Tijdverschil zonsopkomst op hoogte

[Miels]

Een bekende van me woont op de bovenste etage van een flat (van negen verdiepingen). We hadden het erover dat ze regelmatig op het balkon gaan zitten bij zonsopkomst en -ondergang.

Toen vroeg ik mij af hoe groot het tijdsverschil zou zijn wat betreft het moment van zonsopkomst vergeleken met het aardoppervlak. Is dat verwaarloosbaar of niet? De beta in mij stak direct de kop op, dus nu wil ik het weten...

En dan gaat het me uiteraard niet om het tijdsverschil op de 9e verdieping, maar per meter dat je omhoog gaat.

[Michel Uphoff]

Volgens Wikipedia is de afstand tot de horizon voor geringe hoogtes te benaderen met: (wordt de hoogte aanmerkelijk dan is het )

d=afstand tot de horizon, R straal (Aarde = 6371 km), h = observatiehoogte

Voor 1 meter hoogte is de afstand tot de horizon dan 3,57 kilometer en voor 2 meter hoogte is dit 5,05 kilometer

Als de zon loodrecht zou dalen (je zit op de evenaar op 21 juni) draait de Aarde daar 0,46 km per seconde weg en is er bij 1,48 km verschil dus pakweg 3 seconden tijdsverschil per meter.

Hier in Nederland ligt dat denk ik anders, (hoek die de baan van de Zon t.o.v. de horizon maakt varieert én de draaisnelheid van het aardoppervlak in km/h is hier lager), maar hoe ik dat moet benaderen is mij nog niet duidelijk.

Op de polen is het ook leuk. Stel dat het daar zojuist winter is geworden en dat ik door een meter hoger te staan de bovenrand van de Zon nét zie. Hoe lang zie ik die rand dan? Lastig..

[Miels]

Ik ben zelf ook eens gaan puzzelen. Om te beginnen dien je de omtrek van de aarde te weten op onze positie noorderbreedte.

Eerst maar eens de straal:

r = straal aarde op graad :alfa:

:alfa: = graden NB (of ZB)

R = omtrek aarde ter hoogte van de evenaar = 40.075 * 10³ m

Aangenomen dat de aarde rond is (wat niet zo is, maar laat ik die factor voor dit moment verwaarlozen)

r = R * cos :alfa:

Dan de omtrek (P) op die positie:

P = 2 pi.gif r

substitueren van r

P = 2 pi.gif R cos :alfa:

Neem nu locatie L1 waar het op dit moment op het oppervlak de zon opkomt

Hiervoor bestaat een locatie L2 (op het aardoppervlak) waar op dit moment de zon opkomt op een hoogte h.

Vanaf de poolster bezien bestaat er een onderlinge hoek :beta: .

cos :beta: = r / ( r + h)

Los daarvan de hoeksnelheid :Omega: van de draaiing van de aarde:

:Omega: = 360 / T

T = tijd voor 1 omwenteling = 24 uur = 24 * 60 * 60 = 86400 s

het tijdverschil dt is: :beta: :Omega: (s)

Helaas geen tijd gehad om er wat tekeningetjes bij te maken en nu ook geen tijd meer om alles te substitueren / de daadwerkelijke uitkomst uit te rekenen...

[Miels]

Hmm, irritant. Hij vervangt de kleine omega vanzelf door een grote. Nou ja, verandert niets aan de formule zal ik maar denken.

[Michel Uphoff]

Nu ik er nog eens over nadenk..

Volgens mij maakt het niet uit waar je je op deze aardkloot bevindt en wat de hoek van de Zon tov de horizon is. Er worden immers altijd hetzelfde aantal lentegraden per tijdseenheid afgelegd.

[Jan van de Velde]

Ik ben nog niet helemaal weg met Uphoffs idee dat de plaats op aarde niets zou mogen uitmaken, en ga even uit van een flat op de evenaar op een dag dat de zon recht boven de evenaar staat.

door op hoogte te gaan staan verandert je horizon.

zonshoogte 1263 keer bekeken

De aarde hoeft dus een hoek :alfa: minder te draaien alvorens je de zon ziet t.o.v. plat liggend op een perfect bolvormige aarde.

d= 6378,1 km (wikipedia, equatoriale straal)

h= vul maar in, ook in km

1 graad betekent 1/360 van 24 uur

\( t = \frac{\arccos \frac{d}{d+h}}{360} \times 24 \times 3600 \ s \)

Een verschil per meter is niet te geven.

Het verschil tussen plat op de grond liggen of:

• gewoon rechtop staan is om en nabij de 10 seconden,
• op een flat van 27 m (9 verdiepingen) 40 seconden.
• op een 800 m hoge wolkenkrabber 218 s,
• op een 8 km hoge bergtop 688 s

wet van de afnemende meeropbrengst

Een TV-reclame van enige jaren geleden maakte daar gebruik van, al overdreven die dan volgens mijn berekening het effect behoorlijk.

Verplaatst naar sterrenkunde

[eendavid]

Ik ben nog niet helemaal weg met Uphoffs idee dat de plaats op aarde niets zou mogen uitmaken, en ga even uit van een flat op de evenaar op een dag dat de zon recht boven de evenaar staat...

Op dezelfde dag kan je met je analyse, wanneer je de aarde als bol benadert, ook onmiddellijk de situatie op een willekeurige plaats op aarde. Vermits de lichtstralen komend van de zon evenwijdig zijn, moet je enkel h en d aanpassen naar h' en d'. Idealiter zou ik een tekening maken, maar ik zou daar enkele uren mee kwijt zijn vrees ik. Ik hoop dat de idee duidelijk is: je bent op een zekere breedtegraad en komt met hoogte h boven de aardkorst uit. Je kan dan de situatie dan bekijken in het vlak parallel met de evenaar, maar snijdend met dat punt op hoogte h boven de aardkorst. De situatie is analoog aan deze uit jouw post, behalve dat de parameters h en d veranderd zijn naar waarden h' en d'. Dezen voldoen aan de vergelijkingen

\(h'(h'+2d')=h(h+2d)\)

,

\(h'+d'=(h+d)cos(\alpha)\)

,

met

\(\alpha\)

de breedtegraad. Je kan deze oplossen naar d',h' wanneer

\(|(h+d)\sin(\alpha)| < d\)

(anders zie je de zon altijd omdat de aarde niet in de weg zit):

\(d'=\sqrt{d^2-(h^2+d^2)\sin^2(\alpha)},\)

\(h'=(h+d)\cos(\alpha)-\sqrt{d^2-(h^2+d^2)\sin^2(\alpha)}.\)

En dit in jouw formule substitueren:

\(\frac{\arccos \frac{d'}{d'+h'}}{360} \times 24 \times 3600 \sec\)

[Benm]

Volgens mij kloppen de getallen van Jan wel aardig, in ieder geval met observatie. Ik woon zelf op de 15e verdieping, en kijk ook uit op een hoog gebouw (17 verdiepingen). Deze steken aardig uit boven de meeste gebouwen er omheen, zodat je vanaf pakweg de 8e verdieping kunt zien wat er nog wel, en wat er niet meer in de zon staat als gevolg van de horizon.

Ongeveer een halve minuut om van de 8e tot de 17e te gaan is herkenbaar - ik heb het nooit getimed, maar qua orde-grootte zit het m.i. goed.

Ik wil het wel een keer proberen de filmen als we een heldere dag hebben en de zon zodanig onder gaat dat er geen schaduwen vallen op de gebouwen - ik heb vrij zich op de interpay/equens toren (65 meter hoog) vanaf de juiste hoek in de zomer.

[Perseus]

Ik heb zo'n vermoeden dat het seizoen ook een rol speelt. In de zomer maakt de dagboog van de zon een scherpere hoek met de horizon dan in de winter. De zonsopkomst en -ondergang duren dus langer (m.a.w. in de zomer is het langer schemerlicht).

In de praktijk zit je natuurlijk nog met andere effecten: de aarde is geen perfecte bol, je horizon is niet perfect vlak en de atmosfeer zorgt voor straalbreking van het zonlicht.

[Jan van de Velde]

Ik wil het wel een keer proberen de filmen als we een heldere dag hebben en de zon zodanig onder gaat dat er geen schaduwen vallen op de gebouwen - ik heb vrij zich op de interpay/equens toren (65 meter hoog) vanaf de juiste hoek in de zomer.

Dat vind ik een geweldig idee =D> . Vergeet het aub niet,ik zie ernaar uit tzt dat filmpje hier te mogen zien.

[Perseus]

horizon-wetenschapsforum 1226 keer bekeken

Goed, we moeten dus twee waarnemers vergelijken: één op de grond, en één op een hoogte

\(h\)

van de grond. Waarnemer 1 ziet de zon ondergaan als de zon op plaats 1 staat (zie figuur). Dat komt overeen met een zenitsafstand

\(z_1 = 90^\circ\)

. Waarnemer 2 ziet de zon pas ondergaan als de zon op plaats 2 staat (ik ben even een geocentrist ). Dat gebeurt als de zon een zenitsafstand

\(z_2\)

heeft, waarvoor geldt:

\(
\sin z_2 = \dfrac{d}{d+h}
\)

met

\(d\)

de straal van de aarde. Of nog:

\(
\cos z_2 = -\sqrt{1 - \dfrac{d^2}{(d+h)^2}}
\)

Het minteken is nodig omdat

\(z_2 > 90^\circ\)

. Nu komt het eropaan om het tijdstip van zonsondergang te bepalen voor beide waarnemers. Algemeen geldt deze formule:

\(\cos z = \sin\varphi\sin\delta + \cos\varphi\cos\delta\cos H\)

Hierbij is

\(\varphi\)

de breedtegraad van de plaats,

\(\delta\)

de declinatie van de zon, en

\(H\)

de uurhoek van de zon. Om dit te snappen heb je wat kennis van hemelmechanica nodig, en jammer genoeg is daar niet veel info over te vinden op het net. Je zult me moeten vertrouwen

Voor de waarnemers volgt dus bij zonsondergang:

\(\cos H_1 = -\tan\varphi\tan\delta\)

\(\cos H_2 = -\tan\varphi\tan\delta - \dfrac{1}{\cos\varphi\cos\delta}\sqrt{1 - \dfrac{d^2}{(d+h)^2}}\)

En hieruit bepaal je de twee uurhoeken, die je moet uitdrukken in uren, minuten en seconden (360° komt overeen met 24 uur). Het tijdsverschil is dan uiteindelijk

\(\Delta t = H_2 - H_1\)

Een concreet voorbeeld:

\(d = 6370\;\text{km}\)

,

\(h = 1\;\text{m}\)

,

\(\varphi = 50^\circ 50'\)

.

Bij de lente- en herstequinox is

\(\delta = 0^\circ\)

. Met deze gegevens vind ik een tijdsverschil van 38 seconden.

Bij de zomerzonnewende is

\(\delta = 23^\circ 26' 21''\)

. Dan wordt het tijdsverschil 49 seconden.

Bij de winterzonnewende is

\(\delta = -23^\circ 26' 21''\)

. Ook dan is het tijdsverschil 49 seconden. Mijn vorige post klopte dus niet helemaal: de hoek die de dagboog van de zon maakt met de horizon is het kleinst in de zomer en de winter, en het grootst in de lente en herfst.

Maar goed, zoals ik daarvoor al opmerkte, al deze berekeningen zijn geïdealiseerd. In de praktijk heb je te maken met de factoren die ik in mijn vorige post heb vermeld.

[Michel Uphoff]

>> Ik ben nog niet helemaal weg met Uphoffs idee dat de plaats op aarde niets zou mogen uitmaken <<

Uphoff zelf dus ook niet, want het klopt niet.

Het is eenvoudig in te zien: Neem een door een puntbron op oneindige afstand verlichte bol. Die bol zal steeds exact voor de helft verlicht zijn. We noemen de overgang licht-donker de terminator. Als ik nu een paar omgekeerde punaises op de bol plak, zover in het donker van de terminator verwijderd dat de puntjes nog nèt verlicht worden, dan is in een oogopslag duidelijk dat het niet uitmaakt op welke breedtegraad de punaise zit; de afstand tot de terminator is voor elke punaise hetzelfde.

M.a.w de afstand in kilometers tot aan de horizon is overal op aarde gelijk (afwijking van de ideale bol buiten beschouwing gelaten). Maar zodra we een rotatieas invoeren geldt dat niet voor de tijdsduur. Op breedtegraden die hoger liggen dan de evenaar is de omtreksnelheid lager dan op de evenaar, ergo om dezelfde afstand af te overbruggen duurt het daar langer.

[jkien]

Het effect dat het tijdstip van zonsondergang afhangt van de hoogte boven zeeniveau wordt ook beschreven in 'Natuurkunde van het vrije veld' van Minnaert, maar met een ander doel, namelijk als methode om met simpele metingen de straal van de aarde te berekenen. Minnaert vermeldt dat deze methode bij de 9 m hoge dijk te Zandvoort resulteerde in een geschatte straal van 6500 km. Een verrassend goed resultaat.

http://www.dbnl.org/...u03_01_0002.php [ § 17, p.31]

[Benm]

@Jan: Ik ga het zeker een keer maken, maar gezien de weersvoorspelling ben ik bang dat het nog wel even gaat duren, er is echt een kraakheldere dag nodig om de lijn tussen in- en uit de zon te zien verplaatsen.

[Miels]

Ik ben nog niet helemaal weg met Uphoffs idee dat de plaats op aarde niets zou mogen uitmaken, en ga even uit van een flat op de evenaar op een dag dat de zon recht boven de evenaar staat.

(...)

De aarde hoeft dus een hoek :alfa: minder te draaien alvorens je de zon ziet t.o.v. plat liggend op een perfect bolvormige aarde.

d= 6378,1 km (wikipedia, equatoriale straal)

h= vul maar in, ook in km

Maar er dient wel een andere d aangehouden te worden, zoals Uphoff ook al constateerde:

M.a.w de afstand in kilometers tot aan de horizon is overal op aarde gelijk (afwijking van de ideale bol buiten beschouwing gelaten). Maar zodra we een rotatieas invoeren geldt dat niet voor de tijdsduur. Op breedtegraden die hoger liggen dan de evenaar is de omtreksnelheid lager dan op de evenaar, ergo om dezelfde afstand af te overbruggen duurt het daar langer.