Nuloperatie toepassen op een noemer

[Uomo Universale]

Ik kan redelijk vlot een nuloperatie toepassen als het op tellers aankomt.

Om een voorbeeld te geven van wat ik bedoel: als je een vorm 'ty' hebt en je wil dit omzetten naar een vorm

\((t-1)^n y\)

dan kan dit als volgt:

\(ty = (t-1)^1 y + y\)

.

Maar wat als je nu zo'n nuloperatie wil toepassen op een noemer?

Ik heb bijvoorbeeld y/t. Hoe kan ik hier dan een vorm

\((t-1)^n y\)

van maken?

In dit geval zou ik dit dus kunnen omvormen op volgende manier:

\(\frac{y}{t} = (t-1)^-^1 y - \frac{1}{t(t-1)}y = \frac{1}{t-1} y - \frac{1}{t(t-1)}y\)

. Probleem is hier natuurlijk weer dat ik in de noemer van mijn tweede breuk weer met een term 't' zit die ik zou moeten omzetten naar een term (t-1), maar zo kan je volgens mij bezig blijven (dat is althans wat ik dacht wanneer ik het eens probeerde met een numeriek voorbeeld).

Mijn vraag is nu hoe ik dit probleem kan oplossen?

Iemand die me een hint kan geven?

[Safe]

Waar heb je dit voor nodig ...

[Uomo Universale]

Het is om een reeksontwikkeling van een differentiaalvergelijking te maken.

Ik heb de differentiaalvergelijking y'' + y'/t = 0 en deze moet ik ontwikkelen rond t = 1.

Ik kan dus

\(y(t) = \sum^{+\infty}_{n=0} a_n(t-1)^n\)

vooropstellen als oplossing die ik wil bekomen. Als ik deze som twee keer afleid en dan substitueer in mijn differentiaalvergelijking dan moet ik er voor zorgen dat ik alle 't'-termen schrijf als een vorm van (t-1)^n. Probleem is hier natuurlijk dat ik die t in de noemer wil omzetten naar zo'n vorm, maar dus niet goed weet hoe dit te doen..

[Safe]

Probeer eens:

\(\frac 1 t = \frac 1 {(t-1)+1}\)

[Uomo Universale]

Ik weet dat

\(\frac 1 t = \frac 1 {(t-1)+1} = ((t-1)+1)^{-1}\)

maar dan zie ik niet meteen in hoe ik dit kan splitsen in een vorm

\((t-1)^{-1} + ?\)

. Op deze manier wordt denk ik het probleem alleen maar verlegd.

Want stel bijvoorbeeld t-1 = u. Dan moet ik hier dus proberen om de vorm

\(\frac{1}{u+1}\)

om te zetten naar een vorm

\(\frac{1}{u} + ?\)

wat volgens mij equivalent is aan het omzetten van een vorm

\(\frac{1}{t}\)

naar

\(\frac{1}{t-1} + ?\)

, wat dus het oorspronkelijke probleem was. Mijns inziens wordt het probleem op die manier dus alleen maar verlegd. Of maak ik hier ergens een fout? (hopelijk!)

[Safe]

1/(u+1) kan je opvatten als de som van een (oneindige) MR met reden ... ?

[Uomo Universale]

Volgens mij heb ik het gevonden: ik moet gewoon 1/t Taylor-ontwikkelen rond t = 1.

Waarschijnlijk suggereerde je dit, maar dat had ik niet zo begrepen... Bedankt!

[Safe]

Wat heb je nu gevonden?

[Uomo Universale]

\(1 - 1(t-1) + 2(t-1)^2 - 2*3(t-1)^3 + . . . = \sum^{+\infty}_{n=0} (-1)^n n! (t-1)^n\)

is wat ik gevonden heb. Zie ook dit topic: http://www.wetenscha...alvergelijking/ (zo zie je misschien ook even waarom ik het nodig had, alhoewel ik er nu nog niet uit geraak..).

[Safe]

1/(1+u)=1-u+u²-u³+...

Ken je dit soort formules, het zijn MR.

[Uomo Universale]

Die heb ik nog gezien, maar op dit moment kan ik jammergenoeg niet zeggen dat alle theorie daaromtrent tot mijn basiskennis behoort.

[Uomo Universale]

Even rechtzetten: ik merk dat ik bij mijn Taylor-ontwikkeling telkens ben vergeten delen door n!, hierdoor is mijn sommatie niet geheel juist. Wat het zou moeten zijn is dus:

\(
\sum^{+\infty}_{n=0} (-1)^n (t-1)^n
\)

[/color]

[Safe]

Die heb ik nog gezien, maar op dit moment kan ik jammergenoeg niet zeggen dat alle theorie daaromtrent tot mijn basiskennis behoort.

Kan je de ontwikkeling dan ook verklaren? Zo nee, geef dat aan. Zo ja, verklaar ...

Kan je dan ook het verband met je vraag leggen?