[wiskunde] Bewijs i.v.m. de norm

[Biesmansss]

Beschouw een rij (Xk) _{k ∈N} in Rⁿ en een a = (a1, a2, ..., an) _∈Rⁿ. Noteer de componentrijen met (X_i,k) _{k ∈ N} (met i = 1, 2, ..., n).

Volgende uitspraken zijn equivalent:

(1) (Xk) _{k ∈ N}convergeert naar a.

(2) Voor alle i = 1, 2, ..., n convergeert (X_i,k) _{k ∈ N} naar a_i.

De sleutel tot dit resultaat is volgende dubbele ongelijkheid. Voor alle b = (b1, b2, ..., b3) _∈ Rⁿ en alle i = 1, 2, ..., n. geldt:

|bi - ai| ≤ ||b - a|| ≤ |b1 - a1| + |b2 - a2| + ... + |bn - an|

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Eerst zou ik dus de dubbelongelijkheid helemaal moeten snappen en zou ik in staat moeten zijn deze te bewijzen. Kan iemand mij hierbij helpen ?

Dank bij voorbaat!

[Drieske]

Wat is, per definitie ||b-a||?

[Biesmansss]

Als ik mij niet vergis:

√ (a1-b1)² + (a2 - b2)² + ... + (an - bn)²

[Drieske]

Klopt. Nu zijn alle (a_i- b_i)² positief. Laat ze eens allemaal weg, buiten eentje. Dit is groter/kleiner geworden?

[Biesmansss]

kleiner of gelijk aan wat we al hadden

[Drieske]

Inderdaad. Dus:

\(\sqrt{(a_i - b_i)^2} \leq \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + \cdots + (a_n - b_n)^2}\)

. Wat is nu

\(\sqrt{(a_i - b_i)^2}\)

?

[Biesmansss]

De afstand tussen ai en bi, dus m.a.w. |ai - bi|, dat was eenvoudig om te vinden.

[Drieske]

Inderdaad. Dat bewijst al 1 ongelijkheid. Nu nog de andere. Hint: is

\(\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\)

met x en y positief?

[Biesmansss]

Inderdaad. Dat bewijst al 1 ongelijkheid. Nu nog de andere. Hint: is

\(\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y}\)

met x en y positief?

Dat klopt ja, maar het is niet zo eenvoudig om dit te bewijzen ?

[Drieske]

Wat is niet zo eenvoudig om te bewijzen?

[Biesmansss]

√(x + y) ≤ √x + √y ?

[Drieske]

Kwadrateer beide leden eens. Waarom mag dit (probeer zo precies mogelijk te zijn)?

[Biesmansss]

x + y ≤ x + 2 √xy + y

En daarmee is het dus bewezen ?

We mogen dit doen daar we er zeker van zijn dat alle leden aan beide kanten positief moeten zijn; dit weten we doordat ze allemaal onder een wortel staan ?

[Drieske]

Dat is niet waarom je dat mag doen. Of beter: Het positief zijn is ook nodig. Maar nog meer ook. Je weet iets over de functie f(x) = x² op [0, oneindig). Wat?

[Biesmansss]

Dat is niet waarom je dat mag doen. Of beter: Het positief zijn is ook nodig. Maar nog meer ook. Je weet iets over de functie f(x) = x² op [0, oneindig). Wat?

de funtie f(x) = x² op [o, +00[

Deze is strikt stijgend ?