Bewijsvoering met aanname - correctheid

[Bartjes]

Inderdaad kan het hierboven gepresenteerde bewijs van EvilBro gerepareerd worden wanneer er nog (bijvoorbeeld met ongelijkheden) wordt aangetoond dat de andere oplossing niet juist kan zijn.

De rest van de verwarring over bewijsmethoden berust dan waarschijnlijk op miscommunicatie.

[ZVdP]

Dit laatste kan echter niet, dus is deze k ingevoerd.

Ok, maar dat is dus niet zonder de tweede oplossing te berekenen en na te gaan, zoals ik gevraagd had.

[tempelier]

Ok, maar dat is dus niet zonder de tweede oplossing te berekenen en na te gaan, zoals ik gevraagd had.

Als er oplossingen worden ingevoerd is proberen meestal het handigste.

Formeel moet trouwens ook worden aangetoond dat k=1 een oplossing is.

Maar dat kan door de begin eis iets aan te passen zoals ik al had voorgesteld.

[Bartjes]

Als er oplossingen worden ingevoerd is proberen meestal het handigste.

Formeel moet trouwens ook worden aangetoond dat k=1 een oplossing is.

Maar dat kan door de begin eis iets aan te passen zoals ik al had voorgesteld.

k = 1?

[Drieske]

Het voorbeeld van ZvdP is niet eens een cirkelredenatie en is dus zelfs geen goed voorbeeld voor dit topic.

Het is een perfect voorbeeld voor dit topic. Beiden maken een aanname, en dan worden er correcte manipulaties gedaan. Maar het zegt niets over de aanname. Verlies daarbij niet uit het oog dat dit topic daarvoor is aangemaakt. In de openingspost quote ik niet jou, maar Marko.

Geef a.u.b. aan waar de cirkelredenering in mijn bewijs zit.

Om de laatste stap te zetten, moet je weten dat je oplossing geheel is. Oplossen van die vierkantsvergelijking geeft namelijk echt geen 3 als uitkomst. Dat kun je zelf ook heel rap testen.

[tempelier]

k = 1?

k=3 bedoelde ik natuurlijk een stomme verschrijving.

[EvilBro]

Hoe kan jij zonder die tweede wortel te berekenen dat die k=3 de echte oplossing is?

Dat lijkt mij triviaal, maar goed... Ik neem aan dat het duidelijk is dat k=3 een valide oplossing is. Stel dat de tweede oplossing ook valide zou zijn. In dat geval geeft de oorspronkelijke wortel dus twee getallen weer. Dat kan echter niet (lijkt me ook triviaal) dus de tweede oplossing kan geen valide oplossing zijn. En dit alles zonder dat we weten wat precies de waarde is van de tweede oplossing (ik kan je op een briefje geven dat die waarde kleiner zal zijn dat de wortel van 5 zodat je de oorspronkelijke wortel gelijk wordt aan een negatief getal wat natuurlijk niet kan).

[ZVdP]

Ik neem aan dat het duidelijk is dat k=3 een valide oplossing is.

Niet meteen, nee. Alleszins niet zonder dat je vermeldt dat de tweede oplossing kleiner is dat sqrt(5). Als je dat erbij vermeldt, dan ben ik akkoord.

[Bartjes]

Nog even terug naar je hier geplaatste bewijs:

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = k\)

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = k - \sqrt{5}\)

\(14 - 6 \sqrt{5} = (k-\sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5} + 5\)

\(9 - 6 \sqrt{5} = (k-\sqrt{5})^2 = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

\(k=3\)

In de voorlaatste regel heb je bewezen dat k moet voldoen aan de vergelijking:

\(3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}\)

.

Omdat onder de wortels in de gegeven formule voor k:

\( \sqrt{14-6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} \)

geen negatieve getallen voorkomen, moet k (als reëel getal) wel bestaan. Een van de uitkomsten van je vergelijking moet dus de gezochte k zijn. Maar welke? Op dat punt is je bewijs nog niet af. Welke k de juiste is kan je bijvoorbeeld bepalen door te bewijzen dat de andere gevonden waarde voor k rekenkundig gezien niet kan kloppen, waar je ook al een aanwijzing voor geeft.

[EvilBro]

Maar welke?

Zoals ik al zei is dat triviaal. Een (reeele) wortel geeft nooit meer dan 1 getal aan. k=3 is een oplossing dus ook de enige oplossing.

[ZVdP]

Maar zonder enige verdere redenering zou de tweede oplossing k=2.9 kunnen zijn, waardoor je niet hebt aangetoond dat de oorspronkelijke, ongekwadrateerde vergelijking, die k=3 en niet de tweede wortel als oplossing heeft.

[Bartjes]

Zoals ik al zei is dat triviaal. Een (reeele) wortel geeft nooit meer dan 1 getal aan. k=3 is een oplossing dus ook de enige oplossing.

Stel dat je een ander vraagstuk had waarbij er gevraagd werd te bewijzen dat een zekere wortelvorm een geheel getal als uitkomst heeft, maar dat deze uitdrukking in werkelijkheid geen geheel getal als uitkomst had. Wel wil het toeval dat er een afleiding a lá EvilBro mogelijk is waarbij er meerdere oplossingen gevonden worden, waaronder het getal 3. Dan zou je ook kunnen zeggen:

Een (reeele) wortel geeft nooit meer dan 1 getal aan. k=3 is een oplossing dus ook de enige oplossing.

Maar daarmee zou je wel een fout bewijs geleverd hebben!

[EvilBro]

Straw man much?

ik zeg niet "3 moet de oplossing zijn omdat er maar 1 mogelijke waarde kan zijn". Ik zeg: "3 is een oplossing. Er is maar 1 oplossing (vanwege de eigenschappen die een wortel heeft). 3 is dus die enige oplossing." Kom op mensen, dit is echt niet zo moeilijk...

[ZVdP]

Mijn probleem blijft.

Wat verhindert je om te zeggen: 2*sqrt(5)-3 is een oplossing. Er is maar 1 oplossing(vanwege de eigenschappen die een wortel heeft). 2*sqrt(5)-3 is dus die enige oplossing

[EvilBro]

Omdat ik dan zeg dat

\(\sqrt{5} - 3\)

negatief is.