norm operator

[foemph]

Hey,

Ik wil de norm bepalen van de lineaire functionaal T gedefinieerd op C([-1,1]) weergegeven in het bijgevoegde document.

Ik heb al gevonden dat de norm van T kleiner of gelijk aan 2 is.

Voor de andere ongelijkheid heb ik geprobeert om een aantal functies in te vullen maar ik kom enkel nog maar uit dat de norm van T groter of gelijk aan 1 is. Dus misschien heb ik ergens een fout gemaakt.

Zou iemand me kunnen helpen?

Alvast bedankt!

\(T(f) = \int_{-1}^0 f(t) dt - \int_0^1 f(t) dt\)

[dirkwb]

Misschien is het handig je opgave in Latex neer te zetten en te laten zien hoe je aan die 2 komt, want dat snap ik niet.

[Drieske]

Kijk eens naar volgende functie:

\(f(t) = \begin{cases}1 & \mbox{ als } t \leq 0 \\ -1 & \mbox{ als } t > 0\end{cases}\)

. Voor deze functie krijg je:

\(T(f) = \int_{-1}^0 1 dt - \int_0^1 (-1) dt = (0 - (-1)) - ((-1) - 0) = 1 + 1 = 2\)

. Maar er is een probleem. Welk probleem?

[foemph]

Kijk eens naar volgende functie:

\(f(t) = \begin{cases}1 & \mbox{ als } t \leq 0 \\ -1 & \mbox{ als } t > 0\end{cases}\)

. Voor deze functie krijg je:

\(T(f) = \int_{-1}^0 1 dt - \int_0^1 (-1) dt = (0 - (-1)) - ((-1) - 0) = 1 + 1 = 2\)

. Maar er is een probleem. Welk probleem?

Is het probleem niet dat deze functie niet continu is?

[foemph]

\(Bepaal de norm van de lineaire functionaal T gedefineerd op C[-1,1] gegeven door $T(f)=\int^{0}_{-1}f(t)dt-\int^{1}_{0}f(t) dt$ \\

Mijn uitwerking is als volgt: \\

$||T||\leq sup\left\{|T(f)| \ met\ ||f||\leq 1 \right\}=\left\{|\int^{0}_{-1}f(t)dt-\int^{1}_{0}f(t) dt| \ met \ ||f||\leq 1\right\}\leq \left\{\int^{0}_{-1}|f(t)|dt+\int^{1}_{0}|f(t)| dt \ met \ ||f||\leq 1\right\}\leq\left\{\int^{0}_{-1}||f(t)||dt+\int^{1}_{0}||f(t)|| dt \ met \ ||f||\leq 1\right\}\leq \\ 2 $ \\\)

[Drieske]

Is het probleem niet dat deze functie niet continu is?

Klopt. Dus wil je nu deze functie zo goed mogelijk benaderen met een continue functie. Het idee is dus dat je tussen -e en e (met e voor epsilon en dus willekeurig klein) een rechte legt die jouw twee stukken met elkaar verbindt. Zie je dit idee en hoe dit helpt?

[foemph]

Klopt. Dus wil je nu deze functie zo goed mogelijk benaderen met een continue functie. Het idee is dus dat je tussen -e en e (met e voor epsilon en dus willekeurig klein) een rechte legt die jouw twee stukken met elkaar verbindt. Zie je dit idee en hoe dit helpt?

Ik begrijp wat je wil doen, denk ik. Maar ik weet niet hoe ik dit formeel moet neer schrijven.

[Drieske]

Probeer het eens? Je wilt dus een rechte (iets van de vorm ax + b dus) trekken op het interval [-e, e] die in -e de waarde ... aanneemt en in e de waarde ... Met deze twee gegevens kun je heel rap je a en b vinden.

Het idee is dus een soort van epsilon-argument te gebruiken om te tonen dat je 2 willekeurig dicht kunt benaderen.

[foemph]

Probeer het eens? Je wilt dus een rechte (iets van de vorm ax + b dus) trekken op het interval [-e, e] die in -e de waarde ... aanneemt en in e de waarde ... Met deze twee gegevens kun je heel rap je a en b vinden.

Het idee is dus een soort van epsilon-argument te gebruiken om te tonen dat je 2 willekeurig dicht kunt benaderen.

Als ik het goed begrijp wil je het volgende:

a*(-e)+b=1

a*(e)+b=-1

Dan hebben we dat 2*b=0 => b=0

2*a*e=-2 => a=-1/e

[Drieske]

Klopt. Nu het gehele voorschrift... Klik eventueel op mijn LaTeX-code van eerder. Dan kan je die kopiëren en aanpassen . Eens je dat voorschrift hebt, is het tellen en kijken of dit werkt. Zonee, kijken wat er nog niet helemaal werkt .

[foemph]

Klopt. Nu het gehele voorschrift... Klik eventueel op mijn LaTeX-code van eerder. Dan kan je die kopiëren en aanpassen . Eens je dat voorschrift hebt, is het tellen en kijken of dit werkt. Zonee, kijken wat er nog niet helemaal werkt .

\(f(t) = \begin{cases}1 & \mbox{ als } t < -e \\ -1/e*x & \mbox{ als } -e\leq t \leq e \\ -1 & \mbox{ als } t > e\end{cases}\)

.

Maar dan krijg ik als norm 2-e

[Drieske]

Dus voor willekeurige e vind je een functie die norm 2-e (ik heb niet nageteld maar het ligt binnen mijn verwachtingen) geeft. Je weet nu dat de norm van je operator niet groter dan 2 kan zijn, maar daar het het supremum is, moet het groter zijn dan 2-e. Dus?

[foemph]

Dus voor willekeurige e vind je een functie die norm 2-e (ik heb niet nageteld maar het ligt binnen mijn verwachtingen) geeft. Je weet nu dat de norm van je operator niet groter dan 2 kan zijn, maar daar het het supremum is, moet het groter zijn dan 2-e. Dus?

||T||>=2-e

Kan ik dan eigenlijk niet gewoon de limiet nemen van e gaande naar nul of mag dit niet? Want dan is samen met de gelijkheid die ik al kon aantonen ||T||=2.

[Drieske]

Het idee is (uiteraard) een soort van "e naar 0"-argument toe te passen. Dat wou ik je ook proberen uit te leggen hierboven... Alleen moet je dat alles wel deftig opschrijven .

[foemph]

Ja als je met een e begint te werken is dat een logische stap. Je moet idd alles deftig kunnen verantwoorden en opschrijven . Heel erg bedankt voor je hulp