vermoeden over irrationale wortels.

[De leek]

Zoals velen van jullie weten zijn een aantal wortels irrationeel. De wortel van 2 is irrationeel, die van 3, die van 5, enz. Nu vroeg ik mij het volgende af hierover:

Is het zo dat voor elk postief geheel getal a waarbij a geen kwadraat is van een ander positief geheel getal je kunt stellen dat de wortel van a irrationeel is?

a is dus niet 4 of 9 of 16 of 25, etc affijn ik denk dat jullie wel snappen wat ik bedoel. Is het dan atijd zo dat de wortel van a irrationeel is of kan het ook een breuk zijn? Iets zegt me dat het dan altijd irrationeel is, ik denk namelijk niet dat er 2 getallen b en c zijn met de eigenschap dat b/c geen geheel getal is maar b^2/c^2 wel. Maar ik heb het niet echt hard kunnen maken?

Klopt dit vermoeden? Of is er een tegenvoorbeeld bekend?

[kee]

Probeer dit aan te tonen met een bewijs uit het ongerijmde. Welke voorwaarde ga je opleggen op b en c?

[De leek]

Probeer dit aan te tonen met een bewijs uit het ongerijmde. Welke voorwaarde ga je opleggen op b en c?

We weten iniedergeval dat als c>b b^2/c^2 ook een kwadraat is. Dus we hoeven alleen de situatie b>c te beschouwen, in welk geval de breuk geschreven kan worden als a + b/c met c>b. Dan moet ik laten zien dat (a + b/c)^2 = a^2 + 2ab/c + b^2/c^2 nooit een geheel getal kan zijn. a^2 is sowieso een geheel getal dus kan ik het probleem reduceren tot het volgende:

2ab/c + b^2/c^2 = (2abc + b^2)/c^2 kan geen positief geheel getal zijn voor positieve gehele getallen a,b en c waarbij c>b. Als ik dat kan bewijzen heb ik mijn vermoeden bewezen. Ik kan ervanuit gaan dat die uitdrukking wel een positief geheel opgetal oplevert en dan tot een contradictie komen maar dat is me niet gelukt. Verder dan dit ben ik nog niet gekomen.

[Drieske]

Je vermoeden klopt (ivm irrationaliteit). Ben je bekend met ontbinding in priemfactoren? Dat heb je nodig hier.

[Safe]

Zoals velen van jullie weten zijn een aantal wortels irrationeel.

Ik ken het woord irrationeel niet, is dat een taal-kwestie?

Je stelt dat oa sqrt(2) irrationaal is.

Ben je bekend met het bewijs daarvan?

[EvilBro]

irrationeel is gewoon een Nederlands woord. Neemt niet weg dat hier 'irrationaal' bedoeld werd...

[kee]

Dit bedoelde ik niet echt. Welke voorwaarde leg je op voor ggd(b,c)? Neem dan nog de tip van Drieske in acht en stel een bewijs uit het ongerijmde op. Weet je hoe zo'n bewijs gaat?