(AxB) - (A+B) = priem?

[Daffidj]

Gisteren was ik in mijn hoofd zomaar getallen aan het maken en wanneer ik

(AxB) - (A+B)

Deed, op voorwaarde dat zowel A als B priem waren, kwam ik ongelooflijk vaak opnieuw op een priemgetal uit. (17 en 19 klopte niet bvb)

Weet iemand waarom dit is of op welke algebraïsche regels dit steunt?

[Drieske]

Tja, het werkt "vaak" is ook maar relatief: je hebt getest op kleine getallen, gok ik?. Maar je hebt dus eigenlijk: AB - A - B = P met P priem. Je wilt nu oplossingen zoeken waarbij A en B zelf ook priem zijn. Merk op dat je je vergelijking kunt herschrijven naar: (A - 1)(B - 1) = P+1. Of dat helpt, weet ik nog niet .

[kee]

Bekijk (A-1)(B-1) = P+1 van Drieske.

Samengevat: Getallen die 1 verschillen van een priemgetal (ik bedoel de getallen A-1 en B-1) gaan meestal 'nogal samengesteld' zijn. De vermenigvuldiging van die getallen zal 'nog meer samengesteld' zijn. Een getal dat daar 1 van verschilt (het getal P dus) heeft veel kans priem te zijn, want het is niet deelbaar door alle priemfactoren uit die samenstelling (A-1)(B-1).

Nu, er zijn enkele zwakke en sterke punten van de kans op priemgetal voor P.

1) Sterk punt is dat getallen die 1 verschillen van een priemgetal (ik doel op de getallen A-1 en B-1) meestal 'nogal samengesteld' zijn. Dit kan echter ook wel eens tegenvallen. Ook is het niet voldoende 'nogal samengesteld' te zijn. Belangrijk is vooral dat de getallen uit veel verschillende priemfactoren bestaan. Bijvoorbeeld bij A-1=17-1 is dat absoluut niet het geval, en bovendien is dat getal vrij groot (ten opzichte van enkel priemfactor 2) zodat het ook aanleiding geeft tot een groot getal als vermenigvuldiging, dus dat is een heel slecht getal om te gebruiken. In die zin zijn bijvoorbeeld 2 of 5 ook slechte getallen. Probeer je een van deze met 17 dan loopt het fout.

2) De vermenigvuldiging van de twee samengestelde getallen A-1 en B-1 kan een sterk element zijn, maar niet altijd. Het is een sterk element als de priemfactoren van de twee getallen verschillend zijn (en er veel zijn), dus hiervoor zijn je getallen A en B al best verschillend; wel anders loopt het sowieso (bijna) steeds mis... Echter als voor beide getallen de priemfactoren hoofdzakelijk dezelfde zijn is het niet zo'n succes. Zwak punt is namelijk dat P door de vermenigvuldiging danig toeneemt.

3) Sterk punt is dat P precies 1 verschilt van onze samengestelde vermenigvuldiging (A-1)(B-1). Op die manier kan het met zekerheid niet deelbaar zijn door alle priemfactoren uit die vermenigvuldiging. Bij keuze van kleine getallen heb je vaak de meeste kleine priemfactoren wel uitgesloten zo. En deze zijn het meest relevant in de kans op al dan niet een priemgetal. Voor de grotere priemfactoren is er steeds minder kans dat die nog roet in het eten gooien (en bij kleine getallen is de vemenigvuldiging niet zo groot, dus zijn dat er ook niet zo veel). Daarnaast kan je A en B zelf ook uitsluiten als priemfactoren voor P (gezien A en B verschillend zijn), hoewel dat enkel voor de kleinste van de twee relevant is. Bij keuze van kleine getallen A en/of B speelt dat ook nog redelijk mee.

[Onwetend]

Gisteren was ik in mijn hoofd zomaar getallen aan het maken en wanneer ik

(AxB) - (A+B)

Deed, op voorwaarde dat zowel A als B priem waren, kwam ik ongelooflijk vaak opnieuw op een priemgetal uit. (17 en 19 klopte niet bvb)

Weet iemand waarom dit is of op welke algebraïsche regels dit steunt?

De oorzaak van het door jouw genoemde probleem ligt in de volgende richting:

adhv een voorbeeld A=19 en B=23:

Wanneer je 2 priemgetallen neemt, vermenigvuldigt, en vervolgens allebei de priemgetallen er 1 keer afhaalt,

kom je op een getal uit dat sowieso niet deelbaar kan zijn door:

- de 2 priemgetallen = (19 & 23)

- de 2 (priemgetallen - 1) = (18 & 22)

- de priemfactoren van de (priemgetallen - 1) = (2x3x3 & 2x11)

hiermee heb je bij 17 & 23 al de volgende priemfactoren uitgesloten: 2, 3, 11, 19, en 23

Aangezien je bij grotere getallen gemiddeld steeds meer priemfactoren in een willekeurig getal X hebt, sluit je ook steeds meer priemfactoren uit. Door meer factoren uit te sluiten, wordt de kans op een priemgetal groter.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

uitbreiding:

Ik heb e.e.a. even handmatig nagekeken, en voor zover ik kan nagaan, is het zo dat wanneer de uitkomst geen priemgetal is, de uitkomst dan maar 2 verschillende priemfactoren heeft. waarom dit zo is weet ik niet.

In het begin geldt voor elk van die gevallen geldt, dat de uitkomst X die uit jouw formule volgt, gevormd wordt door 2 getallen die op een gelijke afstand liggen van A+B, ofwel op een gelijke afstand van het gemiddeld van A & B (dus (A+B)/2).

Bij 19 en 23 is dit 42. 19 & 23 geven 395, 79*5 = 395, 79-42=37 & 42-5=37

Bij 17 en 23 is dit 20, 17 & 23 geven 351, 13*27 = 351, 27-20=7 & 20-13=7

Bij 23 en 37 is dit 60, 13 & 37 geven 791, 7*113 = 791, 113-60=53 & 60-7=53

Wanneer je echter bij een som hoger dan 100 komt lijkt dit ineens niet meer te gelden en komt er ineens nog een extra overlap/sprong van 10 bij kijken. Als iemand hier meer duidelijkheid over kan geven zou ik dat erg waarderen want ik vind het best een opmerkelijk vraagstuk

[arnerob]

uitbreiding:

Ik heb e.e.a. even handmatig nagekeken, en voor zover ik kan nagaan, is het zo dat wanneer de uitkomst geen priemgetal is, de uitkomst dan maar 2 verschillende priemfactoren heeft. waarom dit zo is weet ik niet.

2*29-2-29=27=3^3 dat zijn dus drie factoren

[Onwetend]

2*29-2-29=27=3^3 dat zijn dus drie factoren

ja lekker bijdehand. ik bedoel natuurlijk 2 verschillende factoren. ik dacht dat dat in het voorbeeld ook wel duidelijk was. Maar toegegeven het stukje waar ik het nader had toegelicht en expliciet benoemde heb ik later weggehaald, dus misschien komt daar de verwarring vandaan. maar je had het al kunnen zien aan het voorbeeld, want daar gebruik ik ook 27

ik bedoelde maar aan te geven dat 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 19 wel kan, en 3 x 7 x 19 niet.

althans daar lijkt het dus op als ik het handmatig naga.

weet jij hier misschien de logica achter?

[EvilBro]

\(3 \cdot 7 \cdot 19 = (A-1) \cdot (B-1) - 1\)

\(399 = (A-1) \cdot (B-1) -1\)

\(400 = (A-1) \cdot (B-1) \)

\(10 \cdot 40 = (A-1) \cdot (B-1) \)

\((11 - 1) \cdot (41 - 1) = (A-1) \cdot (B-1) \)

Ofwel A=11 en B=41...

Je doet me een beetje denken aan de persoon die denkt ontdekt te hebben dat alle oneven getallen priemgetallen zijn. Die kijkt enkel naar 3,5 en 7 en doet dan de algemene uitspraak dat alle oneven getallen priemgetallen zijn. Nu kijk jij wel net iets verder, maar niet zo heel veel verder. Het zou, gezien je resultaten, zo langzamerhand toch moeten dagen dat deze methode niet effectief is. Ga aub naar de boekhandel en koop daar een basisboek over getaltheorie. Op die manier kun je je enthousiasme een betere basis geven en daar schiet je meer mee op dan het gokken wat je nu doet...

[Onwetend]

Het zou, gezien je resultaten, zo langzamerhand toch moeten dagen dat deze methode niet effectief is.

Ik snap niet zogoed waar dit nou vandaan komt... dit was mn eerste post over dit onderwerp. Bovendien was m'n antwoord op de gestelde vraag volgens mij vrij duidelijk en overzichteiljk, en geeft het op een logische wijze aan waarom e.e.a. zo is.

Ga aub naar de boekhandel en koop daar een basisboek over getaltheorie. Op die manier kun je je enthousiasme een betere basis geven en daar schiet je meer mee op dan het gokken wat je nu doet...

we kunnen wel met modder gaan gooien maar daar heeft niemand iets aan. Ik neem aan dat je het hebt over mijn vele vragen mbt priemgetallen. het lijkt mij vrij logisch dat als je opzoek bent naar ritmen achter priemgetallen, dat je dan opzoek bent naar dingen die nog niet bekend zijn. als ik daarop denk te stuiten en er niet gelijk de logica achter zie, post ik het inderdaad wel eens hier op het forum, soms leid het ertoe dat e.e.a. onzin blijkt, soms leidt het ertoe dat er inderdaad iets valt te specificieren wat nog niet echt bekend was, of althans nergens te vinden was.

Deze keer blijkt (zoals 80% vd keren uit een tegenvoorbeeld) dat e.e.a. inderdaad niet waar is. dat is dan ook prima, net zozeer als wanneer zou blijken dat het wel waar is.

MIsschien zou ik veel minder vragen stellen wanneer wat vaker werd aangetoond waarom iets wel of niet kan, en niet alleen een tegenvoorbeeld wordt gegeven, hoewel ik daar natuurlijk ook zeker wel wat aan heb. Dit is geen verwijt, maar kom mij ook niet verwjiten dat het onzinnig is wat ik doe, want volgens mij kom ik hier vaak genoeg met zaken die voor anderen ook niet duidelijk zijn. zie bijvoorbeeld het antwoord op dit topic.

[EvilBro]

Bekijk de 5 regels die ik geschreven heb om een tegenvoorbeeld te genereren. Acht je dit werkelijk dusdanig complexe wiskunde dat je hier niet zelf op had kunnen komen in plaats van meteen een vermoeden op dit forum te poneren?

[eendavid]

Evilbro geeft in feite een vrij goede (algemene) raad. Zomaar wat hypotheses gokken kan dan misschien wel leuk zijn, het zal je niet veel resultaat opleveren. Je komt veel verder wanneer je eerst begrijpt wat al gekend is, en daarop verder redeneert.

Het staat iedereen vrij om met zo'n raad te doen wat hij wil. Er een discussie over aangaan is waarschijnlijk wel de slechtste optie.

[Onwetend]

Bekijk de 5 regels die ik geschreven heb om een tegenvoorbeeld te genereren. Acht je dit werkelijk dusdanig complexe wiskunde dat je hier niet zelf op had kunnen komen in plaats van meteen een vermoeden op dit forum te poneren?

Volgens/Voor mij zit de moeilijkheid nu eenmaal niet in de complexiteit van de wiskunde, maar in de enorme hoeveelheid verschillende benaderingen die je kan toepassen om het probleem te bevatten. Door die enorme hoeveelheid problemen / benaderingen is er zo nu en dan wel eens 1 waar ik op een of andere manier overheen kijk. Dat is ongetwijfeld mijn eigen gebrek, desalniettemin is de indruk die je hebt/wekt dat ik me nog nooit echt met de basisstof heb beziggehouden totaal onjuist. Ik lees er zeer veel over en denk dat dat ook juist de reden is dat sommige simpelere dingen me soms ontschieten.

Evilbro geeft in feite een vrij goede (algemene) raad. Zomaar wat hypotheses gokken kan dan misschien wel leuk zijn, het zal je niet veel resultaat opleveren.

Volgens mij beginnen de meeste inzichten uiteindelijk toch bij een vermoeden, dat vervolgens wordt onderzocht. Ik gok geen hypotheses, maar leidt ze af uit waarnemingen. De waarneming wat inderdaad wat gebrekkig, dat heb ik er ook direct bij vermeld. maar omdat dat niet per definitie zegt dat het waargenome niet waar is, en ik zelf niet kon beredeneren waarom wel of niet, leek het me handig het hier op het forum te vragen. overigens met het gewenste resultaat, dus dank daarvoor, hoewel ik de dwaadwerkelijk reden ervan nog niet helemaal begrijp.

Het staat iedereen vrij om met zo'n raad te doen wat hij wil. Er een discussie over aangaan is waarschijnlijk wel de slechtste optie.

Het was ook niet mijn bedoeling om een discussie aan te gaan, maar wel om uit te leggen hoe ik erin sta en waar de door hem 'vermeende onkunde' vandaan komt.

[kee]

Onwetend, wat betreft je vraag in 'uitbreiding': ik verwacht dat dit door alles eens op een formele manier uit te schrijven zoals Drieske in de tweede post in het topic begonnen was, daar op een vrij eenvoudige manier (enkel basisbewerkingen van rekenen) klaarheid in te scheppen moet zijn. Ik heb het zelf nog niet gedaan en zou het vanavond eventueel eens doen, maar misschien is het leerrijk om het zelf te proberen?

------

Zijsprong: de discussie hier vind ik wel interessant, en ik kan het niet laten mijn persoonlijke mening erin te geven:

Onwetend, in de wiskunde komen de verschillende benaderingen waar je het over hebt inderdaad vaak steeds op hetzelfde neer. Dat die benaderingen/hypothesen niet altijd exact op die manier in de literatuur te vinden zijn, komt omdat ze niets extra bijdragen aan de kennis die wel al beschreven is of doordat ze eigenlijk 'vrij triviaal' uit de bestaande kennis af te leiden zijn, en omdat er duidelijk onbeperkt veel van zulke dingen te bedenken zijn door het weer net iets anders te combineren/formuleren. Bedenk ook dat de huidige stellingen/hypothesen in de wiskundeboeken een heel lange geschiedenis achter zich hebben en de ontwikkeling zijn van het denken van miljoenen mensen. Voor iedere stelling/hypothese die er nu is, zijn er in de geschiedenis duizenden hypothesen bedacht, geformuleerd en bewezen die je nu niet meer gaat vinden in wiskundeboeken maar die uiteindelijk allemaal op die ene of enkele hypothesen neerkomen / erin vervat zitten. Hoewel je natuurlijk nog steeds wiskundeboeken op verschillende niveau's hebt (waarbij de hele theorie achter een elementair wiskundeboek in een gevorderder wiskundeboek misschien gewoon een triviaal gevolg van een meer gevorderde stelling is).

Het is bij wiskundigen van elk niveau mogelijk dat een stelling die op het eerste gezicht een nieuw inzicht lijkt of moeilijk te bewijzen is toch vrij triviaal uit de reeds gekende kennis af te leiden is. Het valt te verwachten dat naarmate de ervaring met het onderwerp op een bepaald niveau toeneemt en het inzicht groeit, dit steeds minder zal voorkomen voor dat onderwerp op dat niveau. Het is dus goed wat 'Onwetend' doet om het inzicht te laten groeien.

Conflicten ontstaan denk ik door een verschil in niveau wat kennis/ervaring betreft. Waar het voor de ene persoon onmiddellijk duidelijk is dat een bepaalde hypothese of een aanpak fout is of op niets uitdraait of niets extra's toevoegd aan bestaande kennis, is dit voor de andere persoon op een minder gevorderd niveau helemaal niet duidelijk. En zo ontstaan bij beide personen frustraties wanneer ze in dialoog gaan. De wiskundige die wat betreft het onderwerp op een minder gevorderd niveau denkt is gefrustreerd omdat de andere persoon niet of op een onduidelijke manier ingaat op de vragen, terwijl de gevorderde wiskundige gefrustreerd is omdat de vragen waar de andere persoon mee komt voor hem duidelijk naast de kwestie, foute ideeën of triviale gevolgen zijn van de bestaande kennis en hij op een meer gevorderd niveau tijd en moeite wil stoppen in het onderwerp. Tussen twee personen met een verschillend niveau wat betreft het onderwerp zijn er minder conflicten als het een situatie betreft waarbij het duidelijk is dat de ene persoon wil bijleren en de andere persoon daarbij helpt door hints (op aangepast niveau) te geven, dan wanneer het een onderwerp betreft waarbij beide personen willen bijleren, maar dat op een ander niveau willen doen.

De raad van EvilBro is denk ik ook op zijn plaats, omdat als je wil vooruitkomen dit niet altijd lukt door dezelfde dingen nog eens op een andere manier te bekijken, maar het eerder aangewezen is de kennis uit te breiden en het niveau te verhogen met meer gevorderde wiskundeboeken. Natuurlijk in de geschiedenis is alle wiskunde wel een keer uit de vorige kennis bedacht moeten worden, maar het is niet mogelijk om in één leven het denkwerk van miljoenen mensen gedurende heel hun leven over te doen.

[tempelier]

Ik heb er eens over nagedacht, lijkt me geen probleem voor beginners.

Het is al gelijk lastig het ""wat gevonden lijkt"" wiskundig vast te leggen,.

Want wat is verrassend veel, waar tegen moet het dan gewogen worden en hoe?

Het meest voor de hand liggende is om in je generende formule ook series met niet priemen te bekijken en dan de dichtheid van de gevonden priemen te vergelijken.

(bijv. De ene priem en de ander het product van twee priemen, wel alle drie verschillend natuurlijk)

Die dichtheden zaak dat is echter iets wat nogal specialistisch is, waar studie voor nodig is.

Wat wel mogelijk is er wat computer uren tegen aan te gooien en een programma als Maple een fors aantal van die series te laten doorlopen.

Zijn er dan geen grote verschillen dan is je gedachte zeker toeval en in het andere geval ben je weer bij af en kun je het beste de raad van Elvilbro opvolgen.

[Marko]

Misschien zou ik veel minder vragen stellen wanneer wat vaker werd aangetoond waarom iets wel of niet kan, en niet alleen een tegenvoorbeeld wordt gegeven, hoewel ik daar natuurlijk ook zeker wel wat aan heb.

Je zou ook wat minder vragen stellen als je EvilBro's raad zou opvolgen en je meer zou verdiepen in getaltheorie. Een boek lezen, en leren wat er tot nu toe allemaal al gedaan is. En dan, met die nieuw verworven kennis, eens kijken wat je zelf nog kunt toevoegen.

Want waar het nu op neer komt is dat je wat stellingen plaatst over verbanden die je meent gevonden te hebben, op basis van een zeer beperkt aantal voorbeelden. En vervolgens verwacht je dan van een ander dat hij aan jou gaat aantonen waarom jouw stelling niet klopt.

Dat is de omgekeerde wereld, en zo werkt het niet op dit forum.

[Marko]

Maar goed, om terug te komen op je verwondering:

Als iemand hier meer duidelijkheid over kan geven zou ik dat erg waarderen want ik vind het best een opmerkelijk vraagstuk

Je hebt 2 priemgetallen p en q, en het gemiddelde m. We kunnen p en q dus ook schrijven als m+a en m-a

Het getal x dat je onderzoekt is gelijk aan pq-(p+q), oftewel (m+a)(m-a)-2m. Je hebt gevonden dat er een verband is tussen de delers van x en het gemiddelde m. Als je dat verband nu algebraïsch uitdrukt, kun je wat termen herschikken en ontdekken wat er aan de hand is (met andere woorden: je kunt een vergelijking opstellen die de delers uitdrukt als een functie waarin enkel m en a voorkomen).