[wiskunde] Bewijs i.v.m. de norm

[Drieske]

Die is inderdaad strikt stijgend... Waarom is dat belangrijk?

@Wisk: ik zal je vraag afsplitsen naar een apart topic. Zie hier.

[Biesmansss]

Euhm, geen idee. Het enige wat ik rechtstreeks kan koppelen aan strikt stijgend is

injectiviteit, maar ik betwijfel ten zeerste of dat hier van belang is.

[Drieske]

Jij hebt iets van de vorm: x < y. Je past daar nu een f op toe en wilt dat de ongelijkheid blijft behouden. Dus je wilt: f(x) < f(y). Neem nu even heel dom de constante functie die aan alles de waarde 1 toekent. Dat werkt dus niet. Nog steeds dom, maar al net dat minder, neem de functie die tot 10 de waarde -1 aanneemt en vanaf daar de functie is f(x) = x (snap je wat ik bedoel?). Ook deze werkt niet...

Zie je het punt nu?

[Biesmansss]

Jij hebt iets van de vorm: x < y. Je past daar nu een f op toe en wilt dat de ongelijkheid blijft behouden. Dus je wilt: f(x) < f(y). Neem nu even heel dom de constante functie die aan alles de waarde 1 toekent. Dat werkt dus niet. Nog steeds dom, maar al net dat minder, neem de functie die tot 10 de waarde -1 aanneemt en vanaf daar de functie is f(x) = x (snap je wat ik bedoel?). Ook deze werkt niet...

Zie je het punt nu?

Ik heb een vermoeden van wat je bedoelt.

Maar als je aan beide f(x) = x zou toekennen dan zou dit toch wel kloppen ?

Ook f(x) = x² zou werken indien beide 'invoer-verzamelingen' positief zijn.

[Drieske]

Dat is inderdaad zo. Maar het is wel belangrijk om je goed bewust te zijn van waarom je beide leden mag kwadrateren en de ongelijkheid blijft gelden én vice versa.

[Biesmansss]

Dat is inderdaad zo. Maar het is wel belangrijk om je goed bewust te zijn van waarom je beide leden mag kwadrateren en de ongelijkheid blijft gelden én vice versa.

Nu weet ik nog niet exact waarom dat mag hé ?

De enige reden die daaruit komt is toch het 'positief zijn' van de invoer ? Of zie ik het verkeerd ?

[Drieske]

Het mag omdat elk getal een uniek beeld heeft (er zijn geen x en y verschillend zodat f(x) = f(y)), in tegenstelling tot voorbeelden die ik je eerder gaf. Dit in combinatie met het strikt stijgend zijn uiteraard. Want als het niet strikt stijgend is, ben je niet zeker dat de richting van de ongelijkheid behouden blijft...

[Biesmansss]

Het mag omdat elk getal een uniek beeld heeft (er zijn geen x en y verschillend zodat f(x) = f(y)), in tegenstelling tot voorbeelden die ik je eerder gaf. Dit in combinatie met het strikt stijgend zijn uiteraard. Want als het niet strikt stijgend is, ben je niet zeker dat de richting van de ongelijkheid behouden blijft...

Yup, ik snap het.

Dus als we beide leden kwadrateren dan krijgen we:

x + y ≤ x + 2 √xy + y

En aangezien x en y dus positief zijn zal '2√xy' ook enkel positief zijn waardoor het bovenstaande aangetoont is.

[Drieske]

Zie je overigens dat je hier in beide richtingen gebruik maakt van de eigenschap waar ik je op wees?

En zie je hoe hieruit het algemeen geval volgt? Lukt de rest van de vraag dan ook?

[Biesmansss]

Zie je overigens dat je hier in beide richtingen gebruik maakt van de eigenschap waar ik je op wees?

En zie je hoe hieruit het algemeen geval volgt? Lukt de rest van de vraag dan ook?

Ja, Want we hebben (na het kwadrateren) weer iets in de vorm van x < y. Om hier een f(x) < f(y) op mogen toe te passen (in dit geval de wortel nemen), moet het weer aan dezelfde voorwaarden voldoen.

Hhmmm, hoe het algemeen geval hieruit volgt ?

We kunnen dit gewoon uitbreiden tot x,y,..., z ? Waardoor we voor het linkerlid altijd iets 'positiefs' meer zullen krijgen.

[Drieske]

Algemeen wil je dus:

\(\sqrt{z_1 + z_2 + \cdots + z_n} \leq \sqrt{z_1} + \cdots + \sqrt{z_n}\)

. Neem eens alles samen, buiten de laatste. Dan weet je:

\(\sqrt{z_1 + z_2 + \cdots + z_n} \leq \sqrt{z_1 + \cdots + z_{n-1}} + \sqrt{z_n}\)

. Zie je nu hoe je het algemene geval nu hebt?

[Biesmansss]

√(z1 + z2 + ... + zn-1) ≤ √(z1 + z2 + ... + zn-2) + √(zn-1)

Dus we weten dat:

√(z1 + z2 + ... + zn) ≤ √(z1 + z2 + ... + zn-1) + √(zn) ≤ √(z1 + z2 + ... + zn-2) + √(zn-1) + √(zn)

en zo kunnen we verder blijven gaan tot we uiteindelijk de algemene vorm bekomen.

Waardoor het bovenstaande bewezen is.

[Drieske]

Inderdaad. Ken je inductie? Dat maakt het schrijfwerk korter .

Lukt de rest van de opgave nu ook?

[Biesmansss]

Ja inductie ken ik.

De rest van de opgave is vrij triviaal eigenlijk.

Nogmaals bedankt Dries!

[Drieske]

Graag gedaan . Succes nog!