differentiaal vergelijking uitleg

[caesarandreas]

kan iemand mij uitleggen wat differentiaal vergelijking is in een een makkelijke manier dus met een simpele formule(als het kan geen van zulke formules zoals hieronder)

[Typhoner]

een differentiaalvergelijking is een vergelijking die een functie en haar afgeleiden bevat. De vergelijking oplossen betekent dat je deze functie (of functies) moet vinden.

En diff. vergelijking zou kunnen zijn:

f'(x) = 5

f'(x) is de afgeleide van de functie f(x). De vergelijking oplossen betekent dat je zoekt wat dat f(x) precies is.

De vgl. kan ook hogere afgeleiden (de tweede, derde, ... of een combinatie daarvan) en de functie zelf bevatten.

[tempelier]

kan iemand mij uitleggen wat differentiaal vergelijking is in een een makkelijke manier dus met een simpele formule(als het kan geen van zulke formules zoals hieronder)

De vergelijking is niet simpel en is maar in een beperkt aantal gevallen oplosbaar.

Meestal worden dit soort vergelijkingen opgelost via de bijbehorende karakteristieke vergelijking:

\( c_np^n+c_{n-1}p^{n-1}+ \cdots \cdots + c_1p+ c_0=0\)

Dat is meestal niet zo gemakkelijk als n>2 en vaak niet goed mogelijk.

Als g(x)=0 dan kan uit de oplossingen van p de oplossing van de DV zo worden neergeschreven.

Is dat niet zo dan moet er ook nog naar een particuliere (bijzondere) oplossing gezocht worden.

Dat laatste kan ook wel eens niet lukken.

[caesarandreas]

ik begrijp nog steeds niet kan u de differentiaal vergelijking geven van 0.5*2^t

hierdoor kan ik het beter begrepen

[Xenion]

ik begrijp nog steeds niet kan u de differentiaal vergelijking geven van 0.5*2^t

hierdoor kan ik het beter begrepen

Neem even een voorbeeld uit de fysica:

Stel dat een voorwerp (initieel in rust) een versnelling van heeft die verandert in de tijd:

a = t² + 3t

Wat is de bewegingsvergelijking van dit voorwerp?

De versnelling is d²x/dt² en x is de functie die we zoeken.

Je moet dus de volgende vergelijking oplossen naar x:

\(\frac{d^2x(t)}{dt^2} = t^2 + 3t\)

x is een functie van t, maar in de vergelijking komt de tweede afgeleide voor. Vergelijkingen waarin de afgeleide van de gezochte functie voorkomt heten differentiaalvergelijkingen.

[caesarandreas]

dus de differentiaal vergelijking is a`=2t+3

is de differentiaal vergelijking hetzelfde als afgeleide

ik wil wat makkelijker aantwoord hierdoor kan ik zlef uitzoeken hoe het doorgaat

[Xenion]

Nee. Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin de afgeleide (of differentiaal) van de onbekende in voorkomt.

Mijn voorbeeld was misschien te eenvoudig.

Onderstel een kogel die afgeschoten wordt. Daarop werken de zwaartekracht (F = m*g) en de luchtweerstand (F = vanalles*v²).

Via de 2e wet van Newton kan je dan weer de bewegingsvergelijkingen opstellen.

Dat levert dan iets in de vorm van:

\(\frac{d^2x}{dt^2} = g + k\cdot \left( \frac{dx}{dt} \right )^2\)

Waarin je x moet bepalen als een functie van t.

Dit is een differentiaalvergelijking.

is de differentiaal vergelijking hetzelfde als afgeleide

ik wil wat makkelijker aantwoord hierdoor kan ik zlef uitzoeken hoe het doorgaat

De 'afgeleide' is toch helemaal geen vergelijking :/

Ik wil je nu niet ontmoedigen, maar als je al moeite hebt met de definitie dan vrees ik dat je zelf niet veel gaat kunnen uitzoeken over dit onderwerp. Dit is echt wel vrij moeilijk.

[De leek]

Vergelijk het met een gewone vergelijking. In een gewone vergelijking zoek je een getal die aan de vergelijking voldoet, bij een differentiaal vergelijking zoek je een functie of een verzameling functies die aan de vergelijking voldoen. Voorbeeld:

dy/dx = 2y. Het antwoord hierop is y = Ke^2x, waarbij K een willekeurige constante is. Waarom is dit logisch? Differentieer y maar dan krijgen we dy/dx = 2Ke^2x = 2y. Daaruit concluderen we dat dit een oplossing is van de differentiaalvergelijking.

Neem dy/dx = 1+ y^2 eens. Een oplossing daarvan is y = tan(x)(ga maar na). Dit is het idee achter differentiaal vergelijkingen en er zijn verschillende technieken waarmee je verschillende differentiaal vergelijkingen kan oplossen. Sommige vergelijkingen kun je niet eens expliciet oplossen, dan moet je het numeriek doen.

[dannypje]

Misschien werkt het zo: een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarvan de oplossing een _functie_ is, geen getal.

Zoiets als: de som van een functie en haar tweede afgeleide is 0. Welke is die functie ?

f(x)+f''(x)=0

(antw: cos(x))

[Xenion]

Zoiets als: de som van een functie en haar tweede afgeleide is 0. Welke is die functie ?

f(x)+f''(x)=0

(antw: cos(x))

Ik vermoed dat je hier een paar kwadraten vergeten bent, want de oplossing hiervan is een exp functie.

[De leek]

Ik vermoed dat je hier een paar kwadraten vergeten bent, want de oplossing hiervan is een exp functie.

Cos(x) voldoet gewoon, of een exponentiele functie met een imaginaire exponent ook maar dat is gewoon hetzelfde

[Xenion]

Cos(x) voldoet gewoon, of een exponentiele functie met een imaginaire exponent ook maar dat is gewoon hetzelfde

cos(x) - sin(x) = 0 geldt niet altijd...

In tegenstelling tot: exp(-x) - exp(-x) = 0

Edit: ik had niet gezien dat het om de tweede afgeleide ging, mijn fout