vraag over ART

[Anonymous]

hallo

ik heb een steeds terugkerende vraag over ART (algemene relativiteitstheorie) die ik hier graag zou stellen

mijn excuses dat ik hem hier post (ik heb al in de discussietopic over ART het gevraagd)

Ik heb een kleine vraag over 1.5

voor alle objecten met dx^2+dy^2+dz^2-c*c*dt^2=0 moet dit ook gelden in alle andere referentiesystemen

hoe weet je dan dat dx^2+dy^2+dz^2-c*c*dt^2 een invariant is

het laatste impliceert wel het eerste ,maar het omgekeerde?

of om het algebraischer te zeggen, op een vierdimensionale vectorruimte

als twee bilineaire symmetrische vormen daar dezelfde isotrope vectoren hebben, impliceert dit toch niet dat ze dezelfde kwadratische vormen induceren

ik bedoel , de oplossingen van x^2-c*c*t^2=0 zijn toch dezelfde als die van 4*x*x-c*c*t*t*4=0

ik hoop dat je mijn vraag een beetje begrijpt , ik zou hem nog anders kunnen zeggen,

bewaart x'=5/sqrt(1-v*v/c/c)*(x-v*t)

y'=5*y

z'=5*z

t'=5*(t-v*x/c/c)/sqrt(1-v*v/c/c)

niet ook de lichtsnelheid?

[Mortimer]

Ik weet niet zeker of ik je vraag helemaal goed begrijp maar ik doe maar eens 'n gooi.

Om te beginnen is de lichtsnelheid invariant in alle referentie frames per postulaat, waaruit automatisch volgt dat dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2=0 moet zijn. Dat dat ook waar is als je het linkerlid vermenigvuldigd met 4 is niet meer dan logisch. Je doet dan in feite 1 van 2 mogelijke dingen:

- Je bekijkt een ander event, namelijk het event met coordinaten 4t en 4x

- Je bekijkt hetzelfde event maar je gebruikt een andere lengte- en tijdseenheid zodanig dat 4x'=x en 4t'=t.

Verder is de Minkowski ruimte-tijd met metriek +++- zo "gekozen" juist omdat daarin 4D vectoren en lengtes invariant zijn onder de Lorentz transformatie regels. Die regels volgen op hun beurt onvermijdelijk uit het constant moeten zijn van de lichtsnelheid in alle frames.

De uitdrukking dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2 heeft waardes kleiner dan nul voor voorwerpen met snelheden onder de lichtsnelheid en ook die waardes zijn in een Minkowski ruimte-tijd invariant. Dat zijn ze niet in een normale Euclidische 4D ruimte-tijd met metriek ++++ (tenzij je de 4-vectoren anders definieert en aanvullende aannames doet).

Ikzelf (en veel anderen) gebruik overigens meestal c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 met metriek +---. Die geeft positieve waardes voor voorwerpen met snelheden onder de lichtsnelheid. Mathematisch is deze vorm evengoed bruikbaar als de in de minicursus gehanteerde vorm.

[Anonymous]

http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...?showtopic=9112

heel erg bedankt dat je antwoordt

ik studeer geen fysica maar wiskunde (maar heb dus wel wat fysica al gezien en dat zal zo blijven)

ik vind relativiteitstheorie interessant maar ik kan het niet vatten omdat het anders gegeven wordt dan wiskunde

Inderdaad, je zegt zelf, lichtsnelheid is invariant voor de waarnemers als postulaat

maar daaruit wordt in 1.5 toch juist het volgende geconcludeerd

als ds^2=0 voor alle licht moet nul zijn, moet de grootheid

ds^2 constant zijn

ik heb de link hierboven gezet, waar ik naar verwijs staat zelfs in een kadertje bij 1.5, er staat letterlijk : .. en dus moet de grootheid dx^2+dy^2+dz^2-c*c*dt*dt invariant zijn onder bepaalde transformaties

het is echt de opeenvolging van redeneringen die ik niet snap

zoals je ziet denk ik echt als een wiskundige, ik denk dat ik relativiteit pas zal snappen als ik het als een droge opeenvolging van eigenschappen definities en gevolgen zie

toch al bedankt voor de moeite!

[Mortimer]

Wellicht dat deze uitleg een beetje helpt:

Een waarnemer kan een in rust zijnde lijnstuk l meten door er een lichtpuls langs te zenden en te meten hoelang die er over doet. Voor een lijnstuk met lengte c heeft die lichtpuls 1 seconde nodig dus

dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2=0

l^2-c^2=0

Een andere waarnemer die vanuit een bewegend frame hetzelfde lijnstuk meet met dezelfde lichtpuls meet lengte l':

l'^2-c^2dt'^2=0

In een normale Newtoniaanse ruimte zou l'=l zijn. Echter als gevolg van het gegeven dat de lichtsnelheid in alle frames gelijk is, is l' niet gelijk aan l en is dus ook t' ongelijk aan t. De grootheid

ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-c^2dt^2

is echter wel in alle frames gelijk.

Nu is, net als (x,y,z) een 3-dimensionale coordinaat is, (x,y,z,ct) een 4-dimensionale coordinaat.

De "afstand" in het kwadraat tussen twee willekeurige (dus niet per se behorend bij punten waar een lichtpuls achtereenvolgens langskomt) van die 4-dimensionale coordinaten (events) is ook ds^2. Die is invariant onder Lorentz transformaties als je de coordinaat cdt negatief neemt t.o.v. de ruimtelijke dimensies x, y en z. Dat is dus een noodzakelijke definitie die alleen ten doel heeft om te komen tot een invariante waarde. Let wel: In Minkowski ruimte-tijd is ds^2 geen echte lengte in de zin zoals we dat gewend zijn in 3D. Het is een zuiver mathematisch hulpmiddel omdat het nu eenmaal vaak handig is als er bepaalde zaken invariant zijn onder transformaties. Dat rekent eenvoudiger.

Het principe achter de 4-dimensionale "distance between events" ds^2 is verder uitgewerkt in de relativiteit tot algemene 4-vectoren voor ook andere grootheden die alle als eigenschap hebben dat ze invariant zijn onder de Lorentz transformaties. Voorbeelden zijn de 4-vectoren voor:

- snelheid: gamma(c,v)

- energie/momentum: (E/c, p)

- versnelling: {d(gamma*c)/d(t/gamma), d(gamma*v)/d(t/gamma)}

enz. Nogmaals: geen van deze 4-vectoren stellen dus echte fysiche zaken voor. Het zijn mathematische "gadgets".

Nu ik nog eens naar de tekst in de minicursus kijk bij 1.5 denk ik inderdaad dat de conclusie die daarin wordt getrokken een beetje uit zijn verband is gerukt. In feite is de conclusie een veralgemenisering naar willekeurige 4D events die inderdaad blijkt te kloppen als je de Lorentz transformaties er eens op los laat. Het is dus niet fout maar het bewijs wordt eventjes niet meegeleverd.

[Anonymous]

dank je voor je uitleg

je geeft op het einde toe waar ik naar zocht

dat het een veralgemening is en geen conclusie

idd, ik zie in dat onder die lorentztransformaties (de bekende) de metriek onveranderd blijft, maar je kan zeggen deze metriek blijft bewaard onder deze transformaties, of omgekeerd, we vinden deze metriek als we van deze transformaties vertrekken, maar daarmee vraag ik me nog altijd af,als je echt de theorie axiomatisch met postulaten wil opbouwen, hoe je komt aan de formules

[Mortimer]

Ik neem aan dat je de Lorentz transformatie formules:

x'=gamma(x-vt)

t'=gamma(t-vx/c^2)

bedoelt?

Daarvoor verwijs ik je graag naar deze (Engelse) pagina:

http://www.bartleby.com/173/a1.html

waar de meester zelf aan het woord is. Uitgangspunt voor deze afleiding is als vanouds de constantheid van de snelheid van het licht in alle frames.

[peterdevis]

hoe weet je dan dat dx^2+dy^2+dz^2-c*c*dt^2 een invariant is

Elke scalar is invariant onder eender welke assentransformatie. dx^2+dy^2+dz^2-c*c*dt^2 is (ongeacht hij gelijk is aan nul) een scalar en dus invariant.

Wat in de cursus echter niet duidelijk is uitgelegd (en ik zal dit proberen aan te passen) is dat invariantie van het interval op zich onvoldoende is opdat we de lichtsnelheid als c meten in elk inertieel stelsel. Hiervoor dient de metriek bewaard te blijven. Uit deze laatste eis kunnen we dan de afleiden dat enkel de lorentztransformaties hieraan voldoen.