Definieer
\( S \subseteq N \)
en vector \( e^S\)
met \( e_i^S = 1 \)
voor alle \(i \in S\)
en \( e_i^S = 0 \)
voor alle \( i \in N \backslash S \)
.Veronderstel de volgende ''map'' :
\( k : 2^N \backslash \{\emptyset\} \rightarrow [0,1]\)
.Deze map is zogenoemd gebalanceerd als:
\( \sum_{S \in 2^N \backslash \{ \emptyset \}} k(S) e^S = e^N,\)
waar \( 2^N\)
de verzameling is van alle subverzamelingen van N.Bovendien is het afdoende om van een gebalanceerde map te spreken als voor alle
\( i \in N \)
geldt dat:\( \sum_{S \in 2^N \backslash \{ \emptyset \} : i \in S} k(S) = 1. \)
Nu de laatste introductie, een collectie \( B \subseteq 2^N \backslash \{ \emptyset \} \)
is gebalanceerd op \( N \)
als er een balanceerde map \( k \)
op \( N \)
bestaat zodanig dat:\( B = \{ S \in 2^N \backslash \{ \emptyset \} | k(S) >0 \}. \)
Nu komt de vraag:Laat
\(C\)
een gebalanceerde collectie zijn op \( N \)
met \( C \not= \{ N \} \)
. Laat dan eens zien dat een gassocieerde gebalanceerde map voldoet aan:\( \sum_{S \in C} k(S) > 1 \)
.Bewijs:
Veronderstel
\( N = {1,2,...,n} \)
met \( n > 1 \)
.En C een gebalanceerde collectie op N zoals eerder gedefineerd. Omdat C gebalanceerd is op N, bestaat er een gebalanceerde map
\( k \)
met de eigenschap dat \( K(S) >0 \)
en dat voor alle i\( \sum_{S \in 2^N \backslash \{ \emptyset \} : i \in S} k(S) = 1. \)
In het bijzonder geldt dit voor \( i=1 \)
, waardoor we weten dat:\( \sum_{S \in C : : 1 \in S} k(S) = 1 \)
.Omdat subset
\( N \)
zelf geen deel uitmaakt van de verzameling \( S \)
is het niet mogelijk dat nu voor alle i voldaan is aan\( \sum_{S \in 2^N \backslash \{ \emptyset \} : i \in S} k(S) = 1, \)
wat betekent dat er voor minstens één i geldt dat\( k(S) > 0 \)
.Maar dan volgt:
\( \sum_{S \in 2^N \backslash \{ \emptyset \} : i \in S} k(S) + k(S) > 1.\)
Ik twijfel aan dit bewijs, iemand tips /op aanmerkingen? bvd!
