bewijs geheel getal

[Drieske]

\( k_{1,2}=3\quad , \quad k_{3,4} = -3\pm \sqrt{5} \)

Euhm, welke oplossing is positief, denk jij, naast 3?

\(-3\pm \sqrt{5} \)

is steeds negatief... Maar het is zeker niet erg elegant.

[tempelier]

Euhm, welke oplossing is positief, denk jij?

\(-3\pm \sqrt{5} \)

is steeds negatief... Maar het is zeker niet erg elegant.

Ik heb een stomme fout gemaakt er moets staan:

\(-3\pm 2\sqrt{5} \)

Ik zag het te laat, toen ik het verbeterd had had je al gereageerd.

Duizend maal sorry.

[Drieske]

Duizend maal sorry.

Moet niet hoor . (Typ)Fouten gebeuren. Maar je kunt daarmee wel elimineren:

\(-3 + 2 \sqrt{5} < -\sqrt{5} + 2 \sqrt{5} = \sqrt{5}\)

en dus valt die optie af.

[tempelier]

Inderdaad en je mag aannemen dat k niet negatief kan zijn.

Dan is het bewijs er denk ik.

[EvilBro]

Waarom is dat zo "natuurlijk"?

Omdat dat de vraag is.

Men vraagt: bewijs dat deze uitdrukking een geheel getal is. Uitgaan dat het geheel is, is dan wel meer dan de helft overslaan.

Ik ga ervan uit dat dat getal bestaat. Dan zijn er twee mogelijkheden: je vindt die k of je vindt dat die k niet bestaat. In beide gevallen heb je de vraag beantwoord. Je slaat helemaal niks over met deze methode.

[Bartjes]

Bewijs dat onderstaand getal een geheel getal is.

\( \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)

Ik zie niet hoe dat moet, kan iemand me op weg helpen?

Strikt genomen wordt hier niet naar de uitkomst gevraagd, maar alleen naar een bewijs dat die uitkomst een geheel getal is.

[EvilBro]

Strikt genomen wordt hier niet naar de uitkomst gevraagd, maar alleen naar een bewijs dat die uitkomst een geheel getal is.

Het vinden van het gehele getal implicieert dat het een geheel getal is.

[Bartjes]

Het vinden van het gehele getal implicieert dat het een geheel getal is.

Alleen als er niet bij voorbaat vanuit wordt gegaan dat het een geheel getal is.

[Marko]

Lijkt me niets mis mee om een bewijsvoering te beginnen met "stel dat... , dan geldt" enzovoort, en te zien of een en ander wel of niet met zichzelf in tegenspraak is.

Als \(\sqrt {14-6\sqrt5}+\sqrt5\) een geheel getal is, dan is \(\sqrt {14-6\sqrt5}\) te schrijven als \(k-\sqrt 5\), met k een geheel getal.

De rest volgt dan vanzelf.

[EvilBro]

Dat is onzin (edit: dit slaat op Bartjes post). De veronderstelling dat het een geheel getal is leidt tot een van twee mogelijkheden: je vindt het gehele getal (zoals in dit geval) of je vindt dat dat getal niet bestaat. Beide antwoorden impliceren een antwoord op de oorspronkelijke vraag. Wat is er volgens jou fout? (Ik denk dat jij de mogelijkheid van het niet bestaan over het hoofd ziet.)

[Bartjes]

Samenvattend:

\( k = \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)

\( k = \sqrt{3^2 - 2 . 3 . \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2} + \sqrt{5} \)

\( k = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{5} \)

\( k = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \)

(omdat

\( 3 > \sqrt{5} \)

)

\( k = 3 \)

.

De discussie over het wel of niet correct zijn van EvilBro's bewijsmethode kan - volgens mij - beter afgesplitst worden omdat dat in wezen een logische kwestie is.

[Safe]

Bewijs dat onderstaand getal een geheel getal is.

\( \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)

Ik zie niet hoe dat moet, kan iemand me op weg helpen?

Er had moeten staan: "Bepaal algebraïsch dat ..."

[tempelier]

Samenvattend:

\( k = \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)

\( k = \sqrt{3^2 - 2 . 3 . \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2} + \sqrt{5} \)

\( k = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{5} \)

\( k = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} \)

(omdat

\( 3 > \sqrt{5} \)

)

\( k = 3 \)

.

De discussie over het wel of niet correct zijn van EvilBro's bewijsmethode kan - volgens mij - beter afgesplitst worden omdat dat in wezen een logische kwestie is.

Dat is gewoon een (overbodig) ingewikkelde variant die ik al veel eerder heb gegeven.

Er had moeten staan: "Bepaal algebraïsch dat ..."

De vorm is al algebraisch dus dan is men snel klaar.

[Bartjes]

Dat is gewoon een (overbodig) ingewikkelde variant die ik al veel eerder heb gegeven.

Er staat ook boven: "Samenvattend". Het voordeel is wel dat ik geen extra formule nodig heb, en dat de uitkomst zo op een elementaire wijze in een klein aantal stappen gevonden wordt.

[tempelier]

Er staat ook boven: "Samenvattend". Het voordeel is wel dat ik geen extra formule nodig heb, en dat de uitkomst zo op een elementaire wijze in een klein aantal stappen gevonden wordt.

Dat voor deel is er niet, want je kunt die stappen alleen doen als je weet waar je wilt uitkomen.

Dus kan je het net zo goed rechtstreeks doen is sneller (in dit geval kon ik het uit het hoofd) en geeft minder aanleiding tot rekenfouten.