aftelbaar oneindig

[Berna]

Vraag: 2|N is de verzameling van de even natuurlijke getallen.

Ik moet zien te bewijzen dat 2|N aftelbaar oneindig is.

Ik kan elke even getal combineren met een natuurlijke getal zo dat

2=1, 4=2, 6=3,....

|N={1,2,3,4,5,6,.....,n} (n∈ |N)

2|N={2,4,6,8,10,12,...2n} (n∈ |N)



f: |N --> 2|N f(n)=2n,.

Ik moet bewijzen dat f bijective is dat doe ik door apart te bewijzen dat het surjectief en injectief is,

n1,n2 ∈|N

f(n1)=f(n2)

dus 2n1=2n2 dus n1=n2

dus f is injectief.

Ik weet niet hoe ik de surjectieve gedeelte moet bewijzen?

En ik weet ook niet hoe ik uiteindelijk kan stellen dat 2 aftelbaar oneindig is nadat bewezen is dat f bijective is.

Bedankt! (Ik ben niet zo goed in het opstellen van bewijzen op een goede manier, want ik ben net begonnen met het leren op te stellen van bewijzen)

[Safe]

Je moet een injectief verband leggen tussen N en 2N ... (dat is bijna vanzelfsprekend)

[Xenion]

Ik weet niet hoe ik de surjectieve gedeelte moet bewijzen?

En ik weet ook niet hoe ik uiteindelijk kan stellen dat 2 aftelbaar oneindig is nadat bewezen is dat f bijective is.

1) Dat het een bijectie is, is toch gewoon triviaal? Injectie heb je aangetoond, voor de surjectie: alle even getallen (in 2) kan je schrijven als '2n', ze zijn dus het beeld van element 'n' in .

2) Cantor heeft beredeneerd dat je kan zeggen dat 2 verzamelingen met een eindig aantal elementen gelijk even groot zijn als je een 1 naar 1 mapping (bijectie) kan opstellen tussen de elementen. Aangezien die methode niet steunt op het kunnen tellen van de elementen kan je dat veralgemenen naar verzamelingen van oneindige grootte. (bron)

[Berna]

als je stelt dat 2N een deelverzameling is van N en dat f(n)=2n bijectief is dan kun je stellen dat

2N aftelbaar oneindig is?

Ik bedoel als je bewijst dat..

[Safe]

Precies! Maar is dat niet echt duidelijk?

Wat is de definitie van "aftelbaar"?

[Berna]

Als f een surjectieve functie is en als de A, in f:A->B, een deelverzameling van |N is

[Safe]

Een verzameling is aftelbaar oneindig als er een 1-1 verband is met de verz N.

Populair: elk element van de verz is 1 op 1 in een 'kamer' te stoppen met een nummer.

Vb 2984 heeft een nummer, welk?

[Berna]

Dat is dan toch 2984

[Berna]

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.

Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en

de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

[Safe]

Dat is dan toch 2984

Klopt dat met f(n)=2n?

[Berna]

o nee het is dan het dubbele van 2984

[Drieske]

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.

Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en

de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

Voor deze: je keuze van verzameling is goed. Het lijkt me ook de grootste hindernis eigenlijk. Voor je bijectie: zij A = {1/n | n in N} en definieer f op A door 1/n af te beelden op 1/(n+1). Wat kies je voor f op de rest? Waarom is dit bijectief?

[TD]

In mijn boek moet ik de gelijkmachtigheid van de intervallen [0,1) en [0,1] bewijzen of weerleggen.

Ik weet dat ze gelijkmachtig zijn.

Ik splits het domein in alle getallen van de vorm 1/n ( met n alle niet nulle natuurlijke getallen) en

de andere getallen.

Ik weet alleen niet hoe ik de bijectie moet opschrijven

Dit klinkt bekend. Kleine wereld .