Bewijsvoering met aanname - correctheid

[Bartjes]

Mij is niet duidelijk op welk punt van de redenering de volgende redenering logisch niet in orde is:

Ik neem aan dat k een geheel getal is; op basis van die aanname doe ik een aantal stappen die alleen geldig zijn wanneer k een geheel getal is. Uiteindelijk vind ik als antwoord k=3 (ik noem maar wat). 3 is een geheel getal. Conclusie: de aanname was gerechtvaardigd, de stappen waren geldig, het antwoord is juist.

De redeneervorm die je hier voorstelt loopt aldus:

Stel:

\( P \)

.

Bewijs:

\( P \Rightarrow Q \)

Bewijs:

\( Q \Rightarrow P \)

Concludeer dat

\( P \)

dus waar is.

Mee eens?

[tempelier]

Dank je de koekoek, maar je gaat niet in op de redenering die ik opschrijf. Je komt met een onzinnig voorbeeld (namelijk, een voorbeeld waarin het antwoord letterlijk hetzelfde is als de aanname) en concludeert daarvan dat het onzinnig is. Fijn, maar daarmee komen we niet verder. Ga nou eens in op de redenering die er staat.

Wat ik bedoel is dat je met een aanname via een cirkel redenering altijd weer op een bevestiging er van kunt uitkomen.

Ik heb daar opzettelijk een heel doorzichtig voorbeeld van laten zien.

Zoals Bartjes al schreef dat een voorbeeld belachelijk eenvoudig is maakt het nog niet tot een slecht voorbeeld.

[Marko]

Heb je mijn bericht/edit gezien? Overtuigt dit je niet?

Niet helemaal:

Edit: misschien overtuigt dit je. Er zijn veel bewijzen die beginnen met "Stel dat de Riemann-hypothese geldt" en dan iets afleiden. Alles klopt perfect. Maar het zegt niets over de correctheid van de Riemann-hypothese.

Dat klopt, maar het voorbeeld dat de aanleiding was voor deze discussie was van andere aard. Wat je hier aanhaalt zijn bewijzen die geldig zijn onder de aanname (en voorwaarde) dat de Riemann-hypothese geldig is. Hetgeen bewezen moet worden is daarin niet de Riemann-hypothese.

Alles klopt hier, buiten het vetgedrukte. Je aanname is niet gerechtvaardigd (toch niet als je daarmee bedoelt dat je aanname correct was en dus alles bewezen is).

Nee, dat bedoel ik niet. Wat ik bedoel is dat de aanname onder welke de conclusie is getrokken volledig in overeenstemming is met datgene wat geconcludeerd wordt. Kijk, dat een tegenstrijdigheid onomstotelijk betekent dat de aanname onjuist is, daarover bestaat bij mij geen twijfel. Ik weet dat veel bewijzen zo zijn opgebouwd en vind die stiekem ook altijd slim gevonden.

Maar ik loop vast op de stelling dat het omgekeerde niet zou gelden.

Zoals tempelier reeds eerder zei: een bewijs dat begint met "stel dat..." impliceert meteen dat je een tegenspraak zoekt. Vind je deze niet, is je bewijs ledig .

Wat ik graag wil weten is waarom het bewijs ledig zou zijn...

edit. tijdens het typen van dit gebeuren verscheen een kort maar krachtige reactie van Bartjes. Die moet ik even laten inwerken.

[ZVdP]

Een voorbeeld waar het kan mislopen vind je bij sommaties.

Bijvoorbeeld:

\(\sum_{n=0}^\infty 2^n\)

Stel dat deze som convergeert, dan mag ik volgende bewerkingen doen:

\(k=\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+4+8+...\)

\(k=1+2(1+2+4+8+...)\)

\(k=1+2k\)

\(k=-1\)

En ik vind inderdaad dat k een reëel getal is.

Verborgen inhoud

Alhoewel er wel aangepaste noties van sommen zijn (bv Ramanujan sum), waarbinnen zulke uitkomsten wel degelijk normaal zijn, zoals 1+2+3+4+...=-1/12, of 1+2+4+8+ …=-1

[Bartjes]

Een voorbeeld waar het kan mislopen vind je bij sommaties.

Bijvoorbeeld:

\(\sum_{n=0}^\infty 2^n\)

Stel dat deze som convergeert, dan mag ik volgende bewerkingen doen:

\(k=\sum_{n=0}^\infty 2^n=1+2+4+8+...\)

\(k=1+2(1+2+4+8+...)\)

\(k=1+2k\)

\(k=-1\)

En ik vind inderdaad dat k een reëel getal is.

Verborgen inhoud

Alhoewel er wel aangepaste noties van sommen zijn (bv Ramanujan sum), waarbinnen zulke uitkomsten wel degelijk normaal zijn, zoals 1+2+3+4+...=-1/12, of 1+2+4+8+ …=-1

Een mooi voorbeeld! Daarbij zou je dan als uitspraak P hebben:

\(\sum_{n=0}^\infty 2^n\)

is convergent,

en als uitspraak Q:

\(\sum_{n=0}^\infty 2^n \, = -1 \)

.

[Marko]

Mooi voorbeeld!

Ik ben overtuigd.

[EvilBro]

Dit is allemaal leuk en aardig, en kennelijk nuttig voor sommige mensen, maar dit heeft niks te maken met hetgeen in het topic waar dit van afgesplitst is gebeurde. In dit topic gaat het in feite om een cirkelredenering. Dat is natuurlijk geen valide manier van redeneren. In het oorspronkelijke topic was er echter geen sprake van een cirkelredenering en dus heeft dit topic, hoe waar de inhoud dat ook is, geen enkele invloed op de juistheid van het andere topic.

[Drieske]

maar dit heeft niks te maken met hetgeen in het topic waar dit van afgesplitst is gebeurde.

Hoe graag je ook anders wilt beweren: dit heeft er alles mee te maken. Het voorbeeld van ZvdP toont dat perfect aan. Jij maakt dezelfde veronderstelling dat het een geheel getal is en toont dan aan dat die waarde 3 is. Allemaal mooi en wel, maar dat zegt niets over de aanname dat het een geheel getal is. Die kan nog steeds foutief zijn.

geen enkele invloed op de juistheid van het andere topic.

Het is dus van alle invloed.

[Bartjes]

De enige manier waarop de bewijsmethode van EvilBro misschien nog gered zou kunnen worden is dat EvilBro aanvullende voorwaarden geeft waaronder die methode dan wel geldig zou zijn, en dat ook onderbouwt. Misschien dat er dan nog iets zinnigs uit te bakken valt.

Tegenvoorbeelden voor een bepaalde redeneervorm zijn overigens per definitie naar de inhoud verschillend van die bekritiseerde redeneervorm. Zolang ze naar de logische vorm maar overeenkomen met die redeneervorm zijn ze van toepassing.

[EvilBro]

Het voorbeeld van ZvdP toont dat perfect aan.

Nee. Het voorbeeld van ZvdP is niet eens een cirkelredenatie en is dus zelfs geen goed voorbeeld voor dit topic.

Jij maakt dezelfde veronderstelling dat het een geheel getal is

Nee. Ik veronderstel op zoek te zijn naar een geheel getal (zoals in de vraag stond). Ik noem het ding dat ik zoek k. Ik veronderstel niet dat k een geheel getal is. Zoals ik al diverse malen had aangegeven sluit ik de mogelijkheid dat k niet een geheel getal is NIET uit. Het kan zijn dat ik dit niet duidelijk communiceer, maar er is niks mis met:

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = k\)

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = k - \sqrt{5}\)

\(14 - 6 \sqrt{5} = (k-\sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)

\(9 - 6 \sqrt{5} = (k-\sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(k=3\)

Tegenvoorbeelden voor een bepaalde redeneervorm zijn overigens per definitie naar de inhoud verschillend van die bekritiseerde redeneervorm. Zolang ze naar de logische vorm maar overeenkomen met die redeneervorm zijn ze van toepassing.

Wederom waar, maar dat zijn ze dus niet en dat is dus het probleem. Geef a.u.b. aan waar de cirkelredenering in mijn bewijs zit.

[tempelier]

Nee. Het voorbeeld van ZvdP is niet eens een cirkelredenatie en is dus zelfs geen goed voorbeeld voor dit topic.

Nee. Ik veronderstel op zoek te zijn naar een geheel getal (zoals in de vraag stond). Ik noem het ding dat ik zoek k. Ik veronderstel niet dat k een geheel getal is. Zoals ik al diverse malen had aangegeven sluit ik de mogelijkheid dat k niet een geheel getal is NIET uit. Het kan zijn dat ik dit niet duidelijk communiceer, maar er is niks mis met:

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = k\)

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = k - \sqrt{5}\)

\(14 - 6 \sqrt{5} = (k-\sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)

\(9 - 6 \sqrt{5} = (k-\sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(k=3\)

Wederom waar, maar dat zijn ze dus niet en dat is dus het probleem. Geef a.u.b. aan waar de cirkelredenering in mijn bewijs zit.

Ik denk dat je in het begin iets anders had moeten stellen wat direkt duidelijk was geweest.

Namelijk dat die (reeële) k bestaat en niet negatief kan zijn.

Dat is nml. gemakkelijk uit de vorm te halen.

Dat k geheel is komt dan later wel.

PS. In de derde vorm van onderen ben je vergeten de middelste vorm te skippen.

[ZVdP]

\(14 - 6 \sqrt{5} = (k-\sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)

\(3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(k=3\)

Daar is inderdaad niets mis mee. Enkel bij de laatste stap heb ik nog een bedenking.

Je kan inderdaad op zicht zien dat k=3 een oplossing is, maar hoe weet je dat dit de oplossing is van de oorsrponkelijke vergelijking?

Door te kwadrateren heb je een extra oplossing toegevoegd, namelijk k=

\(2\sqrt{5}-3\)

Hoe kan jij zonder die tweede wortel te berekenen dat die k=3 de echte oplossing is?

[tempelier]

Door even te proberen ziet men snel dat alleen k=3 voldoet.

[ZVdP]

Hoe bedoel je precies?

[tempelier]

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = k = -3+2\sqrt{5}\)

[/b]

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} - \sqrt{5}= -3\)

[/b]

Dit laatste kan echter niet, dus is deze k ingevoerd.