Faseruimten en systemen

[Tempus]

Naar mijn weten correspondeert met een fysisch systeem altijd een faseruimte. Een faseruimte is een deelverzameling van

\(\mathbb{R}^n\)

. Een punt in de faseruimte is een toestand die vaak gekarakteriseerd wordt door plaats en impuls. Zou iemand me nu duidelijk kunnen maken hoe je in de praktijk een faseruimte vind bij een bepaald systeem. Neem bijvoorbeeld het zonnestelsel, dit wordt volgens mij vaak een systeem genoemd. Hoe zou je de faseruimte van het zonnestelsel opstellen?

Ik zie het begrip 'faseruimte' soms ook wel voorbijkomen als het gaat over analytische mechanica, maar ik heb nog niet veel verstand van dit onderwerp. Mocht dat nodig zijn dan zal ik me daar wel eerst verder in verdiepen.

[Axioma91]

Ik denk dat een faseportret mathematisch op hetzeldfe neerkomt en dat een faseruimte dingen als plaats en impuls toekent aan assen.

Een faseportret is een plaatje van hoe de oplossingen van een differentiaalvergelijking eruit zien. De randvoorwaarden bepalen dan in welke baan(oplossing) je terechtkomt.

Naar mijn weten correspondeert met een fysisch systeem altijd een faseruimte.

I.a.w.: een opl van een differentiaalvergelijking. De ruimte wordt bepaald door je begincondities (noem het misschien oplossingsverzameling).

Maar ik ben zelf niet bekend met de term faseruimte; wikipedia doet mij vermoeden dat het ongeveer op hetzelfde neerkomt, dus het zou fijn zijn als iemand anders dit kan bevestigen/weerleggen. In een vak differentiaalvergelijkingen raak je snel bekend met faseportretten (misschien heet het anders).

[physicalattraction]

Ik heb nog nooit van het begrip faseportret gehoord, maar wel regelmatig van faseruimte. De faseruimte is in principe "een vel papier" in n dimensies waarin je grafiekpunten kunt tekenen. De n dimensies zijn de n variabelen die voor jouw systeem van belang zijn. Welke variabelen van belang zijn hangt helemaal af van de context, dus ik denk niet dat iemand kan zeggen wat DE faseruimte van het zonnestelsel is.

[Tempus]

Ik begrijp denk ik wel wat je wil zeggen, maar ik voel er toch niet helemaal gemakkelijk bij. Ik heb een voorbeeld bedacht waarmee ik mijn probleem weet te illustreren. Stel je hebt het volgende systeem: een kraal op een horizontale draad die loopt van x=0 tot x=1. Hierbij heb je een 2 dimensionale faseruimte. Maar als je simpelweg

\(\mathbb{R}^2\)

als faseruimte neemt, laat je toestanden toe met plaatscoördinaten die niet tussen de 0 en 1 liggen, terwijl die toestanden niet in je systeem voorkomen. In dit geval los je het op door niet

\(\mathbb{R}^2\)

als faseruimte te nemen, maar een deelverzameling hiervan, namelijk

\([0, 1] \times \mathbb{R} \)

. Maar hoe doe je dit bij een ingewikkelder systeem zoals het zonnestelsel? Gewoon een geschikte deelverzameling zoeken? Of zit ik nu verkeerd te denken?

[JorisL]

Dat is weer zoiets dat op de randvoorwaarden slaat. Als je nu als randvoorwaarde neemt dat de draad van x=-5 tot x=10 gaat, zal je oplossing er anders uit zien. En dus een andere positie in de faseruimte innemen.

Het is dus niet nodig om de ruimte verder te beperken.

[Tempus]

Heb ik in dat geval dan wel genoeg informatie gegeven om de faseruimte op te stellen? De eis dat 0<x<1 is dan relevant voor de randvoorwaarden, maar dan heb je nog steeds geen informatie om een bewegingsvergelijking op te stellen en dus om de oplossingsverzameling/faseruimte te bepalen. Het gaat er mij vooral om wat een 'systeem' is en hoe je dit wiskundig representeert. Het klinkt nu alsof je pas van een systeem kan spreken als je genoeg informatie hebt voor een differentiaalvergelijking met randvoorwaarden. Mijn voorbeeld van een kraal op een horizontale draad is dan geen systeem omdat ik alleen randvoorwaarden geef. Is dit een goede gedachtegang?

[physicalattraction]

Hoewel het begrip faseruimte het meeste gebruikt wordt in combinatie met differentiaalvergelijkingen, hoeft dit niet per definitie hieraan gekoppeld te zijn. Het probleem is dat een systeem snel benoemd is, maar dat je pas over de eigenschappen van een systeem kan spreken als je hier ook een probleemstelling aan geeft. In jouw voorbeeld met de kraal kan de faseruimte bijvoorbeeld ook uit meer dimensies bestaan, bijvoorbeeld als de temperatuur van de kraal ook van belang is voor het probleem dat je op wil lossen. In het geval van het zonnestelsel kan ik me voorstellen dat je als belangrijke variabelen de posities en snelheden van alle planeten hebt en dus

\( \mathbb{R}^48\)

als faseruimte hebt. Maar misschien vraagt jouw probleem ook wel om de posities en snelheden van alle manen, of om de temperatuur van de zon, of zelfs om de posities en snelheden van elk atoom in het zonnestelsel.