\(||T(f)||=| \int_{-1}^1 t f(t) dt|\leq \int_{-1}^1 |t f(t)| dt\leq \int_{-1}^1 |t| ||f|| dt=- \int_{-1}^0 t ||f|| dt+\int_{0}^1 t ||f|| = ||f|| \)
Voor de andere kant neem ik de volgende functie:
\(f(t) = \begin{cases}-1 & \mbox{ als } t \leq 0 \\ 1 & \mbox{ als } t > 0\end{cases}\)
.
Dan kom ik norm groter of gelijk aan 1 uit maar deze functie is niet continu.
Dus je neemt een e>0 en we willen een rechte die in -e de waarde -1 geeft en in e de waarde 1.
-ae+b=-1
ae+b=1
Hieruit volgt dat b=0 en a=1/e.
Als ik dan de functie verander door deze rechte toe te voegen en de integraal uit reken krijg ik norm groter als 1-e/3. En dan kunnen we weer de limiet nemen.
. Dat is overigens een zeer vaak gedaan iets: je kijkt naar wat je stukken apart maximaal maakt, hierbij continuïteit negerend en "verbindt" vervolgens op een zeer klein stukje deze delen met elkaar.