Bewijsvoering met aanname - correctheid

[Bartjes]

Ik geef het op.

[ZVdP]

Het probleem dat wij hebben, is dat je dat niet zegt in je originele bewijsvoering.

Daar zeg je enkel dat k=3 de oplossing is. Zonder verdere verantwoording over die tweede wortel, is het bewijs toch niet compleet?

[EvilBro]

Stel ik zeg k=3 is het antwoord. Dan ga jij dat controleren:

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = 3\)

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5}\)

\(14 - 6 \sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6 \sqrt{5} + 5\)

\(14 - 6 \sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2 = 14 - 6 \sqrt{5}\)

Conclusie: alle stappen zijn correct, dus k=3 is een valide antwoord. Er is maar 1 antwoord, dus dit is het. Een andere mogelijke oplossing hoeft dus niet bekeken te worden.

Stel jij zegt

\(k = 2 \sqrt{5} - 3\)

. Dan ga ik het controleren:

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} + \sqrt{5} = 2 \sqrt{5} - 3\)

\(\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = \sqrt{5} - 3\)

en dan zeg ik dat het onzin is, want rechts is negatief (en links, vanwege de eigenschappen van een wortel, niet).

Nogmaals: er is dus geen enkele reden om als je eenmaal 1 valide waarde gevonden hebt om dan nog naar andere waarden te kijken (die kunnen immers niet bestaan). Het argument "je hebt de andere wortel niet bekeken" is dus niet geldig. Het enige wat je dus kunt aanleveren is dat je niet inziet dat k=3 een valide waarde is. Dit zou kunnen (maar zoals ik al zei lijkt mij dit triviaal). Dan moet je de bovenstaande stappen gewoon nog even doorlopen en dan zie je dat het een valide waarde is.

[ZVdP]

Natuurlijk zie ik dat wanneer je 1 valide oplossing vindt, dat je de andere niet moet nagaan.

Ons probleem was dat je dit nooit bent nagegaan voor k=3 in je originele bewijs. En het leek voor ons dat je dit gewoon out of thin air haalde. Dat is alles. Natuurlijk is het bewijs volledig als je effectief ook nagaat dat k=3 de oplossing is van de oorspronkelijke vergelijking.

[EvilBro]

Ik snap niet dat je niet onmiddelijk ziet dat k=3 een oplossing is... zoals ik al zei: dat lijkt mij triviaal. Kennelijk is dat niet zo voor iedereen.

[Marko]

Dat ziet ook iedereen, maar dat is niet waar dit topic over ging.

[tempelier]

Ik geef het op.

Ik ook.

[ZVdP]

Ja ik zie dat k=3 een oplossing is van

\(
3^2 - 2 \cdot 3 \sqrt{5} = k^2 - 2 k \sqrt{5}
\)

Maar ik zie dat niet met het blote oog van

\(
\sqrt{14 - 6 \sqrt{5}} = k - \sqrt{5}
\)

Ok, de benodigde bewerkingen zijn elementair, maar in mijn ogen moet je wel vermelden dat je dat nog moet nagaan voor een formeel sluitend bewijs.

[EvilBro]

Ok, de benodigde bewerkingen zijn elementair, maar in mijn ogen moet je wel vermelden dat je dat nog moet nagaan voor een formeel sluitend bewijs.

Tja... dan wordt het een discussie over wat wel triviaal is en wat niet. Dat is altijd lastig en bovendien erg 'publiek' afhankelijk.

[ZVdP]

Het gaat niet of het al dan niet triviaal is, maar of dat je die vermelding uit het bewijs mag laten.

Door niet te vermelden dat je op het oog zag dat k=3 de oplossing was van de oorspronkelijke vergelijking, vroegen wij ons gewoon af hoe jij dat bepaald had. Want zonder die vermelding, lijkt het dat je dat niet bent nagegaan.

[EvilBro]

Het gaat niet of het al dan niet triviaal is, maar of dat je die vermelding uit het bewijs mag laten.

Daar gaat het wel om. Triviale dingen hoef je niet in je bewijs te vermelden. Je kan immers niet alles vermelden. Anders kan ik nog wel tig dingen verzinnen die we er ook bij kunnen gaan halen. (een wortel kan niet negatief zijn, wat zijn reeele getalllen, enzovoort).

[ZVdP]

Tja, nu laat je die finale redenering ("Ga na dat k=3 ook effectief de oplossing is") weg, waardoor er een aantal personen verward waren, aangezien het bewijs zonder die vermelding niet volledig is.

[Marko]

Laat maar.

[Onwetend]

Misschien ietwat offtopic, maar aangezien het halve topic er wel min of meer aan gewijd is / door ontstaan is:

Tja... dan wordt het een discussie over wat wel triviaal is en wat niet. Dat is altijd lastig en bovendien erg 'publiek' afhankelijk.

Het gaat niet of het al dan niet triviaal is, maar of dat je die vermelding uit het bewijs mag laten.

Daar gaat het wel om. Triviale dingen hoef je niet in je bewijs te vermelden. Je kan immers niet alles vermelden.

Ik vind dit eigenlijk wel een goed punt. Wat is nu triviaal, en wat niet? Enerzijds zou je helemaal alles vanaf ongeveer 1+1=2 uit moeten schrijven, anderzijds zou je niets hoeven op te schrijven, want wiskunde = per definitie logisch en daarmee triviaal. de vraag is, wat we al weten en wat niet.

Is er niet iets van een lijst ofzo met zaken waar je vanuit kan gaan bij bewijzen? Bij meetkunde weet ik dat het zo is dat je alle stellingen die je gebruikt bij je bewijs moet noemen, maar dat in 1 stelling vaak al meerdere andere stellingen zitten ingebakken. Op de manier hoe ik dat ooit geleerd heb op VWO was er een vrij duidelijke en overzichtelijke lijst van stellingen die je kon gebruiken, en waarop stond welke andere stellingen daar dan al in verwerkt zaten, en welke stellingen gebaseerd was op een aanname/axioma. van hieruit werd dan gebouwd.

Ik heb het overigens geleerd via de boeken 'getal en ruimte'. Is er iemand bekend met een lijst voor bewijsvorming van meer algebraische stukken?

[Bartjes]

@ Onwetend. Het is een misvatting dat de wiskunde is opgebouwd op een aantal in beton gegoten axioma's. Er zijn in de loop der eeuwen wel een aantal pogingen gedaan om (delen van) de wiskunde axiomatisch op te bouwen. Bij sommige delen is dat goed gelukt, bij andere delen zijn er nog wat problematische kwesties. Als je je daar verder in wilt verdiepen moet je de geschiedenis en filosofie van de wiskunde bestuderen. Ik kan je wel al vast één ding verklappen: hoe meer je erover weet, hoe minder houvast je overhoudt.

Een oplossing voor dit topic zal het zeker niet bieden.