[wiskunde] Nulpunten derdegraads polynoom

[Biesmansss]

Ik ben bezig met een oefening die handelt over eigenwaarden en eigenvectoren van matrices.

Hiervoor moet ik echter de nulpunten zoeken van een derdegraads polynoom nl.:

-x³ + 12x + 16 = 0

Kent er iemand een regeltje om dit snel en eenvoudig te doen ?

Ik meen mij te herinneren dat dit misschien eenvoudig kan met Horner ?

[Drieske]

Een trucje dat je steeds eens kunt proberen: als je een polynoom hebt die bij de hoogste macht een coefficient heeft met een + of - 1, en als een geheel getal een wortel is van je polynoom, dan is dat geheel getal een deler van de constante term. Hier geeft dat dus...

PS: indien interesse, dat bewijs is echt wel goed te doen.

[In physics I trust]

Horner: probeer met de delers van de constante term in te vullen. Dan zal je zien dat je bijvoorbeeld een nulpunt hebt voor 4.

[Biesmansss]

Mooi trucje, dat geeft hier dan mogelijk (-)2, (-)4, (-)8, (-)16; ik denk dat ik ze allemaal gehad heb.

Dus deze kunnen we dan gaan onderzoeken met Horner, juist ?

Bedankt voor de hulp!

PS: indien interesse, dat bewijs is echt wel goed te doen.

OT: Interesse wel, maar op het moment heb ik jammer genoeg geen tijd om extra's te doen (binnen 3 dagen examen wisk hé).

[Drieske]

Zie post IPIT . Inderdaad dus... Merk overigens op dat 1 nulpunt vinden volstaat. Daarna heb je een tweedegraadsterm en daar kun je makkelijk(er) nulpunten vinden.

En geen probleem hoor. Ik wou het er gewoon bij vermelden .

[In physics I trust]

@ Drieske: nu wil ik het ook weten: volgt toch uit de reststelling voor de Euclidische deling?

[Drieske]

Dat is een optie. Maar je kunt het ook zeer eenvoudig zien door in te vullen: noem z je nulpunt van f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀. Dus a_nzⁿ + ... + a₁z + a₀​ = 0. Nu zou je het al moeten zien .

[In physics I trust]

Okay, dat in eenvoudiger inderdaad. Bedankt!

[Drieske]

Heel veel scheelt het niet, maar ik vond het inderdaad ook iets eenvoudiger. En uiteraard graag gedaan!

[Safe]

Mooi trucje, dat geeft hier dan mogelijk (-)2, (-)4, (-)8, (-)16; ik denk dat ik ze allemaal gehad heb.

En hoe doe je dit nu?

[Drieske]

@Safe: misschien kun je meteen gewoon aangeven wat je niet vlot genoeg vindt aan de reeds voorgestelde weg?

Vraag ivm euclidische deling en hoofdstelling algebra afgesplitst naar hier.

[Biesmansss]

En hoe doe je dit nu?

Enkel door logisch na te denken wat de mogelijke delers kunnen zijn van het gehele getal en dan kijken of 1 van deze delers daadwerkelijk een nulpunt is.

[Safe]

Mooi, en stel je hebt een nulpunt hoe ga je dan verder ... , je hebt immers een concreet probleem.

[Biesmansss]

Als je 1 nulpunt hebt, noem dit nulpunt N, splits je de derdegraads polynoom op met Horner naar:

(x - N)(ax² + bx +c)

En zoek je m.b.v. de tweedegraads vergelijking de overige nulpunten.

[Safe]

Nu ben je niet bezig met je concrete probleem ...

In 't algemeen zal je die N niet eenvoudig vinden.

In dit geval wel,

-x³ + 12x + 16 = 0

Hoe ga je verder?