Vierkantswortels bij een som/verschil

[Dominus Temporis]

Hoi allemaal

Laatst was ik bezig met...iets..en ik stoot op een verband tussen

\(\sqrt{a^2-b^2}\)

en

\(\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}\)

:

\(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2}-\sqrt{b^2}}=\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\)

Ik wil nu niet weten of dit al bekend was (want ja, dat zal wel zo), maar hoe kun je dit bewijzen?

Dankje

-S.

[Drieske]

Dit is niet waar voor alle a en b... Heb je nog voorwaarden erop liggen?

Wat je sowieso kunt doen:

\(\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}} = \frac{\sqrt{a+b}\sqrt{a-b}}{|a| - |b|}\)

.

Als de gelijkheid moet gelden, krijg je dus:

\(\frac{\sqrt{a+b}\sqrt{a-b}}{|a| - |b|} = \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}\)

.

En dit herleidt zich dan weer toch, daar

\(\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|\)

, de voorwaarde dat

\(|a|-|b| = |a-b|\)

. En dat is niet voor alle a en b zo.

[Dominus Temporis]

nu ja...a is niet gelijk aan b en a > b...geldt het dan?

en laat ons zeggen dat a en b strikt positief zijn

[Drieske]

Dan geldt het ja. En mijn stappen hierboven tonen meteen dat het alleen dan geldt. En geeft je ook meteen het bewijs .

[Dominus Temporis]

wacht eens even...is

\(\sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{a+b}\sqrt{a-b}\)

??

Dit wist ik nog niet (:

ach ja, wat dom van me nu schaam ik me...a²-b² = (a+b)(a-b)...

[Drieske]

Ja, er geldt dat

\(\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}\)

als x en y positief zijn. En verder: a² - b² = (a+b)(a-b). Als x en y negatief zijn, valt er een mouw aan te passen.

Overigens zou jouw "formule" gewoon niet kunnen gelden voor negatieve a en b, want dan zit je met een wortel uit een negatief getal .

[Dominus Temporis]

Ja, er geldt dat

\(\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}\)

als x en y positief zijn. En verder: a² - b² = (a+b)(a-b). Als x en y negatief zijn, valt er een mouw aan te passen.

Overigens zou jouw "formule" gewoon niet kunnen gelden voor negatieve a en b, want dan zit je met een wortel uit een negatief getal .

tja...deze begrijp ik niet:

\(\sqrt{-1\cdot -1} = \sqrt{(-1)^2} = 1 \)

is dus niet gelijk aan

\(\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}\)

...of wel? is hier een regel voor? werk je hierbij met (1)i?

[Drieske]

Als je begint met negatieve wortels, kom je in het vaarwater van complexe getallen, en dan wordt het gevaarlijk ja. Hou het dus maar bij positieve getallen onder de wortel .