betekenis van dx in een integraal

[dannypje]

Hoi,

in een ander draadje (http://sciencetalk.nl/forum/index.ph ... lijkingen/) werd mij verteld dat dx in een integraal blijkbaar een afgeleide is.

Ik heb altijd geleerd dat dx de limietvorm is van 'delta x', een begrip dat gebruikt wordt om via ondersom en bovensom de integraal te bepalen, en waarbij 'delta x' de breedte van een rechthoekje is met als 'lange' zijde f(x). Door de oppervlakte van al die rechthoekjes op te tellen bekom je dan de oppervlakte onder de curve, wat dus eigenlijk de integraal is.

Echter, op 1 of andere manier heb ik ook wel door dat die dx iets anders betekent dan zomaar een oneindig kleine breedte van een rechthoek.

Hoe zit dat nu juist ? Wat is dx, en hoe kom je eraan ?

[Safe]

Ik heb altijd geleerd dat dx de limietvorm is van 'delta x', een begrip dat gebruikt wordt om via ondersom en bovensom de integraal te bepalen, en waarbij 'delta x' de breedte van een rechthoekje is met als 'lange' zijde f(x). Door de oppervlakte van al die rechthoekjes op te tellen bekom je dan de oppervlakte onder de curve, wat dus eigenlijk de integraal is.

Klopt helemaal ...

dx is een differentiaal die altijd gepaard moet gaan met (bv) dy waarbij y beschouwd wordt als een differentieerbare functie van x, dus:

y =f(x) met dy/dx=f'(x).

Hetgeen je kan schrijven als dy=f'(x)dx, in deze zin kan je 'zien' dat de functie gedifferentieerd is naar x.

Als je over wilt stappen naar een andere functie via een substitutie t(x), moet t natuurlijk eveneens differentieerbaar naar x zijn.

De rekenregels voor differentialen zijn (uiteraard) dezelfde als die voor differentiëren.

Dit is natuurlijk een beknopte 'uitleg' van deze notatie.

Zie ook de uitleg van Evilbro post #3 uit de vorige thread.

Opm: In differentiaalverg is deze notatie normaal.

[EvilBro]

in een ander draadje (http://www.wetenscha...vergelijkingen/) werd mij verteld dat dx in een integraal blijkbaar een afgeleide is.

Dat is je daar helemaal niet verteld. Er is je daar verteld dat dx niks met lengte te maken heeft maar onderdeel is van de notatie van een integraal (en afgeleide).

[dannypje]

Dan ga je inderdaad die dx die onder de breukstreep staat naar het andere lid brengen alsof het een vermenigvuldiging is, wat ik ook aanhaalde in de vorige draad, maar waar evilbro dan vertelde dat dit mag, niet omdat dx een 'breedte' is , maar omdat het een afgeleide is en hij bewees dat via de kettingregel.

Maar mijn vraag is juist, hoe ga je van het begrip 'breedte' in de ondersom en bovensom, over naar het begrip dx als afgeleide.

EDIT: of laat ik het anders stellen: als ik de oppervlakte onder een bepaalde curve wil berekenen (met een bepaalde integraal), dan zie ik niet goed in wat de zogenaamde primitieve van die curve erbij komt doen.

[dannypje]

Dat is je daar helemaal niet verteld. Er is je daar verteld dat dx niks met lengte te maken heeft maar onderdeel is van de notatie van een integraal (en afgeleide).

Ow, juist, I see. Maar ik blijf met mijn vraag zitten. Hoe ga ik van het concept ondersom/bovensom, waarbij delta x wel degelijk een breedte is, over naar het begrip integraal met die dx erin ?

[EvilBro]

\(L = \lim_{x \rightarrow 0} x = 0\)

De limiet L is 0. Het is niet iets wat zeer dicht bij 0 zit. Het is gewoon 0. Als je L nu dx noemt en x noem je \Delta x dan verandert er natuurlijk niks. Je krijgt dan dat dx gelijk is aan nul. Het moge duidelijk zijn dat dit dus niet als heel kleine breedte gezien kan worden.

\(\int f(x) dx = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_k f(k \Delta x) \Delta x\)

Oppervlakkig lijkt de term rechts op de term links. Dit is waarschijnlijk ook de oorsprong van deze notatie. Als je wat nauwkeuriger kijkt dan zie je echter dat er geen een op een relatie is tussen beide termen. Je kan niet selectief naar de rechterkant kijken en dan zeggen dat de limiet en de

\(\Delta x\)

gelijk zijn aan dx.

Je moet het volgende zien als 1 ding:

\(\int dx\)

[dannypje]

\(L = \lim_{x \rightarrow 0} x = 0\)

De limiet L is 0. Het is niet iets wat zeer dicht bij 0 zit. Het is gewoon 0. Als je L nu dx noemt en x noem je \Delta x dan verandert er natuurlijk niks. Je krijgt dan dat dx gelijk is aan nul. Het moge duidelijk zijn dat dit dus niet als heel kleine breedte gezien kan worden.

\(\int f(x) dx = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_k f(k \Delta x) \Delta x\)

Oppervlakkig lijkt de term rechts op de term links. Dit is waarschijnlijk ook de oorsprong van deze notatie. Als je wat nauwkeuriger kijkt dan zie je echter dat er geen een op een relatie is tussen beide termen. Je kan niet selectief naar de rechterkant kijken en dan zeggen dat de limiet en de

\(\Delta x\)

gelijk zijn aan dx.

Je moet het volgende zien als 1 ding:

\(\int dx\)

EvilBro,

ik wil best aannemen dat je

\(\int dx\)

als 1 ding moet zien hoor, maar ik blijf me afvragen hoe ze van het begrip ondersom/bovensom tot die primitieve gekomen zijn.

Als de integraal gelijk is aan de limiet zoals jij schrijft, zou je dan links en rechts kunnen afleiden naar x en zo aantonen dat de afgeleide van de integraal van een functie terug de functie is ?

En in wetenschappelijke takken wordt toch heel dikwijls gewerkt met dx als iets 'heel kleins' wat dan bij integreren een volledige formule geeft he. Denk maar aan de definitie van ogenblikkelijke snelheid v=ds/dt, wat na integreren v = s/t oplevert. Niet ?

[mathfreak]

Denk maar aan de definitie van ogenblikkelijke snelheid v=ds/dt, wat na integreren v = s/t oplevert. Niet ?

De formule

\(v=\frac{s}{t}\)

is alleen maar geldig bij een eenparig rechtlijnige beweging. Uitgaande van

\(v=\frac{ds}{dt}\)

zou je kunnen stellen dat dan ook

\(vdt=\frac{ds}{dt}dt\)

, dus ds = vdt,

waaruit dan s = ∫vdt volgt.