

Les 11 : Minkowskiruimte

Les 12 : Ladder-schuurparadox

[Prof. relativiteit]

Les 1 : Het newtoniaans wereldbeeld


Voordat we de wondere wereld van de relativiteitstheorie bespreken, moeten we eerst even stilstaan bij enkele illustere voorgangers van Einstein. Zonder hun inspanningen zou Albert immers zijn beroemde theorie niet ontwikkeld kunnen hebben.

Het is niet enkel om Galilei, Newton en Maxwell de eer te bewijzen die hun toekomt, maar wel voornamelijk om de wortels van de relativiteit te leren kennen en te begrijpen.


Tot aan de 17de eeuw werd de wetenschap gedomineerd door de wetenschapsfilosofie van Aristoteles: natuurwetten werden afgeleid uit ervaringen die men had, uit het observeren van de natuur. Deze methode leidde dikwijls tot foute conclusies. Zo dacht Aristoteles dat een voorwerp naar beneden viel met een eenparige snelheid (= zonder te versnellen).


Galileo Galilei (1564-1642) was een van de eerste wetenschappers die de natuur ging analyseren.

Door middel van doelbewuste experimenten bekeek Galileo op systematische manier hoe bepaalde systemen zich gedroegen bij het veranderen van één parameter. Op deze manier ontdekte Galilei dat voorwerpen zich verzetten tegen een verandering van beweging: inertie.

Newton werkte deze gedachte verder uit waardoor de wet der traagheid beter bekend is geworden als de eerste wet van Newton.


Het verschijnen van de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Wiskundige beginselen van de natuurfilosofie, meestal Principia genoemd) van Isaac Newton in 1687 betekende een enorme stap voorwaarts voor de hele natuurkunde. In dit werk introduceerde Newton de basiswetten voor de mechanica, de drie wetten van Newton:


1. Een voorwerp waarop geen krachten werken, beweegt in een rechte lijn met constante snelheid.

2. Een voorwerp met massa m waarop een kracht F werkt, ondergaat een versnelling a volgens de vergelijking

\( F= m \cdot a\)

3. Als een voorwerp een kracht F op een ander voorwerp uitoefent, gaat deze kracht gepaard met een even grote, maar tegengestelde kracht -F van het tweede op het eerste voorwerp. Deze wet wordt vaak samengevat als:

actie = reactie of beter nog actie = -reactie.


We gaan even verder in op de 2de wet. Hierin wordt een eigenschap van een voorwerp geïntroduceerd die we massa noemen. Inertiële (of trage) massa is een maat voor de weerstand van een lichaam om van snelheid te veranderen. U merkt dat we aan de term massa nog de kwalificatie traag of inertieel hebben toegevoegd. We zullen immers dadelijk zien dat er nog een andere massa bestaat.


Uit de wetten van Kepler leidde Newton de universele zwaartekrachtswet af. Eenvoudig gesteld komt het er op neer dat twee voorwerpen elkaar aantrekken (een kracht op elkaar uitoefenen). De mate dat deze voorwerpen elkaar aantrekken is niet alleen omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tussen de voorwerpen, maar ook afhankelijk van de gravitationele (of zware) massa van de voorwerpen. Deze massa is een maat voor eigenschap van een voorwerp om aangetrokken te worden door een ander voorwerp.

Meer formeel wordt de universele zwaartekrachtswet als volgt geformuleerd:


De kracht F waarmee twee voorwerpen elkaar aantrekken is recht evenredig is met de massa's

\(m_1\)

en

\(m_2\)

van beide voorwerpen en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand r tussen de voorwerpen.

\(F=\frac{ g m_1 m_2}{r^2}\)

Door voorwerpen met verschillende massa's van de toren van Pisa (fabel of niet) te werpen ontdekte Galileo reeds dat ongeacht de massa van een voorwerp, de valversnelling altijd hetzelfde blijft. Hij leidde hieruit af dat de inertiële massa (trage massa) equivalent is aan de gravitationele massa (zware massa). Deze gelijkheid wordt het equivalentieprincipe van Galileo genoemd. Later zou Einstein dit als een van de fundamenten van zijn theorie gebruiken.


Beste lezer, het is van essentieel belang om bovenstaand experiment goed te begrijpen. Het is immers niet vanzelfsprekend dat deze 2 eigenschappen (zware en trage massa) aan elkaar gelijk moeten zijn. Tot op heden worden er nog steeds experimenten opgezet om na te gaan of deze gelijkheid wel op gaat. Mocht blijken uit deze experimenten dat er toch een verschil is in beide massa's dan kunnen we de relativiteitstheorie naar de prullenmand verwijzen. (Weet je ook waarom?)


De formulering van de universele zwaartekrachtswet betekende een unificatie tussen de wetten van de mechanica op aarde en die in de rest van het heelal. De wetten van Newton waren zo universeel dat hieraan niet meer getornd werd totdat in 1905 Einstein ons inzicht in de ruimte deed wankelen. Hiervoor moest er in een ander domein van de wetenschap eerst echter nog belangrijk werk geleverd worden. (zie les Maxwell)


Perceptie over ruimte en tijd


In de klassieke oudheid was men ervan overtuigd dat waar of hoe een voorwerp gemeten werd geen invloed had op de meetresultaten. Ruimte was absoluut. Ook de tijd werd als absoluut ervaren. Of je de tijd nu mat in je huis, op een paard of op een toren, steeds ging men er van uit dat je dezelfde tijd zou meten.

Erg gek is dit niet, want in onze dagelijkse leefwereld ervaren wij afstand en tijd immers ook als absolute eenheden.

Toen in de 17de eeuw men besefte dat de aarde rond de zon draaide, werd het middelpunt van het heelal verlegd naar de zon.

Er onstond echter een groot probleem. Doordat alles rond de zon draaide, bezat ook de aarde een snelheid. Waar men voordien bij het meten van snelheden er simpelweg van uitging dat dit ten opzichte van het aardoppervlak was, besefte men nu dat je snelheid ook kon meten t.o.v de zon of eender ander voorwerp. Snelheid werd relatief. Om wiskundig makkelijk aan te duiden ten opzichte van wat je ging meten werd het referentiekader of referentiestelsel ingevoerd. Dit is niet meer dan een punt (het nulpunt) waaruit drie loodrecht (meer algemeen drie niet lineair afhankelijke) op elkaar staande assen vertrekken. Zo kunnen we het middelpunt van de aarde als nulpunt nemen en er drie assen aan toevoegen als een referentiekader. We kunnen ook het middelpunt van de zon als referentiekader nemen. Merk hierbij op dat deze twee referentiekaders ten opzichte van elkaar bewegen.


Galileo kwam tot de bevinding dat een voorwerp steeds recht naar beneden viel, of je nu op het vasteland stond of op een varend schip. Dit ging echter enkel op indien het schip niet versnelde of vertraagde. Het was Galileo dan ook die als eerst besefte dat natuurwetten (meer specifiek de mechanica) in niet versnellende referentiestelsels (inertiaalstelsels) hetzelfde moeten zijn.

Een waarnemer in een afgesloten kajuit van een niet-versnellend schip kan op geen enkele mechanische manier bepalen of hij in beweging is of niet.

Merk hierbij op dat dit postulaat enkel standhoudt als het equivalentieprincipe opgaat. (Vraag jezelf maar af waarom.)


Er is nog een interessante nevenbeschouwing over de galileaanse relativiteit. Het was in die tijd immers een prangende vraag wat objecten liet bewegen. Galileo besefte dat dit een verkeerde vraag was, éénparige beweging is immers geen absoluut concept. De juiste vraag bleek te zijn: "wat verhindert een object om eenparig te bewegen?" Het antwoord hierop is krachten (waar hiermee ineens de definitie ervan is gegeven). Het voorgaande illustreert een groot probleem in de natuurkunde, we hebben alle antwoorden tot onze beschikking (de natuur toont ze ons dagelijks), alleen moeten de juiste vragen gesteld worden.


De essentie van deze les is het equivalentiebeginsel en het daarmee samenhangende relativiteitsprincipe van de inertiaalstelsels. Het goed begrijpen van de impact van deze fundamentele inzichten is een noodzaak om de latere relativiteitstheorie goed te begrijpen.

[Prof. relativiteit]

Les 2(a) : Maxwelltheorie in woorden


James Clerk Maxwell (1831-1879) is waarschijnlijk de belangrijkste en beroemste natuurkundige die onder het algemene publiek niet bekend is. Volgens de meeste fysici staat hij op eenzame hoogte met zulke super-sterren als Newton en Einstein, maar bij de meeste anderen (net als bij zijn tijdgenoten: hij was hen wel een halve eeuw voor) is hij vrij onbekend. In deze, uitgebreide, les zullen we zijn theorie op twee manieren bestuderen. In les 2(a) zullen we in eenvoudige termen, zonder het gebruik van formules dus, inzichtelijk proberen te maken wat de belangrijkste conclusies zijn die uit de theorie volgen. Les 2(a) is daarom een essentieel onderdeel van de opbouw tot Einstein's relativiteitstheorie. In les 2(b) zullen we de theorie in veel meer wiskundige details gaan bekijken. Deze details zijn noodzakelijk om precies te begrijpen hoe de theorie werkt, en ook om in te zien waarom Maxwell zo'n bijzonder genie was. Echter, om de algemene lijn in deze minicursus te volgen, kan je les 2(b) ook overslaan en met les 3 verder gaan. Prof. Relativiteit raadt je aan om wel te proberen om te kijken of je les 2(b) begrijpt. Echter, besteed niet extreem veel tijd aan deze les: als je geen VWO-niveau wiskunde en natuurkunde gevolgt hebt, dan zal je er waarschijnlijk wat moeite mee hebben.


In 1873 publiceerde James Maxwell zijn meesterwerk: het boek "A Treatise on Electricity and Magnetism". Uiteindelijk is alle natuurkunde in dit hele boek door middel van slechts vier vergelijkingen, de zogenaamde Maxwell-vergelijkingen, samen te vatten:

\(\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac {Q}{\epsilon_0}\)

\(\oint_S \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = 0\)

\(\oint_{\partial S} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s} = - \frac {\mbox{d} \Phi_{B}}{\mbox{d}t} \)

\(\oint_{\partial S} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{l} = \mu_0 I_S + \mu_0 \epsilon_0 \frac {\mbox{d} \Phi_{E}}{\mbox{d}t}\)

In deze vier vergelijking worden alle electrische en magnetische fenomenen beschreven. De wiskunde achter deze vergelijkingen, en wat ze precies betekenen, wordt in les 2(b) behandeld. In deze les zullen we enkel kwalitatief gaan bestuderen wat we uit de Maxwell-vergelijkingen kunnen leren.


De Maxwell-vergelijkingen zijn zeer ingewikkeld om echt tot in detail te begrijpen. Zij vertellen ons bijvoorbeeld hoe een antenne van een FM-radio werkt; waarom een geladen electron in een televisie afbuigt en daarna na interactie met het scherm als (primaire) kleur te zien zal zijn; wat de reden is dat er geen blikseminslag in een kooi van Faraday kan plaatsvinden; hoe sterk twee magneten elkaar afstoten; en nog heel erg veel meer. Alle electriciteitsleer die je kent (dus bijvoorbeeld de 1/r² afhankelijkheid van de elektrische interactie, of de wet van Coulomb) zitten in deze vier simpele formules verstopt. Het zou een volledige minicursus, of eigenlijk een uitgebreide universitaire college-serie, kosten om al deze effecten te bestuderen. Natuurlijk willen we dat hier helemaal niet doen (alhoewel in les 2(b) dus een aantal zaken kort de revue zullen passeren) en daarom bekijken we in deze les enkel de zaken welke echt noodzakelijk zijn voor de rest van de minicursus.


Het aller-belangrijkste (voor de relativiteitstheorie) wat je uit deze les moet onthouden is dat uit de Maxwell-vergelijkingen volgt dat licht niets anders is dan een electromagnetische golf en dat zo'n electromagnetische golf zich met de lichtsnelheid voortplant. Hopelijk wordt je uit deze les duidelijk dat dit niet iets triviaals is, maar dat hier iets heel bijzonders aan de hand is.


In les 1 hebben we reeds de Galilei transformatie gezien: volgens deze transformatie kan je snelheden gewoon optellen. Dus als jij in een auto zit die met 100 km/uur over de snelweg rijdt en er komt een ander auto voorbij welke met 100 km/uur ten opzichte van jou voorbij raast, dan mag je aannemen dat deze auto met 200 km/uur over de snelweg beweegt. Het bijzondere van Maxwell's theorie is dat deze dit voor-de-hand liggende en intuitive resultaat niet reproduceert! Volgens de Maxwell-vergelijkingen zou die auto namelijk niet met 200 km/uur over de snelweg razen, maar met een net iets lagere snelheid. Naarmate de snelheid van de auto's dichter bij de lichtsnelheid (300.000 km/s) komt, voorspelt Maxwell's theorie een steeds grotere afwijking van het 'logische' resultaat welke de Galilei transformatie voorspelt. Dit resultaat moet dus betekenen dat de Maxwell-vergelijkingen niet invariant zijn onder de Galilei transformatie!


Het feit dat de Maxwell-vergelijkingen niet invariant zijn onder de Galilei transformatie leek in eerste instantie een probleem voor de natuurkundigen uit de tweede helft van de negentiende eeuw. Het was voor hun immers bekend uit het werk van Newton dat er niet zoiets was als absolute rust, en dus moest het voor hun wel zo zijn dat de Galilei transformatie klopte. Toch kon men de theorie van Maxwell niet zomaar negeren, want ze zagen wel in dat deze alle electrische en magnetische effecten kon verklaren (en voorspellen!) die men in het laboratorium kon meten. Uit experimenteel oogpunt bleek de theorie dus zeer succesvol. En naarmate men de theorie beter begon te begrijpen, en gedetailleerder begon te bestuderen, besefte men dat de theorie eigenlijk alle electromagnetische effecten precies goed beschreef. De theorie bevind zich dus wat experimenteel bewijs betreft op zeer vaste grond. Er is hedentendage dan ook geen fysicus te vinden die serieuze twijfels heeft bij de correctheid van deze theorie.


Overigens is het goed om even stil te staan bij het begrip electromagnetische effecten welke we hier en-passant ingevoerd hebben. "Electromagnetisme" is een van de centrale punten in de Maxwelltheorie: volgens de theorie kan je niet meer praten over een electrisch effect (zoals een stroomverschil dat je meet bij een stopcontact) of een magnetisch effect (zoals een gewone permanente magneet). Maxwell liet namelijk zien dat deze effecten aan elkaar gekopeld zijn. Om precies te zijn bewees hij hoe voor elke electromagnetische golf afwisselend het magnetische veld in intensiteit verandert, welke daarbij (door inductie) een veranderend electrisch veld veroorzaakt, dat op zijn beurt weer een veranderend magnetisch veld genereert, enz. enz. De enige manier om de natuurkunde van electriciteit en magnetisme dus goed te kunnen beschrijven, is door in te zien dat zij beiden twee kanten van de zelfde medaille vormen. Maxwell gooide electriciteit en magnetisme dus eigenlijk op een grote hoop en beschreef beide tegelijk!


Voordat we verder gaan met deze les, is het goed om een veelvoorkomend misverstand over het begrip "electrische golf" te noemen. Hoe moeten we zo'n golf nu eigenlijk voorstellen? Is een electromagnetische golf iets fysisch, bijvoorbeeld een (co)sinusvorm in de ruimte, net als een watertrilling op het oppervlak van een vijver? Nee, zo moet je je een electromagnetische golf niet voorstellen! Zo'n golf is volgens de theorie van Maxwell enkel een wiskundig begrip welke een manier is om de natuur te beschrijven, maar waar je verder geen diepere inzichten aan moet toekennen anders dan een periodieke verandering in 'de mate van electrische en magnetische interactie-sterkte' die op een bepaalde positie aanwezig is. (Achteraf, nadat je deze minicursus gevolgd hebt, kan je misschien inzien dat een electromagnetische golf eigenlijk een trilling in de gezamelijke ruimtetijd is.)


We kunnen gelukkig toch wel iets preciezer zijn zonder het gebruik van formules. Maxwell voorspelde namelijk dat er twee velden zijn: het electrische- en het magnetische veld. Deze twee velden zijn wederom wiskundige begrippen en hun effecten zijn overal aanwezig. Of er al andere materie aanwezig is of dat er alleen maar lege ruimte is, dat maakt voor die velden niet uit. Deze twee velden beschrijven de kracht die een hypothetische lading of een magneet zou kunnen "voelen" op elke plek in het universum, als gevolg van de al aanwezige ladingen/magneten in het universum. Het is van belang dat je inziet dat er natuurlijk niet op elke plek in het universum een lading danwel een magneet aanwezig is: het veld beschrijft alleen maar wat zo'n lading/magneet zou voelen wanneer het daar aanwezig zou zijn. Maxwell's theorie vertelde vervolgens precies in hoeverre het aanwezig zijn van een electrische of magnetische lading op een gegeven plek in het universum, invloed heeft op hetgeen de al aanwezige ladingen en magneten voelen in de rest van het universum. Deze gedachtestap was enorm: immers, als je er even over nadenkt, wat zou het nou eigenlijk voor een magneet uitmaken of er wel of niet een electrische lading in de buurt is, en visa-versa?


Toch blijkt uit de theorie dat dit een zeer grote invloed kan hebben. Om alvast een klein gevoel te krijgen voor de pracht van de relativiteitstheorie, welke dus (voor een deel) ingebakken zit in de Maxwell-vergelijkingen, zullen we een gedachtenexperiment doen. Stel je voor dat we twee electrische ladingen hebben, welke (op een zekere afstand van elkaar) stil staan. Deze twee ladingen zorgen dan dus voor een electrisch veld welke overal aanwezig is, dat is duidelijk. Omdat er verder helemaal geen magnetisme in het spel is, volgt het logischerwijs dat het magnetische veld overal nul zal zijn. Maar stel nu eens dat die twee ladingen zouden bewegen... hoe zou de situatie er dan uit zien? Eigenlijk is een bewegende lading namelijk niets anders dan een stroom. En van een stroom weten we uit de middelbare-schoolnatuurkunde dat deze een magneetveld opwekt. Dus wanneer de twee ladingen bewegen, hebben we niet alleen een electrisch veld welke overal aanwezig is, maar opeens ook een magneetveld. Omdat beweging relatief is (als jij net zo snel beweegt als die twee ladingen, dan lijkt het voor jou alsof ze stil staan), kan je dus zeggen dat het magneetveld niets anders is dan een relativistisch effect! Dat is de kracht van de Maxwelltheorie: de relativiteitstheorie zit niet alleen ingebakken in de theorie, het verklaart ook nog eens direkt waarom we electrische en magnetische effecten kunnen zien als twee kanten van de zelfde medaille.


Het belangrijkste direkte gevolg van de Maxwell-vergelijkingen is dat elke electromagnetische golf zich met de zelfde snelheid moet voortplanten. Deze snelheid werd bepaald door twee constantes welke experimenteel goed bekend waren: de zogenaamde permetiviteit en permeabiliteit van het vacuum, welke de electrische en magnetische eigenschappen van het vacuum beschrijven. Preciezer gezegd, deze constantes geven aan hoe sterk de creatie van een elektrisch of magnetisch veld tegen gewerkt wordt door het vacuum. Uit de theorie volgde ook dat de waardes voor deze constantes niet mag afhangen van de bewegingstoestand van de waarnemer, noch van de bewegingstoestand van de bron. Dus men kon eenvoudig uitrekenen wat de voortplantingssnelheid van een electromagnetische golf in het vacuum moest zijn: en dat bleek dan altijd precies de lichtsnelheid te zijn! Met Maxwell's theorie kon men zelfs laten zien dat licht niets anders is dan een electromagnetische golf. Het zat echter ingehamerd bij de natuurkundigen van de negentiende eeuw dat golven zich door een medium voortplanten, en dat de beweging van de waarnemer ten opzichte van het medium opgeteld moet worden bij de bewegingssnelheid van de golf in het medium (dus volgens de Galilei transformatie)...


De vraag die Maxwell's werk opriep was dus: in welk medium planten lichtgolven zich voort? De gangbare opvatting in die tijd was dat het heelal was gevuld met een of andere ijle tussenstof, die men ether noemde. Zelfs in wat wij het vacuum noemden zou die ether nog aanwezig zijn. Deze ether zou dan het medium zijn waar de lichtgolven zich met 300.000 km/s in voortplanten. Men moest een aanname maken over het 'rustpunt' van de ether, en nam dus voor het gemak maar aan dat deze ether in rust was ten opzichte van het stelsel van de vaste sterren (dus de sterren die zeer ver weg staan). Gek genoeg bleek nergens uit Maxwell's vergelijkingen dat deze ether uberhaubt bestond. Het leek er zelfs op dat die hele ether niet nodig was en dat lichtgolven zich dan toch gewoon in het vacuum konden voortplanten.


Men was er echter nog niet klaar voor om de ether-aanname overboord te gooien, totdat men zich een groot probleem met deze ether realiseerde: de aarde draait namelijk in een baan om de zon en dus zou deze moeten bewegen door die ether. Dat zou dus moeten betekenen dat metingen van de lichtsnelheid niet altijd dezelfde waarde zouden opleveren. Net zoals bij geluidsgolven (de snelheid waarmee die zich door lucht voortbewegen is ongeveer 340 m/s): wanneer een waarnemer een geluidsbron nadert, zal hij een hogere geluidssnelheid meten, dan wanneer hij zich van de bron vandaan beweegt. Om deze effecten bij licht op te meten, zijn uiteraard nauwkeurige experimenten nodig. Immers, de snelheid van de aarde in haar baan om de zon is ongeveer 30 km/s, dus je verwacht lichtsnelheden te zullen meten tussen 299970 en 300030 km/s. Vanaf 1880 zijn dit soort experimenten uitgevoerd, onder andere door Michelson en Morley, met een wel heel verrassend resultaat: de lichtsnelheid blijkt altijd 300.000 km/s te zijn, onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer, precies in overeenstemming met de theorie van Maxwell!


Concluderend kunnen we dus zeggen dat de theorie van Maxwell twee belangrijke inzichten gaf welke voor de ontwikkeling van de relativiteitstheorie van cruciaal belang waren:

• 1. Electromagnetische fenomenen gedragen zich anders in en bewegend lab dan in een stilstaand (zie het voorbeeld met de twee stilstaande/bewegende ladingen). Dit resultaat was strijdig met het relativiteitsprincipe van Galilei.
  
  2. In de golfvergelijking van Maxwell kwam de snelheid van de bron van de golven niet voor en aangezien de theorie ook stelde dat licht een electromagnetische golf was, moest dit dus betekenen dat de lichtsnelheid onafhankelijk is van de snelheid van de bron.
  
  Deze twee punten zette Einstein aan om de relativitietstheorie te ontwikkelen.

Je kan dus wel zien dat Albert Einstein niet overdreef, toen hij zei:

"The special theory of relativity owes its origins to Maxwell's equations of the electromagnetic field"

In les 3 zullen we het experiment van Michelson en Morley in meer detail gaan bestuderen.

[Prof. relativiteit]

Les 2(b) : Maxwell's theorie verder uitgewerkt

 

"The most profound and most fruitful that physics has experienced since the time of Newton."

Dit hierboven is een quote van Einstein over het werk van Maxwell. Door hier mee te beginnen is meteen duidelijk of Maxwell nou iets voor de relativiteit heeft betekend.


Maxwell was een Schotse wiskundige, die natuurkundige problemen op een wiskundige manier aanpakten. Voordat hij zijn werk totaal aan elektro- en magnetisme besteedde had hij al enkele rapporten geschreven over thermodynamica, kinematica en mechanische deformaties.


Dit hoofdstuk gaat over de formules van Maxwell, en gaat dus verder als hoofdstuk 2a. Voor het begrijpen van de relativiteitstheorie is het niet erg om dit hoofdstuk over te slaan. Hoofdstuk 2a en 2b gaan over het zelfde onderwerp en zijn appart van elkaar te lezen.


Aan het eind van dit hoofdstuk begrijp je dat uit de formules van Maxwell geconcludeerd wordt dat lichtsnelheid een Elektro-Magnetische golfbeweging is. De snelheid van deze golfbeweging is constant en wordt de lichtsnelheid genoemd. De afleiding van de formules van Maxwell zijn vrij wiskundig, ook is een voorkennis over Elektro-Magnetica gewenst.


Vier van de staande fundamentele vergelijkingen over de Elektro-Magnetica onderwerp worden hier verder uitgelegd.

De wet van Gauss over het Elektrisch veld

Gauss introduceerde een nieuwe grootheid in het veld van de elektrostatica. De Elektrische Flux. De E-flux is het elektrische veld dat loodrecht door een oppervlakte gaat. Voor de wet van Gauss bekijken we de flux door een gesloten oppervlak zoals een bol of een aardappelvorm, wiskundig gesproken:


Dat rondje in de integraal betekend dat het een oppervlakte is zonder eind, bijvoorbeeld een bol, of een aardappel.

Nu is dat voor aardappelvormige voorwerpen wat moeilijk uit te rekenen, dus laten we de versimpelde vorm van een bol nemen. In het middelpunt van deze bol bevindt zich een lading ‘q’ door symetrie is er op elke plaats op de holle bol het zelfde E-veld.

De elektrische flux door de gesloten oppervlakte van de bol is als volgt:


Het E-veld ten gevolge van een lading is als volgt:
(Q is lading, en r is afstand, maar wat is k?)


Vullen we dit in krijgen we de E-flux die totaal niet afhankelijk is van de diameter van de bol


Hieruit kunnen we stellen dat deze vergelijking voor alle afgesloten oppervlaktes geldt. Dus ook voor aardappelvormen. De eerste wet van Gauss is:

De wet van Gaus over het Magnetisch veld

Het vorige gedachtenexperimentje voerde Gauss ook uit op het Magnetisch veld. Eerst werd de Magnetische flux bepaald zijnde het magnetisch veld loodrecht door een oppervlak. Wederom ging hij van een gesloten oppervlak uit.


We nemen nu een puntbron van een magnetisch veld in een holle bol. En dan hebben we een probleem. Er is namelijk niet zoiets als een magnetische lading. Iets wat magnetisch is, heeft altijd een positief en een negatief magnetische kant. Het positef magnetisch veld is daarbij even groot als het negatieven. Plaatsen we nu de magnetische puntbron in een holle bol, dan kunnen we wel bedenken dat de som van het M-veld door de opp. Van de bol nul moet zijn. Vandaar:


Dat dit voor alle gesloten oppervlakten moet gelden weten we omdat het magnetisch veld zoals ook bij het E-veld kwadratisch vermindert m.b.t de afstand.

Epsilon en Mu

De vorige twee vergelijkingen zijn bedacht als zijnde in het vacuum. We weten dat bepaalde stoffen de eigenschappen hebben om een magnetisch veld of elektrisch veld te absorberen. Dit geven we aan met een constante. Deze constante geeft aan hoe veel meer de stof de creatie van het elektrisch of magnetisch veld tegen gaat. Voor vacuum zijn deze constanten als volgt vast gesteld:

ε0 = 8.85 · 10-12

μ0 = 1.26 · 10-6

Voor andere stoffen drukken we de constante uit in een veelvoud van de constanten hierboven. Vacuum is dus 1.

In al onze vergelijkingen kunnen we deze constanten vervangen door hun waarden in een ander medium, zoals water.

Faraday’s wet m.b.t het elektrisch veld

De basis van Faraday’s wet voor het genereren van een inductiespanning is dat een spanning wordt gevormd als het magnetisch veld door een afgesloten ring verandert.


Waarbij V spanning is. Spanning is weer niets anders dan de som van het E-veld over de afstand, s, tussen bron en punt-van-interesse.


Faraday’s wet beschrijft de creatie van een inductiespanning bij een veranderende magnetische flux:


Ampêre’s wet m.b.t het magnetisch veld

Ampêre’s wet beschrijft de creatie van een magnetisch veld rond een elektrische stroom. Gauss had al ontdekt dat er niet een magnetische monopool bestaat. Een magnetisch veld wordt dan ook gegenereert door een elektrische stroom.

Als bijvoorbeeld door een stroomdraad een stroom loopt, loopt er een magnetisch veld loodrecht op deze stroomdraad. Het bewegende elektron creëert een magnetisch veld.

Ampêre vond dat de gesloten integraal van het magnetisch veld over een (imaginaire) gesloten kring, wat we dus de magnetische flux noemen, gelijk is aan de stroom die loodrecht door deze kring gaat, maal de constante van magnetische premeabiliteit.

Wiskundig uitdrukt:


Om nu te bepalen of een stroom positief of negatief is, gebruiken we de rechterhand regel.
(Hoe gaat deze regel ook al weer?)

Maxwell’s contributie aan de vergelijking van Ampêre

De wet van Ampêre had voor Maxwell een ongelijkheid in de vergelijking.

Omdat de oppervlakte omringd door de kring waarover geintegreerd wordt niet wordt gespecifieerd. Stel voor dat de stroom door de draad een condensator op laad. Het oppervlakte waarover geintegreerd wordt kan een schijf loodrecht op de draad zijn, dan geldt de wet van Ampêre gewoon. Het kan echter ook een bolvormige schijf betreffen, waarbij het oppervlakte over de capaciteit valt, zie de tekening.


Een capaciteit is echter een vreemd iets, zonder dat er echt een stroom loopt wordt er toch een stroom geïnduceerd aan de andere kant van de capaciteit. Faraday beschreef dit effect als zijnde dat de lading verplaatst werd, tussen de twee capacitaire platen, door de “ether”. We weten nu dat er een lading wordt geinducerd op de andere capacitaire plaat. Dit induceren werd niet verklaart door Ampêre.

Volgens Maxwell geldt dus:


Waarin ID dus de ‘stroom’ is die door de ether loopt. Maxwell begreep dat de elektrische veldsterkte groter werd omdat er een lading opbouw op de twee capaciteitplaten plaats vond. De bekende formule voor elektrische veldsterkte van een plaat-capaciteit is:


Hieruit leiden we af dat de verandering van lading ofwel de stroom:


In het voorbeeld van de plaat-capaciteit is de elektrische flux ΦE = E·A vandaar:
(Klopt dit wel? Wat is de elektrische flux tussen de platen van een plaatcondensator?)


Maar deze varierende flux zou ook effect moeten hebben op het gecreeerde magnetisch veld. De aangepaste wet van Ampêre wordt dus:


Let wel, dit geldt alleen als de capaciteit aan het opladen is, anders is dQ/dt = 0 en loopt er in feite geen stroom meer:


zoals Ampêre het voorspelde.

Wat belangrijk is, is dat bij wisselende E-velden, een magnetisch veld kan ontstaan binnen in een capaciteit, dus in deze zogenaamde “ether”.


Laten we de vier vergelijkingen nog eens in een lijstje zetten:

Gauss

Gauss

Faraday

Ampêre-Maxwell
(Scroll terug naar de betreffende vergelijking voor meer informatie)

Golf-vergelijking

De bekende vergelijking uit de mechanica voor een golfverschijnsel is als volgt:

(Wie kan dit aantonen?)

Nu was rond de tijd van Maxwell al wel duidelijk dat licht een golfverschijnsel is, en zal dus de golfvergelijking ook voor licht wel toepasbaar moeten zijn, immers moet de “ether” toch ook voor een bepaalde impuls overdracht van de trillingen zorgen?

Om van de 4 vergelijkingen van Maxwell de vergelijking voor licht te deriveren moeten we diep in de Wiskunde gaan, Maxwell was namelijk een wiskundige, en tot groot ergenis van elk fysicus is zijn theorie verstoken van de wiskundige vergelijkingen.


Wiskundige afleiding Maxwell vergelijkingen

We gaan verder net na het bepalen van de elektro-magnetische formules.

Om het niet te ingewikkeld te maken nemen we wel een paar aannamens.

Wat wel duidelijk zal worden, is dat vanuit de elemantaire elektro-dynamische vergelijkingen van Maxwell een vergelijking voor het licht zal blijken. Ook zal blijken dat de snelheid van het licht afhankelijk is van de magnetische en elektrische eigenschappeen van het medium.

Aannamen 1. We bevinden ons in de vrije ruimte. Alle ladingen bevinden zich ver weg. Door de aannamen kunnen we stellen dat de E-wet van Gauss nul is. Het oppeervlakte waarover geintegreerd wordt is namelijk ontzettend groot, daardoor is E erg klein, gaat naar nul.


Aannamen 2. Een wisselend magnetisch veld genereert een wisselend elektrisch veld genereert een wisselend magnetisch veld genereerte een wisselend elektrisch veld, enz. enz.

Deze aannamen is ook wel uit de wet van Faraday en Ampêre-Maxwell te halen daar Faraday verklaart dat een wisselend magnetisch veld een elektrisch veld op levert. En Ampêre-Maxwell verklaart dat (mede) een wisselend E-veld een Magnetisch veld creeert. Nemen we nu niet de moeite om dit ook aan te tonen.

Stelt u zich twee wisselende golfbewegingen voor, de ene is het E-veld en beweegt zich in de y-richting, de andere is het M-veld en beweegt zich in de z-richting. De trilling vervolgd zijn weg parallel aan de x-as. Zie figuur 2.


Omdat we Δx als heel klein beschouwen mogen we aannemen dat de magnitude van het E- en M- veld constant zijn en alleen varieren in de x-richting. E1, E2, B1 en B2 zijn constant.

Als eerste passen we de wet van Faraday toe op het grijze vierkantje over Δx en Δy. De lijn integraal bestaat uit 4 delen. Voor de integraal over dx hebben we E·dl = 0 omdat E loodrecht op dl (Δx) staat. De andere twee delen zijn:


Door gebruik te maken van de rechterhand regel weten we dat de magnetische flux uit het oppervlakte waarover geintegreerd is, in positieve z-richting. De magnetische flux is als volgt:


De verandering per tijd is:


Het moet partieel gedifferentieerd worden omdat we de veranderende op één punt in de tijd willen weten, en we net hebben aangenomen dat daar E en B constant zijn. Voegen we deze vergelijkingen bij elkaar krijgen we:

Als Δx enorm klein is wordt de vergelijking

Deze werkwijze kan ook voor de Ampêre-Maxwell vergelijkingworden gemaakt. Dit doen we op het vierkantje Δx en Δz. Er loopt geen stroom, want we zitten in de vrije ruimte. We krijgen dan:

De richting van integreren wordt hier bepaald door de richting van het E (y-positief) en dus door de rechterhand regel.

(Krom je vingers rond de cyclus van B en je duim wijst omhoog.)

Door de laatste formule wiskundig wat op te knappen krijgen we:

Wat we nu dus hebben gedaan is gebruikmakend van onze aannamens de wetten van Faraday en Ampêre omgeschreven naar een differentiaal vergelijking:

Nu zou het fijn zijn als we een vergelijking krijgen waarin of alleen E, of alleen B staat. Dit doen we d.m.v beide zijden te differentieren:

Deze laatste stap lijkt erg plastisch. Het is wiskundig toch gegrond omdat na het “extra” differentieren de vergelijkingen nog steeds kloppen.

Deze actie is ook uit te voeren zodat de E-termen wegvallen en men het volgende overhoudt:

De Maxwell vergelijkingen


Voor het magnetisch veld:


Als we deze vergelijking met de bekende mechanische golfvergelijking vergelijken zien we dat de snelheid van de trilling als volgt is.


Dit is de snelheid van licht in vacuum, van een vorige paragraaf weten we dat dat epsilon (ε) en mu (μ) vervangen kunnen worden door de epsilon en mu van een bepaald medium.

De snelheid van licht door een medium ligt dus vast. Het is alleen afhankelijk van de elektromagnetische eigenschappen van dat medium.

Toen Maxwell in de 19de eeuw de waardes voor epsilon en mu invoerden, die niet helemaal nauwkeurig waren. Kwam hij uit op een lichtsnelheid van 3,10·10⁸ m/s.

Dit is een fout van maar 3% op de toen bekende lichtsnelheid. Dit, samen met de theoretisch afleiding, was voor wetenschappers genoeg bewijs voor het aanvaarden van de theorie.

De zoektoch naar de ether begint

Maxwell en Faraday hadden aangenomen dat de elektrische (en magnetische) straling in een capaciteit wordt verplaatst door een medium: “de ether”. Maxwell toonde aan dat licht elektromagnetische stralingen zijn en dat de snelheid alleen afhankelijk is van de elektromagnetische eigenschappen van het medium. De ether zou dus ook voor de verplaatsing van licht moeten zorgen. Licht bereikt ons vanaf onze ster de zon door de ruimte, is de hele ruimte dus gevuld met een soort ether?

De wiskundige ondekking van Maxwell spoort de experimentele natuurkunde en sterrenkunde aan om de theorie van Maxwell te bewijzen en om de eigenschappen van de ether te bepalen. De zoektocht naar de ether uit zich in het beroemde Michelson en Morely experiment, daar gaat ons verhaal verder.


Het mogen duidelijk zijn dat de theorie van Maxwell wat stof deed oplaaien. We eindigen dit hoofdstuk gelijk als waarmee we het begonnen, met een quote van Einstein.

"The special theory of relativity owes its origins to Maxwell's equations of the electromagnetic field"

 

[Prof. relativiteit]

Les 3 - Het Michelson Morley experiment

Voorgeschiedenis

Rond 1880 had men het idee, dat de natuurkunde bijna af was. Er waren nog een paar grootheden, die men moest bepalen en dan zouden alle natuurkundige vergelijkingen bekend zijn. Men kon dan alles in principe berekenen. Dat men bepaalde natuurkundige vergelijkingen nog (en soms nog steeds) niet goed kon oplossen was alleen nog een wiskundig probleem. En onderwerp van wiskundig onderzoek.

Een van die “laatste” overgebleven onbekenden was de snelheid van de aarde t.o.v. de ether. Zoals in het vorige hoofdstuk besproken is was in de negentiende eeuw de theorie voor elektromagnetische velden ontwikkeld. Een van de resultaten van die theorie was, dat elektromagnetische golven (e.m.golven), zoals licht of radiogolven, zich in vacuüm met een snelheid van 2.9979 * 10^8 m/s per seconde voortplanten. Men stelde zich voor dat deze golven zich door een onzichtbaar medium, dat men de ether noemde, voortplanten. Net zoals geluidsgolven zich door water of lucht voortplanten.

Wat men nu wilde weten was de snelheid van de aarde t.o.v deze ether. Dit was onder meer van belang met het verwachtte dopplereffect en een verschil van de voortplantingssnelheid van e.m. golven in verschillende richtingen.


Het Dopplereffect is goed te illustreren met behulp van watergolfjes: Als je met je vinger een voorzichtig tikje op het wateroppervlak van een vijver geeft, zie je een cirkel met een steeds groter wordende diameter. Als je een aantal tikjes geeft krijg je figuur 1a: een aantal in diameter groeiende concentrische cirkels. Als je echter met je vinger een aantal tikjes in met constante snelheid stromend water geeft heeft elk van die cirkels een ander middelpunt en bewegen ze stroomafwaarts. Je krijgt dan figuur 1b. Aan de zijde waarin het water van de golfbron af stroomt is de afstand tussen de golftoppen groter en dus de frequentie lager. Aan de zijde waar het water naar de golfbron toe beweegt is de afstand juist kleiner en dus de frequentie hoger.

-

Figuur 1 golven bij een stilstaande en een bewegende bron


Dit zelfde effect treedt op bij alle golven waar een verschil in snelheid is tussen de bron en het medium waar de golven door lopen zoals bijvoorbeeld geluid. Alleen heb je bij geluid omdat dat niet in twee maar in drie dimensies loopt geen groeiende cirkels maar groeiende bollen. Bijvoorbeeld als je vlak langs het spoor staat waarop een trein langskomt, die een geluidssignaal geeft, dan hoor je zolang hij naar je toekomt (de zijde waarin de lucht naar de golfbron toebeweegt) een hogere toon als wanneer hij je voorbij is (de zijde waarin de lucht van de golfbron vandaan beweegt). Er zijn nog weer andere effecten als de luisteraar zelf ook ten opzichte van de lucht beweegt.


Het experiment

Michelson in 1891 en Michelson en Morley in 1897 voerden een experiment uit om met behulp van het dopplereffect de snelheid van de aarde (u ) t.o.v. de ether te bepalen. Figuur 2a toont het principe van de opstelling. Een lichtbundel vanuit bron B wordt door een halfdoorlatende spiegel H gesplitst in twee lichtbundels. Eén bundel gaat rechtdoor naar spiegel S1, wordt daar weerkaatst, komt opnieuw bij spiegel H. Hier wordt een deel van dat licht gekaatst wordt naar projectiescherm P. De tweede lichtbundel loopt vanuit H naar S2 wordt daar weerkaatst, komt opnieuw bij spiegel H. Hier wordt ook een deel van dat licht gekaatst wordt naar projectiescherm P. Licht is een golf, daardoor zullen twee lichtbundels, die op dezelfde plaats het scherm raken elkaar niet automatisch versterken maar ze kunnen elkaar ook tegenwerken. Als net de ene golf een top heeft als de andere een dal heeft heffen ze elkaar op en blijft het scherm donker. Bij de spiegel H waar de twee bundels gesplitst worden versterken ze elkaar nog. Maar daarna volgen ze een verschillende weg, waar ze een verschillende tijd nodig hebben om P te bereiken. Als dit verschil in tijd een heel aantal malen de trillingstijd T van het gebruikte licht is versterken de lichtbundels vanuit S1 en S2 elkaar weer in P.


Echter als doven de lichtbundels elkaar juist uit.




Figuur 2 Proef van Michelson en Morley


Welke afstand legt het licht af als de proefopstelling met snelheid u door de ether beweegt? Het enige wat interessant is, is het stuk waar de lichtstralen een verschillende route volgen.

In figuur 2b is de positie van de spiegels H en S1 op drie tijdstippen weergegeven voor iemand die in rust is t.o.v. de ether : tijdstip t1 (blauw), op tijdstip t2 (lichtgroen) en op tijdstip t3 (roze), De lichtstraal komt op t1 door H wordt op t2 weerkaatst door S1 en bereikt op t3 weer H. Er geldt nu:







Figuur 2c geeft de afgelegde weg voor het traject H – S2 – H. Er geldt (stelling van pythagoras):





We zien dat de beweging van de proefopstelling door de ether een verschillend effect heeft voor de verschillende routes. Omdat de snelheid van de aarde veel kleiner is dan de lichtsnelheid dus u<<c is het natuurlijk wel een klein effect:


Voor geldt en


Als (een heel aantal malen de trillingstijd van het gebruikte licht) versterken de lichtbundels vanuit S1 en S2 elkaar.


Echter als doven de lichtbundels elkaar juist uit.


Als we de opstelling 90 graden draaien wisselen L1 en L2 van rol en vinden we dat geldt:


Voor : en


Gedurende het draaien van de opstelling verandert het verschil in reistijd en zullen de bundels elkaar dus afwisselend versterken en uitdoven. Het aantal malen wisselen van versterking naar uitdoving volgt uit:

• 

Michelson en Morley monteerde hun proefopstelling op een groot en massief blok steen om zo min mogelijk last te hebben van trillingen. Dit massieve blok steen dreef in een bad van kwik zodat het makkelijk negentig graden om zijn as te draaien was. Om L₁ + L₂ zo groot mogelijk te krijgen werd het licht langs elke arm een aantal keer heen en weer gekaatst. De opstelling roteerde continu langzaam om zijn as. Er werd dag en nacht gemeten vanwege de draaiing van de aarde om zijn as. En gedurende alle jaargetijden vanwege de draaiing van de aarde om de zon

Bij het experiment van Michelson en Morley in 1887 was de golflengte van het gebruikte licht 5,5 ? 10^-7 m, L₁ + L₂ = 22 m, En de minimale waarde van u die men verwachtte was 3,0 ? 10⁴ m/s: de snelheid waarmee de aarde om de zon draait. Dus de minimum waarde die men verwachtte was ?N = 0.4 Men hield er echter ook rekening mee, dat de snelheid nog veel groter kon zijn bijvoorbeeld door beweging van ons zonnestelsel t.o.v. de melkweg. En beweging van de melkweg t.o.v. de ether.


Echter tot ieders grote verbazing vonden Michelson en Morley geen enkele ?N. En de meetnauwkeurigheid van de proefopstelling was ?N = 0.01. Dit was een orde van grote kleiner dan de minimum waarde, die men in elk geval verwacht had. Dus daaraan lag het niet. Men zat met een probleem!! De beweging van de aarde om de zon kon men niet wegredeneren.Toch werd deze beweging ten opzichte van de ether niet gemeten. Hoe was dit te verklaren?


Pogingen om de klassieke ether theorie te redden

1) De ether-drag hypothese

Als een vaste massa, bijvoorbeeld een bol door lucht beweegt, dan sleept hij o.a. door wrijving een deel van de lucht met zich mee. Vlak bij de vaste massa heeft de lucht de snelheid van de massa. Daarna volgt een overgangsgebied. En alleen op vrij grote afstand is er geen effect meer merkbaar van de massa.

Dus opperde men het idee: Stel dat de ether zich op dezelfde manier gedraagt. Vlak bij de aarde heeft de ether gewoon de snelheid van de aarde. Dus bij de proefopstelling van Michelson en Morley is er helemaal geen verschil in snelheid tussen aarde en ether. Dus geen wonder dat er geen snelheid gemeten werd!

Deze hypothese bleek echter niet houdbaar.

Als eerste was hij in tegenspraak met de elektromagnetische veldtheorie: J.A.Fresnel had in 1817 afgeleid, dat e.m.golven maar gedeeltelijk meegenomen zouden worden door een bewegend medium. (Fresnel drag coefficient) Dit resultaat was vervolgens in 1851 experimenteel geverifieerd door Fizeau.

Een tweede probleem was de waargenomen aberratie van sterren. Alle sterren aan de hemel lijken in precies een jaar een cirkelvormige beweging te maken met een diameter van 41 boogseconden. Dit is prima te verklaren, uit het feit dat de beweging van de aarde om de zon een zekere vertekening veroorzaakt. Als de ether-drag hypothese juist was, zou deze waarneming echter niet te verklaren zijn.


2) Emissie theorieën

De hypothese hier was, dat het licht niet een snelheid c ten opzichte van de ether had maar dat de snelheid c gewoon ten opzichte van de bron was, die het licht uitzond. En omdat de lichtbron bij de proef van Michelson en Morley gewoon meebewoog met de proefopstelling, werd er daardoor geen snelheid gemeten.

Ook deze hypothese was echter in tegenspraak met de feiten

Het eerste probleem was observaties aan dubbelsterren. Bij een dubbelster draaien twee sterren met grote snelheid om een gemeenschappelijk massamiddelpunt. Volgens de emissie hypothese zou in de periode, dat de ster naar ons toebeweegt licht naar de aarde een grotere snelheid hebben als in de periode, dat de ster van ons afbeweegt. Dit zou gezien vanaf de aarde een duidelijke schijnbare vervorming van de baan geven. Dit werd als eerste onderzocht door De Sitter, die geen enkele vervorming waarnam.

De tweede soort van weerlegging kwam, door opnieuw een proefopstelling van het type Michelson & Morley te nemen maar nu als lichtbron een ster te nemen. Als de emissiehypothese juist was zou nu wel een snelheidseffect gemeten moeten worden. Dit werd echter niet gevonden.


3) Lorentz-Fitzgerald contractie

Fitzgerald opperde in 1892 een hypothese, die later door Lorentz verfijnd werd, die er op neerkwam, dat alle voorwerpen in de richting van de ether korter werden volgens:

• 

Als deze formule op de berekeningen aan het experiment van Michelson en Morley wordt toegepast, krijgen we ook dat er geen snelheid gemeten zal worden. De verfijning van Lorentz was, dat hij een verklaring van de verkorting gaf op basis van de banen en eigenschappen van de elektronen in het voorwerp.

Toch waren er ook met deze theorie problemen.

Hier gaan we verder op in in les 4.

[Prof. relativiteit]

Les 4 - De twee postulaten van de relativiteitstheorie


In 1905 verscheen het beroemde artikel "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" van Albert Einstein. De hierin beschreven theorie zou later bekend worden als de speciale relativiteitstheorie. Zoals we in les twee gezien hebben droeg de theorie van Maxwell de kiemen van de relativiteitstheorie: de lichtsnelheid is onafhankelijk van de bron. In les één zagen we het relativeitsbeginsel. Door deze twee beginselen te veralgemenen en als postulaat te stellen:

• In elk initiaalstelsel gelden dezelfde natuurwetten.
• In elk initiaalstelsel heeft de lichtsnelheid in vacuum dezelfde waarde, welke we met c weergeven.

kwam Einstein tot zijn beroemde theorie.


De hele relativiteitstheorie rust op deze verbazingwekkend smalle basis. Vertrekkende vanuit deze twee basispostulaten ontwikkelde en bewees Einstein zijn theorie. Ondanks vele proeven en experimenten die deze twee postulaten bevestigen, is het onmogelijk aan te tonen dat de natuur aan deze postulaten gehoorzaamd.


Laten we deze twee postulaten eens aan een nader onderzoek onderwerpen, te beginnen met de eerste: in elk initiaalstelsel gelden dezelfde natuurwetten. Dit postulaat wordt ook wel het relativiteitsprincipe genoemd.


Een initiaalstelsel is niets anders dan een referentie-gebied welke zich met een constante snelheid voortbeweegd. Typische voorbeelden waar je hierbij aan kunt denken zijn een trein, een vliegtuig, of een stilstaande persoon. Het is belangrijk om te onthouden dat elk van deze drie voorbeelden slechts initiaalstelsels zijn als ze niet versnellen, vertragen of van richting veranderen. Omdat vertragen en van richting veranderen specifieke gevallen zijn van versnellen (snap je waarom?), zullen we verder alleen nog over versnellen praten. Van een object dat beweegt met een constante snelheid, zeggen we soms dat dit object zich met een eenparige snelheid voortbeweegd. Let op: deze eenparige snelheid is geen eigenschap van een object; het is een eigenschap tussen twee objecten! Dit is een zeer belangrijk verschil, omdat het zegt dat er niet zoiets als een "absolute snelheid" is. Dit is de reden dat we altijd zullen praten over de snelheid van een object ten opzichte van een ander object. Een goed voorbeeld is wanneer je in de auto zit, welke met 100 km/uur ten opzichte van mij eenparig beweegt. Immers, je kan dan namelijk net zo goed zeggen dat jij ten opzichte van de auto met een eenparige snelheid van 0 km/uur beweegd. Of dat ik ten opzichte van jou met een snelheid van -100 km/uur beweeg.


Iedereen die wel eens een object uit zijn handen heeft laten vallen, weet dat deze vervolgens recht omlaag zal vallen totdat het object de grond raakt. Echter, wanneer iemand een object uit zijn handen laat vallen terwijl hij zich in een trein bevind welke met een eenparige snelheid beweegt, dan zal deze persoon zien dat in de trein het object ook recht omlaag lijkt te vallen. Dit lijkt niets bijzonders... Maar als we er iets langer over nadenken, dan moeten we concluderen dat dit toch wel iets heel erg speciaals is. Immers, omdat dit altijd geldt (ongeacht de specifieke snelheid van de waarnemer), betekend dit kennelijk dat de wetten van de natuurkunde zich hetzelfde gedragen bij elke eenparige snelheid! Dit is een zeer belangrijk punt, want het is de kern van het eerste postulaat.


Een ander voorbeeld van dit relativiteitsprincipe is het volgende: een astronaut die zich aan boord van een ruimteschip bevindt kan makkelijk bepalen of zijn ruimteschip met een eenparige snelheid beweegt door te proberen op een zelfde plaats te blijven zweven. Als het ruimteschip immers geen constante snelheid heeft zal hij tegen de wand op botsen. Stel dat we twee astronauten hebben, die beiden in hun eigen ruimteschepen met een eenparige snelheid bewegen. Vervolgens ziet één van de astronauten het ruimteschip van de ander bewegen. Wat kan hij uit deze informatie concluderen? Aan de ene kant kan hij daaruit besluiten dat hijzelf in rust is en dat de waargenome relatieve beweging volledig aan het andere ruimteschip is toe te schrijven. Echter, op dezelfde wijze kan de andere astronaut precies zo besluiten dat zijn ruimteschip stil staat en dat de andere beweegt. Ten slotte zou hij ook nog allerlei combinaties van bewegingen kunnen verzinnen welke deze relatieve beweging kunnen verklaren. Het relativiteitsbeginsel zegt nu dat er geen experiment bestaat waarmee de astronaut kan bepalen welke van deze verklaringen de juiste is. Met andere worden: er bestaat geen ‘absolute’ stilstand of rust.


Op zich is het eerste postulaat niet nieuw. Al in de eeuwen voor Einstein gingen de natuurkundigen ervanuit dat de natuur zich grootendeels aan dit postulaat hield en hebben ook vele experimenten dit vermoeden bewezen. Alleen de afwezigheid van absolute stilstand was voor Einstein niet algemeen aanvaard, terwijl het ook toen al een logisch gevolg van de bekende postulaten had kunnen zijn. Voor meer details hierover verwijzen we terug naar de les over het Michelson-Morley experiment.


De reden dat men met alleen dit postulaat echter niet tot de relativiteitstheorie kon komen, was de volgende: Om een goede theorie te maken moet men speciale transformatie-regels verzinnen. Deze regels moeten vertellen hoe een gebeurtenis waargenomen in het ene initiaalstelsel te relateren zijn aan de waarneming van deze gebeurtenis in een ander initiaalstelsel. Vroeger gebruikte men hiervoor de Galilei transformatie, welke we ookal in lessen 1 en 2 zagen. Omdat Einsteins tweede postulaat in directe tegenspraak met deze Galilei transformaties is (probeer zelf te bedenken waarom dit zo is), zie je direkt dat het samenvoegen van deze twee postulaten tot een andere theorie moet leiden dan hetgeen in de eeuwen voor Einstein al bekend was. Deze theorie zal natuurlijk de relativiteitstheorie blijken te zijn.


Zo komen we dus op het tweede postulaat: in elk initiaalstelsel is de lichtsnelheid een constante, welke we met c weergeven. Dit postulaat wordt ook wel het lichtpostulaat genoemd.


Het tweede postulaat is veel minder inzichtelijk dan het eerste, omdat het tegenstrijdig is met onze ervaringen in de dagelijkse wereld waar een gelijksoortig effect niet aanwezig is. Het eenvoudigste voorbeeld om deze rare tegenstelling te tonen is de volgende: stel dat jij met 10 km/uur fietst (ten opzichte van het fietspad) en jij wordt ingehaald door een brommer welke met 10 km/uur (ten opzichte van jouw snelheid) voorbij komt. Dan mag je dus aannemen dat de brommer zich voortbeweegd met 20 km/uur (ten opzichte van het fietspad). Echter, het tweede postulaat van Albert Einstein zegt dat het voor licht heel anders werkt! Het postulaat zegt namelijk dat wanneer jij met 90% van de lichtsnelheid over het fietspad raast en je doet dan je lichten aan, dat deze lichtbundels zich met exact de lichtsnelheid voortbewegen zowel ten opzichte van jou, als ten opzichte van het fietspad! Dus er worden gelijke snelheden gemeten en dat terwijl jij een grote snelheid hebt ten opzichte van het fietspad. Dit effect is conceptueel zeer lastig voor te stellen en is waarschijnlijk één van de belangrijkste redenen voor alle misvattingen die mensen over de relativiteitstheorie hebben.


Uiteraard is het geen toeval dat in het eerder besproken Michelson-Morley experiment men concludeerde dat de lichtsnelheid constant was, en dat deze onafhankelijk was van de snelheid van de lichtbron en de snelheid van de waarnemer. Dit resultaat is namelijk niets anders dan de conclusie dat de lichtsnelheid exact gelijk aan c is, ongeacht het initiaalstelsel waarin de meting uitgevoerd wordt. Als terzijde willen we hier melden dat Einstein waarschijnlijk niet goed op de hoogte was van de resultaten van het Michelson-Morley experiment toen hij zijn theorie verzon. De reden die Einstein had om dit postulaat van een constante lichtsnelheid te verzinnen kwam uit de electriciteitstheorie die we in les 2 tegenkwamen: Einstein zag in dat alleen met dit postulaat de Maxwell-vergelijkingen altijd correct konden blijven. Het is tekenend voor Einstein's bijzondere intellect dat hij, zelfs zonder de experimentele resultaten van het Michelson-Morley experiment te kennen, met exact de goede theorie kon komen om deze experimenten te verklaren.


Met deze twee postulaten als basis was het voor Einstein mogelijk om de relativiteitstheorie te maken. Alle berekeningen die je met deze theorie kunt doen, worden bepaald door de transformatie-regels die Einstein moest bepalen. Deze regels vertellen dus hoe een gebeurtenis in het ene initiaalstelsel te relateren zijn aan de waarneming van deze gebeurtenis in een ander initiaalstelsel. Het is duidelijk dat dit niet de regels van de Galilei-transformatie kunnen zijn, omdat we nu een maximale snelheid hebben (de lichtsnelheid) welke niet veranderd mag worden door toepassing van Einstein's transformatieregels. De correcte regels waren al bekend voordat Einstein de relativiteitstheorie ontwierp en ze worden de Lorentztransformaties genoemd, naar de oorspronkelijke ontdekker, de Nederlandse natuurkundige Hendrik Lorentz. In de volgende lessen zullen we de gevolgen van deze regels in meer detail behandelen waarna we in een latere vervolgles deze Lorentztransformaties zelf zullen bestuderen.

[Prof. relativiteit]

Les 5 - Lorentzcontractie (deel 1)


In deze eerste les over Lorentzcontractie zullen we de achtergrond van Lorentzcontractie op een eenvoudige manier proberen te behandelen. Het doel is hier om, vrijwel zonder het gebruik van formules, iets over Lorentzcontractie te kunnen zeggen. Pas later zal de meer fundamentele achtergrond van Lorentzcontractie gepresenteerd worden (de Lorentztransformaties in les 5) en kunnen we hier ook wat aan gaan rekenen (zie hiervoor les 10).


Zoals we aan het einde van les 3 hebben gezien, was er een groot probleem ontstaan door de resultaten van de proef van Michelson en Morley: het leek erop alsof er helemaal geen effect van de snelheid van de ether was op de voortplantingssnelheid van het licht. De enige 'verklaring' die men indertijd had was de Lorentz-Fitzgerald contractie formule. Echter, deze was eigenlijk niet meer dan een ad-hoc aanname om het negatieve resultaat van het Michelson en Morley experiment te verklaren en bood helemaal geen inzicht in de reden waarom deze Lorentz-Fitzgerald contractie optreed. Er was dus behoefte aan een betere, en vooral meer fundamentele, verklaring.


De correcte verklaring werd pas gevonden toen Einstein zijn enorme gedachtestap maakte en stelde dat de lichtsnelheid dezelfde is voor alle waarnemers ongeacht hun relatieve snelheden en dat licht bovendien helemaal geen ether nodig heeft om in voort te bewegen. Het bijzondere is, dat door slechts zo'n eenvoudige aanname te maken, Einstein in staat was om precies deze Lorentz-Fitzgerald contractie formule af te leiden uit zijn theorie! Kennelijk zit deze Lorentzcontractie dus als het ware 'ingebakken' in de relativiteitstheorie. Het feit dat men de Lorentzcontractie uit de aannames van Einstein kon afleiden was een grote stap voorwaards en zorgde voor een veel dieper inzicht in de natuur. Immers, men begreep nu niet alleen wat de formule moest zijn, maar ook waarom hij zo was. In de volgende les vind je meer over Einsteins gedachtestap (zijn zogenoemde 'postulaten') en de daaruitvolgende formules. In de rest van deze les, zullen we een voorbeeld bestuderen om wat gevoel te krijgen voor de gevolgen van deze Lorentzcontractie.


Voor dit voorbeeld bekijken we een stok welke zich met een constante snelheid voortbeweegt. Uiteraard doen we wat alle fysici doen: we nemen zoveel mogelijk aan, zodat het voorbeeld zo simpel mogelijk wordt. Hier nemen we bijvoorbeeld aan dat de stok met constante snelheid beweegt (we noemen deze snelheid v) en we maken ons geen zorgen over hoe deze snelheid tot stand komt en/of waarom deze constant is. Ook nemen we aan dat de stok zich in een rechte lijn voortbeweegt en dat er verder geen krachten op de stok werken. Meestal worden dit soort randvoorwaarden niet expliciet vermeld, en ook in de rest van deze cursus zal dit vaak afwezig zijn. Maar het is goed om je bij elk van dit soort gedachtenexperimenten even af te vragen wat alle randvoorwaarden eigenlijk zijn. Meestal zijn ze namelijk niet zonder reden!


Goed, we hebben dus een stok die zich voortbeweegt met constante snelheid. Nu zijn er drie waarnemers, we noemen ze A, B en C. Relatief tenopzichte van de stok staan A en B stil. Zij zien dus helemaal geen bewegende stok, maar gewoon een stok in rust. Deze twee waarnemers bevinden zich aan de twee verschillende uiteinden van de stok en ze hebben allebij een klok. De twee klokken zijn netjes gesynchroniseerd.


Voor waarnemer C is de situatie echter anders: Hij staat ergens langs het traject waar de stok met een constante snelheid (v dus) voorbij komt. C heeft een stopwatch en daarmee meet hij de tijd (die noemen we t) dat het duurt voordat de stok voorbij gekomen is. Met behulp van deze twee gegevens is het voor waarnemer C natuurlijk eenvoudig om uit te rekenen hoe lang de stok (volgens hem!) is:

l = v * t

Dit eenvoudige resultaat volgt direct uit de natuurkunde die je al goed kent en dit blijft gewoon geldig binnen de relativiteitstheorie.


Laten we nu eens de situatie vanuit waarnemers A en B bekijken. Zij bewegen mee met de stok en zien dus niet dat de stok beweegt. Vanuit hun perspectief staan zij stil en komt waarnemer C met een constante snelheid op hun af. De snelheid waarmee C op hun af komt is wederom v (die zelfde v als eerst, alleen in de omgekeerde richting). De twee waarnemers meten de tijd die het volgens hun duurt voor C om de stok te passeren, en zij meten een tijd die ze t' noemen. Volgens hun heeft de stok dus een lengte

l' = v * t'

Ook meten zij met behulp van een meetlat nogmaals de lengte van de (voor hun stilstaande) stok, en wederom vinden zij exact de zelfde lengte: l'.


Nu lopen alledrie de waarnemers naar elkaar toe om hun metingen met elkaar te vergelijken. En hier komt dan de grote verrassing: het blijkt dat de waarnemers het wel met elkaar eens zijn dat de snelheid v is geweest (maar A en B vonden natuurlijk dat C bewoog, terwijl C vond dat A en B en de stok bewogen), maar het blijkt dat ze het niet eens zijn over hoe groot de lengte van de stok eigenlijk was!! Om preciezer te zijn, ze vinden dat l' > l.


Dit resultaat is op het eerste gezicht zeer vreemd en tegennatuurlijk, en het is de essentie van Lorentzcontractie: twee waarnemers die met een snelheid ongelijk 0 ten opzichte van elkaar bewegen, zullen het niet met elkaar eens zijn hoe lang een bepaald object is! Het resultaat komt zo vreemd over omdat dit effect slechts een rol speelt wanneer de relatieve snelheid tussen twee waarnemers in de buurt van de lichtsnelheid komt. In het dagelijkse leven merk je er niets van.


De uitweg is natuurlijk het feit dat objecten krimpen naarmate ze sneller bewegen (uiteraard ten opzichte van een waarnemer die niet zo snel beweegt). Deze toenemende krimp van objecten met toenemende snelheid is de eerder genoemde Lorentzcontractie. Met behulp van de Lorentz-Fitzgerald contractie formule kunnen we ook precies uitrekenen hoeveel deze krimp zal zijn:

l' = l * √(1 - v²/c²).

De term 1/√(1 - v²/c²) zul je nog veel vaker tegen komen in deze minicursus, en wordt meestal afgekort tot de griekse letter gamma: .γ In les 12 wordt hier uitgebreid op ingegaan.


Zoals je in de bovenstaande formule voor de lengtecontractie ziet, hangt de mate van contractie alleen af van de relatieve snelheid tussen de twee waarnemers (in dit voorbeeld dus v). Meer rekenvoorbeelden hierover zul je in les 10 tegenkomen. Overigens is het nuttig om hier alvast op te merken dat niet alleen de lengtes l en l' verschillend zijn, ook de tijden t en t' blijken ongelijk te zijn. Dit tweede effect wordt tijddillatatie genoemd en zal in les 7 behandeld worden.


Als visueel voorbeeld van Lorentzcontractie bekijken we ten slotte een foto van Einstein:



De linker foto is van Einstein wanneer hij in rust is ten opzichte van de waarnemer. Wanneer Einstein echter met een flinke snelheid beweegt ten opzichte van een waarnemer (in dit voorbeeld v = 0.87 c), zal deze waarnemer hem voorbij zien komen als op de rechter foto: hij heeft dan in zijn bewegingsrichting een lengtecontractie ondergaan! Het is belangrijk om je te realiseren dat deze lengtecontractie alleen optreed in de (relatieve) bewegingsrichting. In de richtingen loodrecht op de bewegingsrichting zal er geen verandering optreden, zoals je ook op de rechter foto kunt zien, waar in de vertikale richting geen lengtecontractie is.


De conclusie van deze les is dus dat je niet zomaar over een lengte van een object kunt spreken! Slechts wanneer je erbij vermeld in relatie tot welk initiaalstelsel deze lengte gemeten is, heeft zo'n uitspraak enige betekenis. Meestal gebruikt men voor de standaard-lengte van een object de zogenoemde "eigenlengte" (in het engels: "proper length"). Dit is de lengte zoals deze gemeten is in het initiaalstelsel waarin het object in rust verkeert. In ons voorbeeld is dat dus de lengte l' zoals A en B deze gemeten hebben. Deze eigenlengte is gemakkelijk te herkennen: het is de maximale lengte die een waarnemer kan meten voor het object

snap je waarom?.

[Prof. relativiteit]

Les 6 - Tijdsdilatie


Laten we deze les beginnen met een experimenteel voorbeeld waaruit we weten dat tijddillatatie moet bestaan. Inmiddels weten we immers dat er voor alle bewegende objecten een maximumsnelheid is: de lichtsnelheid (300,000 km/s). Dus als een deeltje vanaf de buitenkant van de dampkring van de aarde (100 km hoogte) naar het aardoppervlak wil komen, dan zal dat toch minimaal (100 km) / (300,000 km/s) = 1/3000 s = 0.3 ms moeten duren.


Nu dan het experiment.

Als hoogenergetische straling uit de ruimte op de dampkring botst, dan kan deze daar een zogenaamd muon produceren. Deze muonen zijn zware broertjes van het ons welbekende electron (ruim 200 maal zwaarder) en we zijn ook in staat om deze muonen op de aarde te produceren. Er zijn experimenten gedaan waarbij op 40 km hoogte gemeten is hoeveel muonen er voorbij komen als gevolg van deze hoogenergetische straling uit de ruimte, en ook op het aardoppervlak is dit gemeten. Wat blijkt: de meeste van de muonen bereiken het aardoppervlak. Dit resultaat is zeer verbazingwekkend, want uit experimenten die gedaan zijn met muonen welke in het laboratorium geproduceerd zijn, blijkt dat muonen (gemiddeld) slechts 0.002 ms leven voordat ze vervallen! Dit lijkt in tegenspraak met het experiment dat zojuist beschreven werd, immers de muonen hebben zo'n 150 maal hun totale levensduur nodig om uberhaubt het aardoppervlak te halen! Maar deze schijnbare tegenspraak komt omdat we ons niet gerealiseerd hebben dat de muonen die bovenin de dampkring geproduceerd worden met vrijwel de lichtsnelheid naar de het aardoppervlak bewegen. Door deze enorm hoge snelheid zal de tijd voor de muonen langzamer gaan bewegen: ze ondervinden tijddillatatie.


Deze tijddillatatie zit ingebakken in de Lorentztransformaties, welke in les 5 zijn behandeld. We weten dus al dat een tijdstip t in een ander initiaalstelsel (welke zich relatief met een eenparige snelheid v beweegt) als het tijdstip t' gemeten wordt. Ook weten we hoe we deze twee tijden met elkaar moeten vergelijken: met behulp van de Lorentz-transformatie van de tijdas,



waarin v de relatieve snelheid tussen de twee waarnemers is, x de plaats en c de lichtsnelheid. Verder herkennen we in de noemer van deze Lorentz-transformatie direct de bekende gamma factor,



welke overal in de relativiteitstheorie opduikt.


Om te begrijpen waardoor deze tijddillatatie nou eigenlijk komt, bestuderen we een speciaal soort klok: een lichtklok. Deze lichtklok is eigenlijk niets anders dan twee spiegels op een goed bekende afstand L van elkaar en een lichtbundel die continu tussen het midden van de twee spiegels op en neer beweegt. Schematisch geven we zo'n tikkende klok dan alsvolgt weer:




Het is van belang dat je je realiseerd dat dit plaatje alleen geldig is in het initiaalstelsel waarin de lichtklok zich in rust bevind. Als de klok zou bewegen krijgen we een andere situatie, die we zodadelijk tegen zullen komen.


Elke keer als de lichtbundel een van de twee spiegels raakt, 'tikt' de klok. Aangezien de snelheid van het licht gelijk is in elk initiaalstelsel, is deze klok altijd betrouwbaar. De tijd die we op deze mannier meten is wordt de "eigentijd" (engels: "proper time") genoemd. Vergelijkbaar met de eigenlengte, is het de meest zinvolle mannier om naar een tijdsinterval te kijken.


Nu gaan we deze klok eenparig laten bewegen (in de horizontale richting). Wat gebeurt er dan? De lichtbundel moet nog steeds het midden van de klok blijven raken, want er is immers geen versnelling. Maar de klok beweegt ondertussen ook vanwege de eenparige beweging. Dat betekend dus dat de eerste twee tikken er in dit geval uit zien zoals getekend in deel (b) van dit plaatje:





(Om makkelijker te kunnen vergelijken is in deel (a) van dit plaatje de situatie voor een stilstaande lichtklok nogmaals geschetst. Deze situatie zagen we dus in het vorige plaatje ook al.)


Aangezien de lichtsnelheid altijd constant is, en aangezien de lichtbundel nu een grotere afstand af moet leggen (immers, de klok heeft een stukje bewogen in het tijdsbestek dat het licht ervoor nodig heeft om van A naar B te komen), is het nu direkt duidelijk dat deze bewegende klok trager zal 'tikken'. Dit is de essentie van tijddillatatie: een bewegende klok tikt trager dan een stilstaande. Ofwel, anders gezegd: tijd is relatief en 'tikt' het snelste wanneer je stil staat.


Nu terug naar ons experiment. Laten we nu twee klokken nemen waarvan er eentje stil staat, en er eentje met een snelheid v beweegt. Om het makkelijk te houden kiezen we de situatie zo dat de stilstaande klok zich in de oorsprong bevind, dus x=0. Dit vereenvoudigd de Lorentztransformatie. Zo vinden we dus dat het tijdsinterval to (voor het muon om van de dampkring naar het aardoppervlak te komen) in een ander initiaalstelsel, dat zich relatief met snelheid v beweegt, gegeven wordt door



Ter informatie: deze relatie geldt alleen als de gemeten to een eigentijd is.

Snap je waarom dit zo is?


Dus, als we een muon bekijken dat zich met 99.999 % van de lichtsnelheid beweegt (een redelijk realistische snelheid voor zo'n subatomair deeltje wat door hoogenergetische straling uit de ruimte geproduceerd is; eerder een onderschatting dan een overschatting), dan is γ = 224 en dan vinden we dus dat de tijd voor het bewegende muon een factor 224 vertraagd is. Het gevolg hiervan is natuurlijk dat zijn gemiddelde levensduur ook een factor 224 vertraagd en dus geen 0.002 ms, maar 0.5 ms wordt in ons initiaalstelsel (op het aardoppervlak). Door deze hoge snelheid van het muon verwachten we dus dat het grootste deel nog niet vervallen is voordat ze de 0.3 ms tijd gebruikt hebben om het aardoppervlak te bereiken. Dankzij hun tijddillatatie hebben ze letterlijk tijd genoeg.


De conclusie van deze les is dus dat je niet zomaar over een tijd kunt spreken! Slechts wanneer je erbij vermeld in relatie tot welk initiaalstelsel deze tijd gemeten is, heeft zo'n uitspraak enige betekenis. Meestal gebruikt men voor de standaard-tijd van een gebeurtenis de zogenoemde "eigentijd" (in het engels: "proper time"). Dit is de tijd zoals deze gemeten is in het initiaalstelsel waarin het object in rust verkeert. In ons voorbeeld is dat dus de 0.002 ms zoals gemeten in in het laboratorium waarin de geproduceerde muonen in rust zijn. Deze eigentijd is gemakkelijk te herkennen: het is de maximale tijd die een waarnemer kan meten voor het object.

Snap je waarom?

[Prof. relativiteit]

Les 7 - De tweelingparadox


Tegenspraak

Een paradox is een schijnbare logische tegenspraak tussen twee of meer beweringen. Wat is nu bij de tweelingparadox die logische tegenspraak?

In het vorige hoofdstuk hebben we het gehad over tijddillatatie. We gaan dit nu toepassen op twee broers in twee ruimteschepen die elkaar tegenkomen en met constante snelheid langs elkaar heen vliegen. De tijd volgens de klok van A geven we aan met t. De tijd volgens de klok van B geven we aan met t’

Broer A constateert, dat broer B hem met een snelheid u passeert. Hij gebruikt vervolgens de formule voor tijddillatatie uit het vorige hoofdstuk en vindt

• 

Dus de klok van zijn broer loopt langzamer. Dit klopt ook met wat hij meet: als hij met zijn broer afspreekt, dat die om de seconde een lichtflits zal sturen vindt hij, dat hij in feite om de een lichtpuls ontvangt.

Echter broer B kan helemaal dezelfde redenering opzetten:

Broer B constateert, dat broer A hem met een snelheid u passeert. Hij gebruikt vervolgens de formule voor tijddillatatie uit het vorige hoofdstuk en vindt Dus de klok van zijn broer loopt langzamer. Dit klopt ook met wat hij meet: als hij met zijn broer afspreekt, dat die om de seconde een lichtflits zal sturen vindt hij, dat hij in feite om de een lichtpuls ontvangt.

Dit lijkt een logisch onmogelijke tegenspraak want als broer A vindt, dat de tijd bij broer B langzamer verloopt, dan zou je verwachten, dat broer B vindt dat de tijd bij broer A sneller verloopt.

De hele situatie draait om het feit, dat beide broers eenparig bewegen en dat dus hun situaties verwisselbaar zijn. Om dit visueel te maken in een plaatje kun je werken met identieke raketten en een eeneiige tweeling. Het plaatje dat je krijgt volgens broer A is min of meer identiek aan het plaatje dat je krijgt volgens Broer B, alleen de letters A en B moeten verwisseld worden.


Schijnbare tegenspraak

Waarom is het toch een schijnbare tegenspraak? De broers kunnen elk verklaren dat wat hun andere broer meet!

We kiezen de redenering volgens broer A. Stel broer A stuurt na elk tijdsinterval Δt een lichtflits. De klok van broer B loopt volgens broer A trager dus volgens de klok van broer A stuurt hij elke een lichtflits. Echter omdat de ruimteschepen ten opzichte van elkaar bewegen lopen opeenvolgende lichtflitsen voordat ze B bereiken een vertraging 1 – (u/c)² op. Hierdoor zijn de tijdsintervallen waarmee ze B bereiken zijn:

• 

Dus A vindt ook dat hoewel zijn klok sneller loopt, dan die van B, dat B zal meten dat de klok van A langzamer loopt. En dit precies volgens B’s formule voor tijddillatatie. Kortom er is alleen een schijnbare tegenspraak, een paradox

Broer B kan precies zo'n redenering ophangen. Ze kunnen niet bewijzen wie beweegt en wie stilstaat maar hun uitspraken kloppen wel met elkaar.


Meer uitgebreide bespreking aan de hand van ruimte tijd diagrammen



Bovenstaande figuur toont de verplaatsing van de broers A en B zoals A die beschrijft. Broer A staat stil en broer B beweegt met een snelheid u (in de figuur is u = ½ · c). De rode lijn toont hoe volgens A een lichtflits heen en weer kaatst tussen A en B.

A berekent nu de tijdstippen waarop de lichtstraal weerkaatst wordt:

• 

Op dezelfde manier zijn de andere punten van de rode lijn te berekenen maar dat voeren we hier niet uit.


A kan ook een berekening maken van hoe hij denkt, dat B de weerkaatsing van het licht zal beschrijven (de groene lijn):

Volgens B zal het licht tussen tijdstippen 1 en 2 met een snelheid c ten opzichte van B naar B toe bewegen. Omdat B zelf een snelheid u heeft denkt hij dus dat deze snelheid (in het stelsel van A) c+u is. Hij berekent dus niet het punt t_2A maar een punt t_2B:

• 

Volgens B zal het licht tussen tijdstippen 2 en 3 met een snelheid c ten opzichte van B van B af bewegen. Omdat B zelf een snelheid u heeft denkt hij dus dat deze snelheid (in het stelsel van A) c-u is. Hij berekent dus niet het

punt t3 maar een punt t_3B:

• 

We zien dat tussen A en B dezelfde verhouding tussen t1 en t3 verkrijgen. Dus de tijdstippen t_1A, t_3A waarop volgens de berekening van A de lichtflits hem bereikt zijn hetzelfde als de tijdstippen t_1B, t_3B waarop volgens de berekening van B de lichtflits A bereikt. Het is ook belangrijk, dat hier overeenstemming over is, wat dit zijn getallen direct van zijn klok afleest dus er is geen ruimte voor interpretatie


Verschillend zijn echter de volgens de klok van A gemeten tijdstippen waarop volgens A of B het licht waarnemer B bereikt. Maar dit is eenvoudig te verklaren. Het zijn geen direct meetbare grootheden. Direct gemeten wordt door B het tijdstip waarop volgens de klok van B de flits B bereikt. Hij kan niet op de klok van A kijken maar alleen op zijn eigen! Dus moeten t0, t2, t4, nog naar de klok van B omrekenen:

Volgens A staat A stil maar beweegt B en loopt de loopt de klok van B dus een factor langzamer. Dus

• 

Volgens B staat B stil en beweegt A en loopt de loopt de klok van B dus een factor sneller. Dus:

• 

We zien, dat A en B dezelfde uitkomst krijgen voor het tijdstip dat B op zijn klok afleest voor het moment waarop de klok hem bereikt.




Bovenstaande figuur geeft de situatie weer gezien vanuit B. De groene lijn toont nog steeds hoe volgens B de lichtflits heen en weer kaatst. De rode lijn geeft weer hoe A denkt dat de lichtflits heen en weer kaatst. We zien dat volgens de klok van B juist de tijdstippen t_0A’, t_2A’, t_4A’ samenvallen met t_0B’, t_2B’, t_3B’ en de tijdstippen t_1A’, t_3A’ afwijken van t_1B’, t_3B’


Een tweeling, maar geen paradox

Stel je hebt een tweeling waarvan de een (A) op aarde blijft en de andere (B) aan boord van een ruimteschip naar een verre ster reist en daarna weer terugkeert. Het ruimteschip moet op het eerste stuk van zijn reis versnellen en op het laatste stuk vertragen om bij de ster weer tot stilstand te komen.


Bij de twee eenparig bewegende broers is er geen objectieve manier om te bepalen welke beweegt en welke stilstaat. Dat is relatief. Echter of een broer eenparig beweegt of versneld is wel objectief te bepalen!

De versnelling van het ruimteschip a zorgt voor een kracht F=M*a op een massa M. Deze kracht kan gemeten worden, bijvoorbeeld door de uitrekking van een bekende veer door die massa op te meten.


De in hoofdstuk 7 besproken formule voor tijddillatatie mag alleen gebruikt worden door een eenparig bewegende waarnemer. Met de formule kan broer A berekenen hoe de tijd op het ruimteschip verloopt. Echter iemand op het ruimteschip mag de formule niet gebruiken om het tijdsverloop op aarde te berekenen! Hij moet veel ingewikkelder formules gebruiken, die pas later in deze cursus aan bod komen. Dus we kunnen hier alleen de berekening volgens A maken.


Bij zijn berekening moet broer A rekening houden met het feit dat tijdens versnellen en vertragen de snelheid voortdurend verandert. In een oneindig kort tijdsinterval geldt:

• 

Door dit te integreren is het tijdsverloop te berekenen:

• 

Als we er even van uit gaan, dat in de verre toekomst een manier bedacht is om een ruimteschip snel op de gewenste snelheid u te krijgen zonder dat de inzittenden door de grote versnelling tot moes gedrukt worden kunnen we de tijd nodig voor het versnellen en vertragen verwaarlozen.

Broer A vindt dan als tijdsduur voor de broer, die in het ruimteschip reist:

• 

Stel dat de reis begon toen de tweeling net geboren was. Het doel is een ster op 50 lichtjaar van de aarde. En dat de snelheid heen en terug is u=0.9999*c

De reis naar de ster duurt voor de broer op aarde t = 50 lichtjaar / u ~ 50 jaar .

Echter voor de broer in het ruimteschip duurt hij

• 

Tijdens de terugreis wordt de tweelingbroer in het ruimteschip weer 0,7 jaar ouder en de broer op aarde weer 50 jaar. Dus als ze elkaar terugzien is de ene tweelingbroer anderhalf en de andere tweelingbroer 100 jaar. Dat leidt natuurlijk wel tot enige verwarring bij mensen, die aan de tweelingbroers voorgesteld worden, maar er is geen paradox. De ene broer leefde gewoon sneller dan de andere


Een laatste vraag die misschien opkomt is: het grootste deel van de reis beweegt broer B eenparig. Mag B daarom ook niet eerdergenoemde formule voor tijddillatatie gebruiken? Wat dan echter over het hoofd gezien wordt is dat als hij over een kort traject op zijn maximum snelheid gebracht wordt hij een heel grote versnelling ondergaat. En dat heeft weer een groot effect op de tijd. Dus je hebt een soort vermenigvuldiging van iets wat naar nul gaat met iets wat naar oneindig gaat. Er is geen reden om aan te nemen, dat dit verwaarloosbaar is. Dus mag broer B de simpele formule voor tijddillatatie niet gewoon gebruiken.

[Prof. relativiteit]

Les 8 - Gelijktijdigheid en ongelijktijdigheid


In deze les gaan we kijken naar het fenomeen gelijktijdigheid. Wat betekent het als we zeggen dat twee gebeurtenissen gelijktijdig zijn? En hoe verandert dit als we in een ander initiaalstelsel naar de zelfde twee gebeurtenissen kijken? Qua wiskunde is het enige wat we eigenlijk nodig zouden hebben, de Lorentztransformatie van de tijd-as. Maar het is waarschijnlijk inzichtelijker als we de wiskunde even op de achtergrond laten en gaan kijken of we ook inzichtelijk kunnen maken wat het betekent als we over gelijktijdigheid spreken.


Voor dit gedachtenexperiment bekijken we een astronaut in een ruimteschip dat zich met constante snelheid v voortbeweegt (in de x-richting, als je het weten wil). Ook is er in ons universum een waarnemer die het ruimteschip met de astronaut voorbij ziet komen. Aan boord van het ruimteschip bevinden zich twee 'klokken': eentje aan de voorkant van het schip en eentje aan de achterkant. De astronaut staat precies midden tussen de twee klokken. Deze klokken zijn speciaal: eigenlijk zijn het licht-detectoren. Elke keer als een lichtbundel (die door de astronaut naar de klok wordt gezonden) de klok bereikt, 'tikt' de klok. Vergelijkbaar met wat we eerder gezien hebben in les 7, is dit dus een realisatie van een zogenaamde lichtklok.


De astronaut staat dus precies tussen de twee klokken en hij bevindt zich ook in rust met respect tot de twee klokken. Vervolgens zendt hij tegelijkertijd naar beide klokken een lichtpuls uit. Aangezien de astronaut in zijn eigen initiaalstelsel stil staat, en de lichtsnelheid in elk stelsel gelijk is, zullen deze twee lichtpulsen dus gelijktijdig (voor de astronaut!) bij de twee klokken aankomen. Dit kan natuurlijk niet anders, immers de afstand van de astronaut tot elk van de twee klokken is gelijk. De astronaut ziet de twee klokken dus tegelijk tikken: ze zijn wat hem betreft dus gelijktijdig.


Laten we nu de situatie eens bekijken vanuit het standpunt van de waarnemer die het ruimteschip voorbij ziet komen. Hij ziet ook dat de astronaut in het midden van het ruimteschip staat, de Lorentzcontractie werkt immers op beide helften van het ruimteschip even sterk. Hij ziet ook dat de astronaut op het zelfde moment twee lichtpulsen uitzendt: eentje naar voren en eentje naar achteren. Maar, en hier komt het grote verschil, hij ziet ook dat het ruimteschip beweegt! Door deze beweging hoeft de lichtbundel die naar achteren is uitgezonden minder afstand te overbruggen dan de lichtbundel die naar voren is uitgezonden. Dit is logisch, want wat de waarnemer betreft beweegt de achterkant van het ruimteschip naar de lichtbundel toe, terwijl de voorkant van het ruimteschip van de andere lichtbundel weg beweegt. (Het is een eenvoudige oefening om uit te rekenen hoe groot dit effect is, probeer het maar eens.) Dit betekent dus dat de waarnemer ziet dat de achterste klok eerst slaat en de voorste klok pas later!


We hebben hier dus weer zo'n typisch relativistisch effect gezien dat we in de dagelijkse wereld eigenlijk nooit tegen komen (omdat we allemaal zo langzaam bewegen ten opzichte van de lichtsnelheid): gelijktijdigheid is relatief! Alleen twee waarnemers die in rust zijn ten opzichte van elkaar zullen het dus eens zijn over of twee gebeurtenissen wel of niet tegelijkertijd plaats vinden. In een plaatje geven we deze twee verschillende situaties dus alsvolgt weer:





In dit plaatje zie je de drie waarnemers (A, B en C) en een lichtpuls die vanuit L tegelijkertijd naar A en B gestuurd wordt. A en B bevinden zich steeds in het zelfde initiaalstelsel. Indien C zich ook in dit stelsel bevind, dan zal deze waarnemer zien dat de 2 pulsen die vanuit L naar A en B gestuurd zijn, tegelijk bij beide aankomen (bovenste plaatje). Echter, indien C zich eenparig beweegt tenopzichte van A en B, zal hij zien dat de twee pulsen op verschillende tijden bij A en B zullen aankomen (onderste plaatje). Welke van de twee waarnemers volgens C het eerste de lichtpuls zal ontvangen hangt af van (het teken van) de relatieve snelheid tussen A en B enerzijds en C anderzijds. Let op: deze twee plaatjes zijn dus getekend vanuit het perspectief van C!


Het effect wat we in deze les bestudeerd hebben heeft een heel belangrijk gevolg: omdat we niet kunnen zeggen of twee gebeurtenissen tegelijkertijd plaats vinden of niet, kunnen we zelfs (meestal) niet eens zeggen in welke volgorde twee gebeurtenissen plaats vinden. Natuurlijk zit het begrip causaliteit wel in relativiteitstheorie ingebakken: een gevolg kan pas plaatsvinden als de oorzaak gebeurd is, dus er is geen initiaalstelsel te vinden waarin de klok in het ruimteschip eerst slaat en pas daarna de lichtbundel door de astronaut uitgezonden wordt. Maar, het is wel zo dat we een initiaalstelsel kunnen vinden waarin de twee klokken gelijktijdig slaan (het stelsel van de astronaut dus), of eentje waarin de achterste klok eerst slaat (het stelsel van de eerder genoemde waarnemer), en ook eentje waarin de voorste klok eerst slaat (kan je bedenken welk stelsel dit zou kunnen zijn?).


De conclusie van deze les is dus dat je niet zomaar over (on)gelijktijdigheid kunt spreken! Slechts wanneer je erbij vermeldt in relatie tot welk initiaalstelsel deze tijden gemeten zijn, heeft zo'n uitspraak enige betekenis. Omdat fysici toch graag tijden willen vergelijken, wordt meestal het initiaalstelsel gebruikt waarin de twee gebeurtenissen op de zelfde plaats blijven (ze bewegen zich dan alleen in de tijd, maar niet in de drie ruimte-dimensies). In dit initiaalstelsel is de situatie het eenvoudigst en kunnen we makkelijk tijdsintervallen definiëren. Maar het blijft van groot belang dat je je realiseert dat (on)gelijktijdigheid, net als lengte en tijd, relatief zijn. Het is dus helemaal niet noodzakelijk dat twee waarnemers het eens zijn over de tijd en plaats waar zich een gebeurtenis voltrekt.

[Prof. relativiteit]

Les 9 - Lorenzcontractie (deel 2)


De Nederlander Hendrik Antoon Lorentz bekeek het idee dat licht een constante snelheid heeft voor iedere toeschouwer. Hij kwam met het volgende fysisch model.

Men nemen twee referentie stelsels (1 en 2), de ene heeft een snelheid v ten opzichte van het tweede stelsel, en wordt met een appostrof aangeduid. Als de oorspring O en O’ van beide stelsels overeen komen wordt er een lichtpuls in positieve x-richting afgegeven. De positie van deze puls is voor de twee referentie-stelsels als volgt:

• X = c·t
  
  X’ = c·t’

Klik hier voor een filmpje.


Lorentz had het idee om de positie X afhankelijk van de andere positie X’ vast te stellen. Eerst werd de positie X’ bepaald afhankelijk van een term: ‘A’ maal de positie X plus een term: ‘B’ maal de tijd. Wiskundig gezien:

• X’ = A·X + B·t

De positie van de oorspring O’ is in referentie stelsel 1 natuurlijk snelheid maal tijd, v·t. Maar in referentie stelsel 2 is dat nul, dus:

• Positie oorsprong 2: X = v·t en X’ = 0
  
  0 = A(v·t) + B·t

Let op dat A en B geen constanten zijn, maar termen!

De bovenstaande vergelijking vervalt naar:

• B·t = -A·v·t
  
  B = -A·v
  
  X’ = A(x - v·t)

Dit kunnen we ook voor het andere referentie stelsel doen.

• X = A·X’ + B·t’
  
  0 = -A·v·t’ + B·t’ à B = A·v
  
  X = A·x’ + A·v·t’
  
  X = A(x’ + v·t’)

Simpel, niet?

Nu willen we dus weten waar deze A voor staat, en daarvoor roepen we de hulp in van de constante c, we kunnen namelijk stellen dat (zie boven):

• c·t’ = A·(c·t - v·t)
  
  c·t = A·(c·t’ + v·t’)

Dat zij twee vergelijkingen met een onbekende, en die kunnen we oplossen. Dit oplossen vergt niet veel rekenwerk (probeer het zelf eens!) en geeft als antwoord:

• X' = (x - v·t) / (1 - v²/c²)^1/2

De bovenstaande formule wordt de Lorentz-transformatie van positie genoemd.

De term A wordt in relativiteits theorie doorgaans als γ (gamma) aangeduid.

Er is ook een Lorentz-transformatie van tijd. Deze is te bepalen door de Lorentz-transformtaie van X’ in die van X te substitutieren. Wiskundig gezien:

• X’ = A·[A·(x - v·t) + v·t’]

Deze bovenstaande formule is zodanig af te leiden dat er het volgende uitkomt:

• t' = (t - v·x/c²) / (1 - v²/c²)^1/2

Wie kan er deze afleiding doen?

Dit hier boven is de Lorentz-transformatie van tijd.


Maar wat kunnen we nu met deze informatie? Het zijn namelijk niet dezelfde formule’s als voor tijddilatie en lengtecontractie. Dat kan ook niet, want het gaat hier over coordinaten, en niet over een afmeting of een tijdsduur. Maar we zijn nu zover dat de stap naar tijddilatie en lengtecontractie eenvoudig geworden is.


Men nemen de volgende twee voorbeelden.

Klik hier voor een filmpje.

Stel je voor dat in het tweede referentie stelsel zich een object bevindt en dus met een snelheid v relatief tot het eerste referentie stelsel vliegt.

Op een gegeven moment kijkt een oog en ziet de twee uiteinden van de balk. Deze twee coordinaten kunnen we dus bepalen aan de hand van de Lorentz-transformatie. Doordat er op één tijdstip wordt gekeken is de t voor beide vergelijkingen hetzelfde.

Wiskundig uitgelegd wordt het al gauw duidelijk:

• X₁’ = γ·(X₁ - v·t) en X₂’ = γ·(X₂ - v·t)
  
  ΔX’ = X₂’ - X₁’ = γ·(X₂ - v·t – X₁ + v·t) = γ·(X₂ – X₁)
  
  ΔX’ = γ· ΔX

Eitje toch, of niet?


Het volgende voorbeeld word als volgt uit gelegd: Klik hier voor een filmpje

Boris de Idol komt met zijn hit in grote snelheid voorbij en zingt zijn liedje tussen t₁’ en t₂’, ofwel: Δt’. Door deze twee gegevens in te vullen in de Lorentz-transformatie krijgen we ogenblikkelijk de geaccepteerde wet voor tijddilatie. Het is ook nu weer makkelijker dit wiskundig uit te leggen:

• t₁’ = γ·(t₁ – v/c²) en t₂’ = γ·(t₂ – v/c²)
  
  Δt’ = t₂’ - t₁’ = γ·(t₂ – v/c² – t₁ + v/c²) = γ·(t₂ – t₁)
  
  Δt’ = γ· Δt

Dit is natuurlijk maar een ‘wiskundige’ manier om naar tijddilatie en lengtecontractie. Maar wat wel duidelijk moet zijn, maar ik hoop dat nu wel duidelijk is waar de illustere gamma vandaan komt.


We hebben via de Lorentz transformatie gezien dat dankzij de geweldige inval van Einstein, plaats en tijd afhankelijk zijn van de snelheid. Iedereen weet dat de verloop van plaats als functie van tijd (wiskundig x(t)) afhankelijk is van de snelheid. Van vroeger weten we nog dat de afgeleide van x(t) de snelheid is.

• x’(t) = dx/dt = v(t)

Om een lang verhaal kort te maken: "de snelheid is afhankelijk van de snelheid" Dat klinkt raar, maar je kunt gerust zijn, dat is het ook. Als men namelijk op een trein staat, is de afgeleide weg per tijdsbestek de snelheid. De vraag is alleen welke tijd en welke afstand?

Daar het de snelheid betreft van de trein ten opzichte van de grond nemen we ook de tijd verloop gemeten op de grond en de afstand gemeten op de grond. Deze snelheid noemen we:

• dx/dt = v

Hier is niks raars aan. Een persoon op de grond meet gewoon over een bepaalde afstand het tijdsbestek waarin de trein de afstand aflegt en berekent daaruit de snelheid.

Het wordt echter ingewikkelder als men in de trein gaat lopen. We weten namelijk dat de trein kleiner wordt (lengtecontractie) en de tijd langzamer gaat (tijddilatie). We zullen nu, vrij wiskundig, de snelheid gaan bereken van de lopende man in de trein ten opzichte van de grond. We zullen dus de snelheid van de trein en de snelheid van de lopende man in de trein optellen.


Uit de Lorentz transformatie weten we dat:

• 

Een hele makkelijke stap is de volgende:

• 

Gamma, γ is hier constant want de snelheid van de trein is constant.

Wat zou er veranderen als de snelheid van de trein niet constant was?

Nu is het nog maar een kleine stap om de snelheid te berekenen van de lopende man in de trein ten opzichte van de grond:

• snelheid = dx/dt = u = (u' + v) / (1 + v u'/c²)

Hierin is u’ de snelheid van de lopende persoon in de trein. De snelheid van de trein gemeten op de grond is v. De snelheid van de man in de trein ten opzichte van de grond is u. De lichtsnelheid is c.

Laten we nu even snel twee uiterste bekijken. Als de snelheid van de trein ten opzichte van de lichtsnelheid nu heel klein is verandert de onderste term van de formule naar 1, ofwel:

• u = u’ + v

Aan de andere kant, als de man in de trein met de snelheid van het licht loopt, zien we dat u’ = c en de snelheid van de lopende persoon ten opzichte van de grond is

• 

Het laatste gedachtenexperiment is huiswerk.

Als de trein met de snelheid van het licht gaat. Wat is de snelheid van de persoon lopende in de trein ten opzichte van de grond?

Nu weten we dat er niets sneller dan de lichtsnelheid kan reizen dan het licht. En we weer terug zijn bij de merkwaardige uitkomst van het Morely – Michelson experiment dat de snelheid van het licht gewoon niet verandert ook al zit men in een snel ruimteschip of niet.

We zullen verder in de minicursus ook nog zien dat de Lorentz-transformatie ook effect heeft op de massa van een reizend object.

[Prof. relativiteit]

Les 10 - Aberratie


Net als het dopplereffect is aberratie ook een niet-relativistisch effect. We kijken eerst wat niet-relativistische aberratie inhoud. We zitten in een stilstaande trein, en buiten regent het pijpenstelen. De regen valt recht naar beneden want het waait niet. Even later rijdt de trein, en het regent nog steeds zonder wind. Als we nu naar buiten kijken zien we dat de regen niet meer recht omlaag valt. In plaats daarvan lijkt de regen een beetje van voren te komen.


De schijnbare richting van de regen gezien vanuit de trein kunnen we construeren met vectoren. Als we de snelheid weten waarmee de regen naar beneden valt en de snelheid weten waarmee de trein over de rails rijdt kunnen we zelfs de hoek uitrekenen waarmee de treinreiziger de regendruppels langs de ramen ziet vliegen.


Bekijk het volgende plaatje:





Hoek a = tan^-1(v regen/v trein).

Hoek a = tan^-1(15/100) = 8,53 graden.


Het verschil tussen niet-relativistische aberratie en relativistische aberratie wordt duidelijk als we 1 regendruppel vervangen door een lichtpuls en de trein opvoeren tot relativistische snelheden. We bevinden ons in de trein. De snelheid waarmee de puls langs de trein vliegt is c volgens het 2e postulaat. De trein laten we met een snelheid van 0,6c over de rails rijden. In het volgende plaatje is zowel tijddilatatie als aberratie af te leiden!





Merk op dat de snelheid waarmee de puls naar beneden komt 0,8c is. Voor iemand die op het perron staat gaat de puls met snelheid c naar beneden. Dat is de tijdsdilatatie die je vanuit de trein op het perron waarneemt. Omdat de snelheid van de puls omlaag afhankelijk is van de snelheid van de trein over de rails wijkt de relativistische aberratie dus af van de niet-relativistische aberratie.


Hoek a = sin^-1( 0,8 ).

Waarbij 0,8 = 1/gamma.

Hoek a = sin^-1(1/gamma).

Waarbij we de gammafactor nemen die hoort bij de snelheid van de trein, 0,6c.

Hoek a = sin^-1(1 - 0,6²/1²) = 39,79 graden.





Bij snelheden waarbij de lichtsnelheid wordt benaderd betekent aberratie dat bijna al het licht van voren wordt opgevangen. Dingen die zich in werkelijkheid naast of achter ons bevinden kunnen schijnbaar VOOR ons zichtbaar zijn.


Een mooi ray-trace voorbeeld kun je hier vinden met deze relativistische vlucht door Stonehenge. Vooral het filmpje ervan (4.2 Mb) is inzichtelijk als je het een paar keer bekijkt.

[Prof. relativiteit]

Les 11 - De Minkowskiruimte


We gaan nu de Lorentztransformaties meer door een wiskundige bril bekijken. Met de Lorentztransformaties reken je het radarbeeld voor een plaats op een bepaald tijdstip (x,t) volgens een waarnemer om naar het radarbeeld volgens een andere waarnemer (x’,t’). (Omdat voor de snelheid u van de tweede waarnemer gericht langs de x-as geldt y=y’ en z=z’ besteden we in deze paragraaf geen aandacht aan de y en z coördinaat.)

• x’ = gamma.gif ·(x-u·t)
  
  x’ = gamma.gif·(t-u·x/c2)
  
  met

De ene variabele is een lengte en de andere een tijd. We willen dat in beide variabelen dezelfde grootheid gebruikt wordt. Daarom nemen we in plaats van t nu ct als tweede variabele. De Lorentztransformaties worden nu:

• x’ = gamma.gif·(x - u/c·ct)
  
  ct’ = gamma.gif·(-u/c·x + ct)

Wiskundig gezien is dit een soort coördinatentransformatie want want het kan geschreven worden in de vorm:

• x’ = A11 · x + A12 · ct
  
  x’ = A21 · x + A22 · ct

Omdat er in de relativiteitstheorie er weinig verschil is tussen ruimte en tijd wordt wel gesproken van een vierdimensionaal ruimte-tijd continuüm. Een punt (x,t) is een ruimtetijdpunt.





Hierboven staat een voorbeeld van zo’n coördinatentransformatie (geval u=c/2)

Het eerste coördinatenstelsel bestaat uit zwarte lijnen ct=constant (parallel aan de x-as) en rode lijnen x=constant (parallel aan de ct-as).

Het tweede coördinatenstelsel bestaat uit blauwe lijnen ct’=constant (parallel aan de x’-as) en uit groene lijnen x’=constant (parallel aan de ct’-as)


Wat opvalt is, dat waar de x-as en de ct-as onderling loodrecht zijn, de x’-as en de ct’-as niet onderling loodrecht zijn. Dit is een hinderlijke eigenschap. Alleen al bij het tekenen van plaatjes: Voor u=0,99c vallen de x’-as en de ct’-as min of meer samen.

Vervelend is verder dat vormen en afstanden bij een coördinatentransformatie veranderen: We zien in figuur 1 dat een “vierkant” in een x’,ct’ coördinaten in x,ct coördinaten een “parallellogram” is


De wiskundige Minkowski bedacht hier een oplossing voor: de Minkowskiruimte. Wat gewenst is is een coördinatentransformatie waarbij geen vervorming optreedt (zoals bij een verdraaiing of bij een verschuiving) dan blijft de afstand tussen punten gelijk.

Minkowski merkte op dat altijd geldt x’2 – c2 · t’2 = x2 – c2 · t2 (Dit is door invullen van de Lorentztransformaties eenvoudig te controleren). Dus als x2 – c2 · t2 een afstand zou zijn zou er geen vervorming optreden.

Dit bracht Minkowski op het idee om in de tweede coördinaat te gebruiken en wel T = i·c·t.

Want er geldt nu altijd: x’2 + T’2 = x2 + T2 (Gebruikmakend van i2 = -1) Dus voor dit type coördinatenstelsel blijft bij een Lorentztransformaties de “afstand” tussen punten gelijk.


Getallen waarin gebruikt wordt heten complexe getallen. Deze naam is overigens misleidend: rekenen met complexe getallen is helemaal niet zo complex Vaak wordt er in plaats van met gewone getallen juist met complexe getallen gerekend omdat dat eenvoudiger is.


Door en zo nodig i2 = -1 in te vullen is eenvoudig na te gaan dat de Lorentztransformaties nu zijn:

• x’ = x·cos(h) + T·sin(h) met cos(h) = gamma.gif en sin(h) = i·gamma.gif·u/c
  
  T’ = -x·sin(h) + T·cos(h)

De Lorentztransformaties behoren nu bij omrekening tussen twee loodrechte coördinatenstelsels die over een hoek h ten opzichte van elkaar verdraaid zijn. Wel zijn het een wat ongewone sinus en cosinus en is h daardoor een ongewone hoek. In de appendix bij dit hoofdstuk wordt afgeleid dat deze hoek zuiver imaginair is


De cosinus is een reëel getal en dat pas ook bij gelijksoortige dimensies: een reele x levert een reele bijdrage aan x’ en een zuiver imaginaire T levert een zuiver imaginaire bijdrage aan T’ De sinus is zuiver imaginair en zorgt voor de omrekening tussen ongelijksoortige dimensies: Een imaginaire T levert zo een reele bijdrage aan x’ en een reele x levert zo een zuiver imaginaire bijdrage aan T’


Even een luchtig intermezzo: meer fiction dan science. In sciencefiction kom je wel de bewering tegen, dat als je sneller dan het licht gaat dan je teruggaat in de tijd. In een volgende paragraaf zullen we zien, dat het niet mogelijk is om te versnellen tot een snelheid groter dan de lichtsnelheid omdat hiervoor meer energie nodig is, dan er in ons heelal aanwezig is. Maar stel dat er toch een manier is om sneller dan het licht te gaan.

Er geldt dan

• u/c is groter dan 1
  
  1 – u²/c² is kleiner dan 0
  
  en dus is gamma.gif een imaginair getal
  
  

Het gevolg is, dat x’ zuiver imaginair is en T’ reëel. Bij de Lorentztransformaties is dan de cosinus imaginair en de sinus reëel. Dus T levert een directe bijdrage aan x’ maar x moet omgezet worden tot een complex getal. En x levert een directe bijdrage aan T’ maar T moet omgezet worden tot reëel getal.

Kortom het is niet zo dat de tijd in richting omkeert, wel is het zo dat tijd en ruimte van rol verwisselen.




We keren nu weer terug naar de normale natuurkunde

In de figuur hierboven is de beweging van een rode staaf in de Minkowskiruimte getekend. De staaf is in rust ten opzichte van het blauw-groene coördinatenstelsel en beweegt ten opzichte van het zwart-bruine coördinatenstelsel. De lengte van de staaf is de afstand tussen de voorkant en de achterkant van de staaf op het zelfde tijdstip En gelijktijdigheid is in de twee coördinatenstelsels verschillend! De blauwe pijlen geven de lengte lo in het coördinatenstelsel in rust ten opzichte van de staaf. En de zwarte pijlen geven de lengte l in het andere coördinatenstelsel.

We zien dat

In de figuur is l dan ook groter dan lo getekend, omdat er nu eenmaal geen manier is om imaginaire hoeken te tekenen.

Echter in feite is "cos(h) = gamma.gif" groter dan 1 en l is l0 / gamma.gif. Dit is de inmiddels bekende formule voor Lorentz lengtecontractie.

[Prof. relativiteit]

Les 12 - De ladder-schuur paradox


In lengtecontractie schuilt een paradox. We gebruiken meteen een voorbeeld om de paradox zichtbaar te maken en hem uit te leggen. In ons voorbeeld hebben we een schuur. Recht door de schuur laten we met hoge snelheid een ladder vliegen.


Enkele gegevens over de ladder en de schuur:

• In rust is de lengte van de schuur 10 meter.
• In rust is de lengte van de ladder 10 meter.
• De snelheid waarmee de ladder in de lengte door de schuur vliegt is constant 0,6 maal lichtsnelheid.

Eerst zullen we als toeschouwers eens naast de schuur gaan staan en kijken wat er gebeurt. We zien een schuur van 10 meter lengte. En daar komt de plank aan met een snelheid van 0,6c. We zien een ladder die korter is dan 10 meter vanwege de lengtecontractie. De gammafactor voor 0,6c is 1,25 zodat we een ladder zien van 8 meter lang. De ladder gaat de schuur binnen en past er natuurlijk ruim in, er is nog 2 meter over.


Daarna zullen we als toeschouwers eens op de ladder gaan zitten om te kijken wat er dan gebeurt. De vliegende ladder waar we op zitten is 10 meter lang. Verderop zien we een schuur met een snelheid van 0,6c op ons afkomen. Vanwege lengtecontractie heeft juist de schuur nu een lengte van 8 meter. De ladder gaat de schuur binnen maar past er niet in, de schuur is 2 meter te klein dus er steekt altijd een stuk van onze ladder uit.


Dit is de paradox, waarbij we ons afvragen of de ladder nou in de schuur past of niet. Beide verhalen lijken elkaar tegen te spreken, maar toch doen ze dat niet. Het antwoordt zit hem in de ongelijktijdigheid die eerder besproken is.


Wat betekent het eigenlijk dat de ladder in de schuur past? Het antwoord: Als voor en achterkant van de ladder zich tegelijk in de schuur bevinden past de ladder in de schuur. Maar aangezien er volgens de speciale relativiteitstheorie sprake is van ongelijktijdigheid, verschilt de gelijktijdigheid van de schuur met die van de ladder.


Voor een uitleg maken we gebruik van een tekening:





(De tijden komen niet overeen met de werkelijkheid. Het tijdsverschil van 2 minuten is in werkelijkheid velen malen kleiner!). Het tijdsverschil over een plank van 10 meter bij 0,6c is te berekenen en bedraagt 1,6∙10^-8 seconde.


Bovenaan staan de ladder en de schuur beide in stilstand afgebeeld. Ze zijn even lang.


De linker helft is de situatie voor de schuur. Daarbij zien we dat de bewegende ladder korter is dan de schuur. Ook zien we dat de klokken op de ladder niet gelijk lopen, waarbij de voorste klok achter loopt op de achterste klok.


De rechter helft van de tekening is de situatie volgens de ladder. We zien dat de bewegende schuur korter is dan de ladder, de klokken op de ladder lopen gelijk.


Zowel links als rechts komt de achterkant van de ladder de schuur binnen op de tijden, 12:01 volgens de schuur en 12:01 op de ladder.

Zowel links als rechts verlaat de voorkant van de ladder de schuur op de tijden, 12:00 volgens de ladder en 12:02 in de schuur.


Zo te zien spreekt niets elkaar tegen, zolang we er maar rekening mee houden dat de klokken op de ladder ongelijk lopen volgens iemand in het inertiaalstelsel van de schuur. De ongelijktijdigheid maakt het verhaal kloppend.

[Prof. relativiteit]

Dat was de laatste les binnen deze minicursus. Wij, de schrijvers van deze cursus, hopen dat je er wat van geleerd hebt, en dat je net zoveel plezier gehad hebt met het lezen van deze minicursus als wij hebben gehad met het schrijven ervan!