Machten grafisch/visueel weergeven

[Pieter B]

Een goede zondagochtend,

ten eerste vroeg ik mij af: is het nu zo dat a^x - b^x = a-b^x?

ten tweede vroegik mij af: is er nu een manier waarmee volgens een eenvoudig principe de hoeveelheid die een macht voor stelt kan worden uitgedrukt? ter verduidelijking: Wanneer je 2 + 3 grafisch wil uitdrukken kun je een lijn van 2 en een lijn van 3 nemen, en deze tegen elkaar aanplakken. de lijn is dan 5

Wanneer je 2 x 3 grafisch wil uitdrukkken kun je een lijn van 2 in een rechte hoek met een lijn van 3 tekenen en vervolgens even simpel gezegd 'hokjes tellen'

Wanneer je 2 ^ 3 grafisch wil uitdrukken.......... zou je nog een kubus met ribbe 2 kunnen gebruiken, maar bij hogere machten houdt dit snel op. dit is dus ook geen bevredigende manier. ik vroeg mij af of er wel een makkelijkere manier is om bijvoorbeel 6^7 makkelijk en snel te bepalen.

ik hoor het graag

[Drieske]

ten eerste vroeg ik mij af: is het nu zo dat a^x - b^x = a-b^x?

Heb je dat op voorbeelden geprobeerd? Bijv: is 2^x - 1^x = (2-1)^x als je voor x bijv 2 of 3 of... neemt?

[Pieter B]

Heb je dat op voorbeelden geprobeerd? Bijv: is 2^x - 1^x = (2-1)^x als je voor x bijv 2 of 3 of... neemt?

ja en dan komt het niet uit. Toch is dit wel hetgene wat iemand die ik wiskundig hoog heb zitten mij heeft verteld, vandaar de twijfel. Maar ik kan dus de conclusie trekken dat het niet klopt neem ik aan.

hoe zit het dan wel?

als je nu 8^6 - 5^6 hebt, valt dat dan nog te vereenvoudigen?

[Drieske]

Het klopt zeer zeker niet. Zeker dat je het juist geïnterpreteerd hebt? Want mondeling kunnen zaken verwarrend overkomen, zeker bij wiskunde. Als jouw interpretatie van zijn woorden, klopte, zat hij alleszins serieus fout.

Ivm je tweede vraag: er zijn wel 2 delen aan je vraag. Beiden hoeven niet hetzelfde te zijn. Je hebt enerzijds het aspect van iets voorstellen en anderzijds het aspect van makkelijk berekenen. Ik ben het eens dat "^3" een mooie voorstelling heeft in de kubus. Maar is dat makkelijk om mee te rekenen? Bijv: 12^3, kun je dat makkelijker berekenen via de kubus?

[Pieter B]

Okay, het gaat me voornamelijk om het makkelijk en correct uitbeelden. Met makkelijk bedoel ik dat je alleen de 2 variabelen hoeft te kiezen (bij a^b dus a en b), en met correct dat alle 'eenheden' hierbij wel even groot blijven, zodat je ook echt een natuurgetrouwe situatie krijgt. dus niet dat het vakje dat 3 voorstelt bijvoorbeeld 10 keer zo groot is als het vakje dat (ik noem maar wat) 2 voorstelt.



ik noemde makkelijk te berekenen omdat ik al een maniertje bedacht had, maar dat is eigenlijk de mach opsplitsen in 2 getallen, waardoor je bijvoorbeeld bij 6^7 alsnog 6^3 en 6^4 moet berekenen. dat is natuurlijk niet de bedoeling.

[Safe]

Okay, het gaat me voornamelijk om het makkelijk en correct uitbeelden. Met makkelijk bedoel ik dat je alleen de 2 variabelen hoeft te kiezen (bij a^b dus a en b), en met correct dat alle 'eenheden' hierbij wel even groot blijven, zodat je ook echt een natuurgetrouwe situatie krijgt. dus niet dat het vakje dat 3 voorstelt bijvoorbeeld 10 keer zo groot is als het vakje dat (ik noem maar wat) 2 voorstelt.

Is het duidelijk dat machten van natuurlijke getallen snel toenemen.

Bv y=2^x levert met x=10 al 1024 op, Dus als je dit grafisch wilt weergeven wat denk je dan ... ?

[Pieter B]

Is het duidelijk dat machten van natuurlijke getallen snel toenemen.

Bv y=2^x levert met x=10 al 1024 op, Dus als je dit grafisch wilt weergeven wat denk je dan ... ?

Het is me bekend dat machten van natuurlijke getallen snel toenemen. ik neem aan dat je doelt op het feit dat je dan een erg groot figuur krijgt, dat zou kunnen, is mijn inziens niet noodzakelijk, maar maakt me ook niet zoveel uit, want ik denk dat het al moeilijk genoeg is om het uberhaupt op de een of andere manier uit te beelden. als dat lukt neem ik de afmetingen op de koop toe.

een vraag die een beetje verwant is met de eerdere vraag is: valt een vijdimensionaal object nog uit te beelden? of is dat onmogelijk?

bovendien ben ik nog steeds erg benieuwd of a^x - b^x nog te vereenvoudigen valt.

[Drieske]

een vraag die een beetje verwant is met de eerdere vraag is: valt een vijdimensionaal object nog uit te beelden? of is dat onmogelijk?

Dat is onmogelijk.

bovendien ben ik nog steeds erg benieuwd of a^x - b^x nog te vereenvoudigen valt.

In veel gevallen wel. Afhankelijk van wat je bedoelt met "vereenvoudigen". Ken je de formule a²-b² = (a-b)(a+b)?

[Safe]

want ik denk dat het al moeilijk genoeg is om het uberhaupt op de een of andere manier uit te beelden. als dat lukt neem ik de afmetingen op de koop toe.

Vertel eens wat je bedoeling is met zo'n grafiek ...

bovendien ben ik nog steeds erg benieuwd of a^x - b^x nog te vereenvoudigen valt.

In 't algemeen niet, alleen als x een even getal is (zie de post van Drieske).

[Pieter B]

Dat is onmogelijk.

Ok, duidelijk. Maar een projectie ervan moet denk ik dan weer wel kunnen. Immers kan je ook een 3d kubus uitdrukken in 2d. De hokjes worden dan in 2D niet even groot weergegeven, maar met het geven dat het 3D is valt uit het twee-d plaatje valt wel de inhoud te bepalen. is er ergens waar ik daar meer informatie over kan vinden?

In veel gevallen wel. Afhankelijk van wat je bedoelt met "vereenvoudigen". Ken je de formule a²-b² = (a-b)(a+b)?

Ja, hoewel ik de link in eerste instantie niet had gelegd. Uit de post van safe begrijp ik dat het alleen geldt wanneer x een even getal is.

Dit betekent dan denk ik dat:

a²-b² = (a-b)(a+b)

a⁴-b⁴ = (a-b)(a+b)(a-b)(a+b)

a⁶-b⁶ = (a-b)(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)

klopt dat?

Valt er nog iets te doen met de oneven gevallen? of valt a³-b³gewoonweg niet te ontbinden in factoren?

Vertel eens wat je bedoeling is met zo'n grafiek ...

het klinkt misschien wat simpel, maar mn bedoeling met zo'n grafiek/figuur is het kunnen uitbeelden (en daarmee voorstellen) van machten, zoals je dat ook met keer en plus kan doen. Op die manier hoop ik dan weer wat meer inzicht te krijgen in hoe machten precies groter worden en zich gedragen.

[Drieske]

Ok, duidelijk. Maar een projectie ervan moet denk ik dan weer wel kunnen. Immers kan je ook een 3d kubus uitdrukken in 2d. De hokjes worden dan in 2D niet even groot weergegeven, maar met het geven dat het 3D is valt uit het twee-d plaatje valt wel de inhoud te bepalen. is er ergens waar ik daar meer informatie over kan vinden?

Ik zal eens zoeken, maar ik zou er niet te veel op hopen dat dat wat nuttigs geeft .

Ja, hoewel ik de link in eerste instantie niet had gelegd. Uit de post van safe begrijp ik dat het alleen geldt wanneer x een even getal is.

Dit betekent dan denk ik dat:

a²-b² = (a-b)(a+b)

a⁴-b⁴ = (a-b)(a+b)(a-b)(a+b)

a⁶-b⁶ = (a-b)(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)

klopt dat?

Niet volledig. Neem bijv eens a=2 en b=1, dan krijg je 15 = 2⁴ - 1⁴= (2-1)(2+1)(2-1)(2+1) = 9. Wat wel geldt: a⁴- b⁴ = (a²)² - (b²)² = (a²-b²)(a²+b²). Zou je nu a⁶ - b⁶ zelf kunnen bedenken?

Valt er nog iets te doen met de oneven gevallen? of valt a³-b³gewoonweg niet te ontbinden in factoren?

Afhankelijk of je dit wat vindt: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²).

[Pieter B]

Niet volledig. Neem bijv eens a=2 en b=1, dan krijg je 15 = 2⁴ - 1⁴= (2-1)(2+1)(2-1)(2+1) = 9. Wat wel geldt: a⁴- b⁴ = (a²)² - (b²)² = (a²-b²)(a²+b²). Zou je nu a⁶ - b⁶ zelf kunnen bedenken?

Ik vermoed dan dat a⁶ - b⁶ = (a³-b³)(a³+b³). Hier zou je dan ook weer die formule die je later noemde in kunnen plakken.

Afhankelijk of je dit wat vindt: a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²).

Opzich vindt ik dit wel wat, maar, valt het dan ook enigzins eenvoudig te 'transformeren' voor hogere machten. dat kan ik zelf helaas niet beredeneren. Hoe ziet a⁵ - b⁵er uit? is dat iets van a⁵ - b⁵ = (a³-b³)(a² + ab + b²). (gokje)

[Safe]

Hoe ziet a⁵ - b⁵er uit? is dat iets van a⁵ - b⁵ = (a³-b³)(a² + ab + b²). (gokje)

Een gokje kan geen kwaad, maar je kan zelf controleren door voor a en b getallen te kiezen. Eventueel gebruik je de RM.

Maar nogmaals, wat heeft dit met visualiseren te maken.

Je kan een grafiek maken van een functie met één variabele bv f(x)=2^x.

Als het je om ontbinden gaat bv a^3-b^3, of a^3+b^3 enz, valt er niet veel te visualiseren.

Dus wat is je bedoeling?

[Pieter B]

Maar nogmaals, wat heeft dit met visualiseren te maken.

Je kan een grafiek maken van een functie met één variabele bv f(x)=2^x.

Als het je om ontbinden gaat bv a^3-b^3, of a^3+b^3 enz, valt er niet veel te visualiseren.

Dus wat is je bedoeling?

Ja maar volgens mij ben ik juist opzoek naar een 'grafiek' waarin allebei (in a^x dus zowel a als x) als variabelen worden uitgedrukt.

Mijn bedoeling is op een simpele manier visueel weer te geven wat er bijvoorbeeld gebeurt bij 3^7 - 4^4. Net zoals dat je om '17*38 - 13*2' uit te drukken een vierkant kan tekenen van 17 bij 38 en daarbinnen een vierkant van 13 bij 2, en het gebied dat dan binnen 1 valt maar buiten 2 is dan het antwoord.

Bij machten ben ik opzoek naar iets gelijkwaardigs. Ik heb dus al geprobeerd zelft wat te bedenken maar dat blijkt moeilijker dan het lijkt. het zou best volgens mij best zo kunnen zijn dat juist het ontbinden in factoren wel een oplossing kan bieden.

[Safe]

Mijn bedoeling is op een simpele manier visueel weer te geven wat er bijvoorbeeld gebeurt bij 3^7 - 4^4. Net zoals dat je om '17*38 - 13*2' uit te drukken een vierkant kan tekenen van 17 bij 38 en daarbinnen een vierkant van 13 bij 2, en het gebied dat dan binnen 1 valt maar buiten 2 is dan het antwoord.

Je bedoelt hier een rechthoek binnen een rechthoek ... ? Dit kan een interpretatie zijn, maar dan ben je met een 'praktische' toepassing bezig.

Wat is je vooropleiding, heb je wiskundevakken in je opleiding nu?

Bij machten ben ik opzoek naar iets gelijkwaardigs. Ik heb dus al geprobeerd zelft wat te bedenken maar dat blijkt moeilijker dan het lijkt. het zou best volgens mij best zo kunnen zijn dat juist het ontbinden in factoren wel een oplossing kan bieden.

Met basiswiskunde wordt aandacht besteed aan ontbinden in factoren