Waarom is pi oneindig...

[tempelier]

Nee dat wordt die cirkel niet want hij blijft altijd kleiner dan 314,2

[Drieske]

Nee dat wordt die cirkel niet want hij blijft altijd kleiner dan 314,2

Maar dat betekent niet dat hij niet steeds groter kan worden... Een naar boven begrensde rij kan toch (strikt) stijgend zijn.

Overigens is het wel wat vreemd om te spreken van "die cirkel wordt groter". De cirkel is steeds even groot. Jouw nauwkeurigheid van de oppervlakte bepalen wordt alleen steeds beter.

[tempelier]

Maar dat betekent niet dat hij niet steeds groter kan worden... Een naar boven begrensde rij kan toch (strikt) stijgend zijn.

Overigens is het wel wat vreemd om te spreken van "die cirkel wordt groter". De cirkel is steeds even groot. Jouw nauwkeurigheid van de oppervlakte bepalen wordt alleen steeds beter.

Je hebt natuurlijk gelijk, ik heb me wat onnauwkeurig uitgedrukt.

[Bart]

De oppervlakte van een cirkel met straal van 10 meter =

10 x 10 x 3,14 = 314

Dit is niet de oppervlakte van een cirkel met een straal van 10 meter. Dit is, bij benadering de oppervlakte van een cirkel met een straal van 10 meter.

De oppervlakte van een cirkel met straal van 10 meter is \(100 \pi\), niet meer, niet minder.

edit: ik zie dat Drieske mij voor was.

[Bartjes]

Wel, in een stelsel waarbij pi=1 natuurlijk.

Ik ben het nog nooit tegengekomen, maar mijn prof mechanica heeft er ooit kort iets over gezegd.

In ons stelsel hebben we:

\(Opp_{vierkant}=z^2\)

\(Opp_{cirkel}=\pi r^2\)

Je kan dus 'exact' de oppervlakte uitdrukken van vierkanten (met rationale zijdes), maar dit is niet zo voor cirkels (met rationale straal).

Als je dus veel cirkels hebt, kan je pi gelijk aan 1 nemen. De formules worden dan:

\(Opp_{vierkant}=\frac{z^2}{\pi}}\)

(met de decimale waarde van pi=3.14...)

\(Opp_{cirkel}=r^2\)

Hierdoor wordt de oppervlakte van een eenheidscirkel dus 1 (ipv dat de oppervlakte van een eenheidsvierkant 1 is).

Oppervlakten van vierkanten worden dan wel weer lastiger.

Maar dus zoals ik al zei; ik heb dit nog nooit ergens in gebruik gezien.

Even gezocht:

http://en.wikipedia...._representation

[fipilip]

Maar dat betekent niet dat hij niet steeds groter kan worden... Een naar boven begrensde rij kan toch (strikt) stijgend zijn.

De vraag is: als de oppervlakte na elke berekening groter wordt en dit tot in het oneindige, is het dan bewezen dat ze kleiner blijft dan 314,2? Iets dat stijgt tot in het oneindige...

Dit is niet de oppervlakte van een cirkel met een straal van 10 meter. Dit is, bij benadering de oppervlakte van een cirkel met een straal van 10 meter. De oppervlakte van een cirkel met straal van 10 meter is \(100 \pi\), niet meer, niet minder.

het probleem is dat pi niet ophoudt; \(100 \pi\), is nu eens meer dan wat minder, afhankelijk van welke pi je voor de berekening gebruikt.

[tempelier]

Er is maar één

\(\pi\)

,

waar je op doelt zijn benaderingen er van, die verandert als je voor een andere benadering kiest.

[TD]

De vraag is: als de oppervlakte na elke berekening groter wordt en dit tot in het oneindige, is het dan bewezen dat ze kleiner blijft dan 314,2? Iets dat stijgt tot in het oneindige...

Waar Drieske je op wou wijzen is dat dit niet zo hoeft te zijn: je kan 'oneindig lang' blijven stijgen, zonder oneindig groot te worden. Los van het verhaal met de cirkel en pi: kijk bijvoorbeeld naar het proces waarbij je met 0,9 start en in elke stap een 9 aan de decimale ontwikkeling toevoegt: 0,9 / 0,99 / 0,999 / 0,9999 / ...

Het is duidelijk dat je op deze manier 'oneindig lang' kan blijven stijgen (elk getal in deze rij is immers groter dan het vorige), maar je komt nooit boven 1. Je kan dus 'blijven stijgen', zonder oneindig groot te worden.

Als je pi steeds beter benadert door telkens een decimaal toe te voegen, ga je toch ook nooit boven de 4 geraken...?

het probleem is dat pi niet ophoudt; \(100 \pi\), is nu eens meer dan wat minder, afhankelijk van welke pi je voor de berekening gebruikt.

Nee, het symbool \(\pi\) gebruiken we voor één welbepaald (constant) reëel getal.

[Erik Leppen]

Is de tweede cirkel groter dan de eerste?

Past er meer water in een Olympisch zwembad als de hoeveelheid in het bad gepompt water heel nauwkeurig wordt gemeten?

Waarmee ik maar wil zeggen, je bewoording klopt niet, en daardoor krijg je gekke dingen. Je gebruikt niet "een pi", je gebruikt "een benadering van pi". Er is maar één pi, maar er zijn heel veel benaderingen. Dus jouw bericht had eigenlijk moeten zijn

"

De oppervlakte van een cirkel met straal van 10 meter =

10 x 10 x 3,14 pi = 100pi

en die kunnen we benaderen met

10 x 10 x 3,14 = 314,

waarbij we de benadering 3,14 gebruiken voor pi.

Wanneer we een benadering van pi gebruiken met meer decimalen, bijvoorbeeld 4 in plaats van 2, dan is de oppervlakte kunnen we de oppervlakte benaderen als

10 x 10 x 3,1415 = 314,15

en dan is dat een nauwkeurigere benadering van de echte oppervlakte, dan onze vorige benadering 314.

"

en dan klopt ie

[dannypje]

Ik stel voor dat je een vierkant op een karton tekent, in dat vierkant de ingeschreven cirkel tekent, een blinddoek omdoet en met een dartspijltje naar dat bord gooit.

Als je daar een paar jaar mee zoet geweest bent, tel je het aantal gaatjes binnen de cirkel, en je deelt dat door het totaal aantal gaatjes binnen het vierkant.

Dat getal vermenigvuldig je met 4 en ... voila: een statistische manier om pi te bepalen

Nu alleen nog discussieren hoe dik de lijn mag zijn waarmee je de cirkel en het vierkant tekent

Om terug te komen op de vraag die in de nieuwsbrief gesteld werd: tuurlijk is wiskunde nodig voor iedereen, zelfs voor dartsspelers, zie je wel