Derdegraadsvergelijking oplossen

[Marko]

Ik stuit in de beschrijving van een van mijn systemen (chemie, verder niet zo heel relevant) op de volgende vergelijing:

\(a=\frac {2x} {(1-x)^2} - x\)

Hierbij is a > 0

Deze wil ik graag oplossen naar x. Ik ben overigens op zoek naar de oplossing \(0 \leq x \leq 1\)

Als ik de vergelijking uitschrijf vind ik

\(x^3 + (a-2)x^2 - (2a+1)x + a =0\)

Dit (of de eerstgenoemde vergelijking) kan ik domweg in Wolfram Alpha of iets vergelijkbaars inkloppen, of zelf oplossen via een algemene methode, wat op zich prima is. Maar ik vroeg me af of het in dit specifieke geval mogelijk is om dit te herschrijven, ontbinden in factoren, en zo een uitdrukking voor de wortels kan opleveren; wat ik een wat elegantere methode vind.

Ikzelf zie dit niet, maar misschien dat iemand die wel over een wiskundeknobbel beschikt hier iets over kan zeggen.

[Safe]

Hoe bedoel je oplossen? Je hebt a als functie van x, dus bij elke waarde van x behoort een waarde van a.

Maak eens een grafiek van die functie ...

Overigens mag x geen 1 zijn, waarom niet?

[Marko]

Oplossen naar x; voor een gegeven, of bekende, waarde van a wil ik x berekenen. Als je dat liever hebt kan ik hem ook herschrijven als

\(\frac{2x}{(1-x)^2}-x-a=0\)

hetgeen ik wil oplossen naar x.

x kan inderdaad niet gelijk zijn aan 1, dat was een typfout.

[In physics I trust]

Voor zover mijn kennis daarover reikt:

* je kan uiteraard steeds een algemene methode volgen of wolfram/... gebruiken

* de enige eenvoudige ontbindingsmethode waarmee je wortels vindt, is de methode van Horner, dus proberen met de delers van de constante term, a. En dat lijkt me hier niets op te leveren. Maar ik kan me uiteraard ook vergissen.

[Drieske]

* de enige eenvoudige ontbindingsmethode waarmee je wortels vindt, is de methode van Horner, dus proberen met de delers van de constante term, a. En dat lijkt me hier niets op te leveren. Maar ik kan me uiteraard ook vergissen.

Dat levert hier inderdaad niets op, maar dat is ook wel omdat we van a "zo" zeer weinig weten. De enige zekere delers zijn (op teken na) 1 en a zelf. Geen van deze 4 geeft iets. Maar in een concrete situatie weet je veel meer: je kunt namelijk de priemdelers gaan bepalen dan. Maar dat is niet wat Marko wil, denk ik (iets specifieks invullen)?

Je kunt btw steeds de methode die je een algemene formule geeft voor de wortels van een derdegraadsvergelijking toepassen. Maar of dat nuttiger is dan die algemene formule gewoon gebruiken ...

[Safe]

hetgeen ik wil oplossen naar x.

x kan inderdaad niet gelijk zijn aan 1, dat was een typfout.

Is dat echt analytisch nodig?

Het is ook mogelijk via een tabel te werken als een benaderde waarde voldoende is.

[Marko]

Nee, nodig is het niet. Uiteindelijk heb ik enkel de waarde van x nodig, en die kan ik dan weer ergens anders invullen en toepassen. Op zich is dat voldoende.

Maar mocht er voor dit specifieke geval een redelijk eenvoudige uitdrukking zijn die de gevraagde x geeft als functie van a, dan is dat een mooie bonus.

Wat ik in gedachten had: Stel je hebt een vergelijking

\(x^2 + (6+a)x + 6a = 0\)

Dan kun je eenvoudig zien dat dit ontbonden kan worden in (x+6)(x+a)=0, waaruit de oplossingen direct volgen.

Ik vroeg me af of iets vergelijkbaars mogelijk zou zijn voor de vergelijking die ik gaf. Ik mis het wiskundig inzicht om dit direct te "zien".

Misschien ook goed om de gehele situatie te beschrijven. Ik heb de vergelijkingen:

\(a=x+y+z\)

\(b=w+z\)

Verder geldt het volgende verband tussen x en y:

\(x+y=\frac x {(1-x)^2}\)

En het volgende verband tussen w, x en z:

\(z=h*w*x\)

Mijn einddoel is een verband tussen a en b, voor het geval dat y=z

[317070]

\(x^3 + (a-2)x^2 - (2a+1)x + a =0\)

1) Je kunt altijd dit proberen: http://en.wikipedia....ormula_of_roots

Het helpt dikwijls als eerste stap om te kijken of een eenvoudige uitdrukking wel zou bestaan. Als je de tijd neemt kun je hieruit de exacte oplossing afleiden. A.d.h.v. die oplossing kun je dan een elegante manier naar dezelfde oplossing 'zien'.

2) zowel x=-a en x=1 lijken me hier wel degelijk oplossingen (zoals dries al suggereerde kun je die eerste kandidaat-oplossingen eenvoudig afleiden uit de +a op het einde), al ben ik ladderzat momenteel.

\((x+a)(x-1)(x-1)=(x+a)(x^2-2x+1) = x^3 + (a-2)x^2 - (2a+1)x + a =0\)

[Drieske]

Neem gewoon eens de vergelijking van Marko: x³ + (a-2) x² - (2a+1)x + a = 0. Vul nu x=-1 in: (1)³ + (a-2)(1)² - (2a+1)(1) + a = 1 + (a-2) - (2a + 1) + a. En dat is toch echt niet 0? Nu x=-a: (-a)³ + (a-2)(-a)² - (2a+1)(-a) + a = -a³ + (a³ - 2a²) + (2a² + a) + a = 2a.

Je telfout zit volgens mij in je laatste gelijkheid, en heel specifiek in de term "-(2a + 1)x".

Edit: ik had mis gelezen, je had x=1 voor ogen. Aangepast.

[317070]

Je telfout zit volgens mij in je laatste gelijkheid, en heel specifiek in de term "-(2a + 1)x".

Inderdaad, sorry.

[Marko]

Goed gevonden

Helaas zijn zowel x=-a als x=1 fysisch geen relevante oplossingen. x=1 voldoet (zie het eerdere bericht van Safe) sowieso niet vanwege delen door (1-x)²

Ik merk dat ik mijn vraag meer had moeten specificeren, de randvoorwaarden zijn niet duidelijk genoeg gesteld. Excuses daarvoor.

Voor a geldt dat \(a \geq 0\)

Voor x geldt \( 0 \leq x < 1\)

In feite zijn zelfs enkel x-waardes \(1-\frac {\sqrt 2}2 \leq x < 1\) interessant.

[Drieske]

Goed gevonden

Helaas zijn zowel x=-a als x=1 fysisch geen relevante oplossingen.

Heb je mijn bericht gezien? Dat zijn gewoon geen oplossingen... Of ik begrijp je verkeerd.

En heb je het met die algemene formule al eens geprobeerd? Dan zie je tenminste al of er een mooie oplossing is.

PS: voor a=0 is het eenvoudig.

[tempelier]

Begin eens bij het begin en maak eens een schets van.

\(f(x) = \frac {2x} {(1-x)^2} - x \)

Dan zie je hoe de zaak verloopt.

PS: Belangrijk bij derde graads vgl. is het om te weten hoeveel reëele oplossingen er zijn.

[Marko]

Heb je mijn bericht gezien? Dat zijn gewoon geen oplossingen... Of ik begrijp je verkeerd.

Nee, je begrijpt het goed. Maar ik had jullie berichten misgelezen

En heb je het met die algemene formule al eens geprobeerd? Dan zie je tenminste al of er een mooie oplossing is.

Hoe bedoel je dat precies? a, b, c en d invullen en dan uitwerken?

PS: voor a=0 is het eenvoudig.

Wel eenvoudig, maar niet zinvol (met het oog op de toepassing)

[Safe]

@Marko,

Is het nodig dat je een berekening toepast?

Hoe implementeer je, op dit moment, een bepaalde a om x te vinden?

Wat is het bezwaar om met een tabel te werken?

Is h, in z=h*w*x, een (bekende) constante?