Hulp bij integraal

[elbartje]

Ik zit vast met de volgende integraal:

\( \int \frac{e^{2t}}{ch(t)} dt \)

Kan ik de argch vervangen door iets wat ik kan afleiden zodat ik partiële integratie kan toepassen ?

Of moet dit nog op een andere manier?

Alvast bedankt

[Siron]

Je spreekt over 'argch' (inverse hypberbolische cosinus), maar volgens mij bedoelen ze in de integraal gewoon de hyperbolische cosinus. De integraal die je moet berekenen is

\(\int \frac{e^{2t}}{\cosh(t)}dt\)

en bovendien geldt

\(\cosh(t) = \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}\)

.

Geraak je hier mee verder?

[elbartje]

Nu ben ik even niet mee,

1/ch(x) = ch(x)^-1 = archch = coch Is dit niet allemaal dezelfde naam voor de inverse cosinus hyperbolicus ?

Of ben ik hier mis

Jij geeft een formule van de inverse sinus hyperbolicus, deze is toch niet van toepassing.

[Typhoner]

1/ch(x) = ch(x)^-1 = archch = coch Is dit niet allemaal dezelfde naam voor de inverse cosinus hyperbolicus ?

Of ben ik hier mis

Je maakt de fout dat je zegt dat

\((\cosh x)^{-1} = \cosh^{-1} x\)

het linkerlid is wat in de opgave staat, en het rechterlid de inverse functie (wat jij er van maakt).

Ter vergelijking

\((\cos x)^{-1} \neq \cos^{-1} x = \textrm{acosh} \, x\)

Jij maakt de fout dat je "de inverse van iets met een cosh in" verwart met "de inverse van de cosh-functie"

[tempelier]

Je maakt de fout dat je zegt dat

\((\cosh x)^{-1} = \cosh^{-1} x\)

het linkerlid is wat in de opgave staat, en het rechterlid de inverse functie (wat jij er van maakt).

Ter vergelijking

\((\cos x)^{-1} \neq \cos^{-1} x = \acos x\)

Jij maakt de fout dat je "de inverse van iets met een cosh in" verwart met "de inverse van de cosh-functie"

Je hanteert hier wel de Amerikaanse notatie, die zeker niet algemeen is geaccepteerd.

[Typhoner]

Je hanteert hier wel de Amerikaanse notatie, die zeker niet algemeen is geaccepteerd.

bedoel je "cosh"? Daarvan was ik zeker dat het in LateX ingebakken zit

[tempelier]

bedoel je "cosh"? Daarvan was ik zeker dat het in LateX ingebakken zit

Nee dat bedoel ik niet.

de amerikanen en helaas ook steeds meer mensen hier noteren:

\( \sin^{-1} x = \arcsin x \)

hetgeen inconsistent is met:

\( \sin^n x = (\sin x)^n \)

[Typhoner]

Mja, maar ik vermoed dat hier ook het probleem van de TS zit. Vandaar dat ik er mijn post op wees dat je ermee moet oppassen.

[tempelier]

Mja, maar ik vermoed dat hier ook het probleem van de TS zit. Vandaar dat ik er mijn post op wees dat je ermee moet oppassen.

Daar heb je gelijk in, het is altijd raadzaam om eerst te kijken wat er in een boek/cursus.... met een uitdrukking bedoeld wordt, want helaas is zelfs de wiskunde niet altijd eenduidig in de notaties.

[elbartje]

Even ter verheldering klopt dit dan wat ik als volgt zeg:

\(Argsin(x)=Bsin(x) = sin^{-1}(x) \)

\(cosec(x) = \frac{1}^sin (x)} = (sin (x))^{-1} \)

(Die waarbij een macht wordt gebruikt is dan de Amerikaanse manier ?)

[mathfreak]

Argsin moet arcsin zijn. Het is in de Angelsaksische literatuur inderdaad gebruikelijk om dit als sin^-1 te noteren, net zoals arccos wordt weergegeven als cos^-1 en arctan als tan^-1. Op rekenmachines kom je deze notatie ook tegen. Ik interpreteer jouw notatie ch als de verkorte schrijfwijze van cosh, dus de cosinushyperbolicus, gedefinieerd als cosh x = ½(e^x+e^-x). Als mijn interpretatie klopt zou je de desbetreffende integraal met behulp van de substitutiemethode kunnen berekenen.

[elbartje]

Dan krijgen we de volgende integraal:

\( \int \frac{2e^{2t}}{e^x+e^{-x}}dt \)

Nu zou ik dit moeten kunnen herschrijven naar

\( 2 \int \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} dt \)

Ik zie niet waarom deze laatste stap mag.

Dan kan ik weer verder

[Safe]

Dan krijgen we de volgende integraal:

\( \int \frac{2e^{2t}}{e^x+e^{-x}}dt \)

Nu zou ik dit moeten kunnen herschrijven naar

\( 2 \int \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} dt \)

Ik zie niet waarom deze laatste stap mag.

\( \int \frac{2e^{2t}}{e^t+e^{-t}}dt \)

\( 2 \int \frac{e^{3t}}{e^{2t}+1} dt \)

Verm t en n met e^t

Ik ben benieuwd naar je volgende stap ...

[dannypje]

verwarrend hoor, dat gebruik van t en x door mekaar.

[elbartje]

Sorry voor de verwarring, x vervangen door t zoals Safe zegt.

natuurlijk vermenigvuldigen met e^(t),

e^(t) * e^(-t) = 1 (hier zat ik fout)

Zo doe ik nu verder:

Nu kan ik substitutie toepassen:

\( e^{t} =u \)

dus

\( e^{t} dt =du \)

tussenstap:

\( \int{ \frac{ e^{3t}}{u²+1} * \frac{du}{e^{t}}} \)

\( \int{ \frac{ u²}{u²+1} du} \)

\( \int{ \frac{ u²+1-1}{u²+1} du} \)

\( \int{ \frac{ u²+1}{u²+1}du - \int \frac{1}{u²+1} du} \)

Deze integralen kunnen we dan oplossen.

Bedankt iedereen!