Aftelbaarheid bewijzen

[abortji]

Hallo allemaal,

Ik ben op dit moment bezig met zelfstudie van het vak logica, waarbij ik nu bij de verzamelingsleer ben. Ik gebruik het boek 'Logica voor Alfa's en Informatici', hier zijn echter geen antwoorden bij geleverd. Ik loop vast op de volgende vragen, misschien dat iemand mij in de richting kan helpen.

1. Laat zien: als A aftelbaar is en B eindig, dan zijn A u B (vereniging) en A - B (verschil) ook aftelbaar.

2. Laat zien: als A en B beide aftelbaar zijn, dan is A u B aftelbaar.

3. Laat zien als A en B aftelbaar zijn, dan is A x B (cartesisch product) aftelbaar.

Ik snap dat er een bijectie tussen N (reeks van natuurlijke getallen) en de te bewijzen verzameling dient te zijn, om te laten zien dat de te bewijzen verzameling aftelbaar is. Qua definities/terminologie is mij wel duidelijk dat dit zo is. Maar hoe bewijs je deze gevallen in concrete zin? Alvast bedankt!

[Drieske]

Je kan die fijectie gewoon letterlijk construeren in vele gevallen. Laten we eens naar de eerste kijken. Stel dat f: A -> N de bijectie is tussen A en N (de natuurlijke getallen). Je zoekt nu een bijectie tussen A u B (A unie B) en N; noem deze g. Stel nu dat B k elementen bevat, dan kan je ze b₁, ..., b_k noemen. Definieer nu g(b_i) = i en g(a) = ... Heb je een idee voor die g(a)? Lukt het verschil?

Voor die tweede: denk eens aan even en oneven getallen.

Ik verplaats ook even naar Wiskunde Algemeen, waar het beter past.

[abortji]

Je kan die fijectie gewoon letterlijk construeren in vele gevallen. Laten we eens naar de eerste kijken. Stel dat f: A -> N de bijectie is tussen A en N (de natuurlijke getallen). Je zoekt nu een bijectie tussen A u B (A unie B) en N; noem deze g. Stel nu dat B k elementen bevat, dan kan je ze b₁, ..., b_k noemen. Definieer nu g(b_i) = i en g(a) = ... Heb je een idee voor die g(a)? Lukt het verschil?

Voor die tweede: denk eens aan even en oneven getallen.

Ik verplaats ook even naar Wiskunde Algemeen, waar het beter past.

Bedankt voor je reactie! Ik dacht zelf aan g(a_i) = a_i, omdat je de elementen van b al met je functie hebt gedekt. Maar mij leek dat niet goed omdat a en b wel eens gemeenschappelijke elementen kan hebben in A en B. Wat je hier doet met het verschil is mij dan dus ook niet duidelijk, omdat je de gemeenschappelijke elementen niet meer mee neemt.

Wat ik voor de 2e in gedachte had is het volgende;

een functie N -> AuB genaamd f;

f(n) = { n is even; A_{(n/2) ,}n is niet even; B_((n+1)/2)}

Hierbij pak je altijd een element uit A of B op basis van hun index gegeven via n. Denk ik in de goede richting? Alvast bedankt!

[tempelier]

Het lijkt me allemaal wat ongelukkig geformuleerd.

Maar je zit wel op de goede weg.

Bekijk het eens zo:

1. Zijn de even getallen aftelbaar? verzameling P

2. Zijn de oneven getallen aftelbaar? verzameling Q

[Drieske]

Ik dacht zelf aan g(a_i) = a_i,

Dat is niet meteen een goed idee... Je gebruikt hier om te beginnen niets van wat je weet over f, wat vrij raar zou zijn. Kun je het aanpassen?

Bij de tweede moet je eens zo denken: koppel A aan de even getallen en B aan de oneven. Jouw idee zit dus, denk ik, wel juist.