Beredeneren waarom de acceleratie van een vallend object niet afhankelijk is van de massa

[anusthesist]

Mag je als volgt beredeneren waarom de acceleratie van een vallend object niet afhankelijk is van de massa?



Voor massa 1 vullen we 1 kg in. Massa 2 is de massa van de aarde.

Hieruit volgt een bepaalde kracht die op de aarde en massa 1 werkt.

Voor massa 1 vullen we nu 2kg in. Massa 2 is opnieuw de massa van de aarde.

Hieruit volgt een kracht die 2 keer zo groot is.



Uit bovenstaande formule halen we dat als de kracht 2 keer zo groot is en de massa 2 keer zo groot, de acceleratie hetzelfde blijft.

[Jan van de Velde]

Sluitende redenering. Geen speld tussen te krijgen.

\(a=\frac{F}{m_1}\)

(1)

\(F=G \frac{m_1 m_2}{r^2} \)

(2)

substitueer (2) in (1)

\(a=G \frac{m_1 m_2}{m_1 r^2} \)

m₁ valt weg, zwaartekrachtversnelling is onafhankelijk van de massa van het beschouwde voorwerp.

[anusthesist]

Dank voor je antwoord! Jij doet het alleen iets eleganter

Was naar aanleiding van een online college van Walter Lewin op zoek gegaan naar een simpele verklaring hiervoor, maar heel veel sites doen zo verschrikkelijk moeilijk.

Dan maar zelf beredeneerd.

[Jan van de Velde]

Overigens, als je toch wil redeneren, mogelijk beter het formulewerk weglaten (daarmee ondersteun je je redenering alleen maar wiskundig)

Op een 3 x zo zwaar voorwerp werkt een 3 x zo grote zwaartekracht.

Echter, voor een even grote versnelling is voor een 3 x zo zwaar voorwerp ook een 3 x zo grote kracht nodig.

Ergo, lichtere en zwaardere voorwerpen zullen vallend een even grote versnelling ondergaan. (wrijving en Archimedes-effecten verwaarloosd)

[Michel Uphoff]

Galilei zou ooit zijn bewijs voor de massaonafhankelijke versnelling met een gedachtenexperiment als volgt aan een kritisch gehoor van andersdenkenden duidelijk gemaakt hebben:

"Ik neem een holle bol van 10 kg en een kleine massieve bol van 1 kg en verbind beide bollen met een touw aan elkaar en laat het geheel vallen. Wat is volgens u heren de juiste observatie?"

De heren kwamen tot de conclusie dat de sneller vallende zware bol het touw strak zou trekken en de langzamer vallende lichte bol in zijn vaart zou meesleuren. De lichtere dus langzamer bol zou op zijn beurt de zwaardere bol wat af moeten remmen. Het resultaat moest volgens de heren dus zijn dat het geheel langzamer moest vallen dan de zware bol en sneller dan de lichte bol.

Vervolgens vroeg Gallilei wat er zou gebeuren als de lichtere bol in de zwaardere bol zou worden geplaatst. Zou dat iets aan de observatie mogen veranderen?

De heren voelden al nattigheid, maar konden niet anders dan concluderen dat dit niet uit zou mogen maken, de lichtere bol zou nog steeds de zwaardere afremmen en andersom zou de zwaardere bol de lichtere moeten versnellen. Waarop Galilei vroeg wat in feite het verschil was tussen deze samengestelde bol en een massieve bol van 11 kg die volgens de heren altijd sneller zou moeten vallen dan een van 10 kg.

Stilte, en gewriemel in lange baarden. Galilei had zonder een formule te gebruiken aangetoond dat wat eeuwenlang als vaststaand aangenomen werd foutief moest zijn.

Of deze conversatie werkelijk heeft plaatsgevonden is mij niet bekend.

[Jan van de Velde]

Hmm, daar had ik ook wel aan kunnen denken. Ik kende deze anecdote niet, maar hij lijkt aardig op wat ik in de klas gebruik om de denkfout te doorbreken.

laat twee losse bakstenen vallen: raken ze gelijktijdig de grond? Ja.

Ik verbindt de bakstenen met een touwtje met een meter ertussen: raken ze gelijktijdig de grond? Ja.

Vallen ze sneller of langzamer dan zonder touwtje? Nee.

Ik maak het touwtje korter: raken ze gelijktijdig de grond? Ja.

Vallen ze sneller of langzamer dan daarnet? Nee.

Nog korter: raken ze gelijktijdig de grond? Ja.

Vallen ze sneller of langzamer dan daarnet? Nee.

Nóg korter, een centimetertje: raken ze gelijktijdig de grond? Ja.

Vallen ze sneller of langzamer dan daarnet? Nee.

Ten slotte gebruiken we het touwtje om beide bakstenen tot één grote baksteen te verbinden.

Vallen ze sneller of langzamer dan daarnet? .................

[aadkr]

Je hebt hier de algemene gravitatiewet van Newton gebruikt

\(F_{Z}=G \cdot \frac{M_{1}\cdot m_{aarde}}{({R_{aarde}})^2} \)

Formeel gesproken is dit niet helemaal juist

Ga zelf na waarom niet.

[Jan van de Velde]

Ik weet niet waar wij formeel misgaan. Ik hoop niet dat je doelt op R_aarde? Want die gebruiken wij niet, we gebruiken gewoon "r" als in afstand tussen massamiddelpunten.

[aadkr]

Dat ben ik helemaal met je eens

Wat ik bedoelde uit teleggen is dat als je de massa M1 laten we zeggen van 1 km boven het aardeoppervlak laat vallen , dat dan de zwaartekrachtversnelling iets kleiner is dan de zwaartekrachtversnelling als de massa M1 het aardoppervlak bereikt . Voor de rest maakt het voor het verhaal niet uit De topicstarter heeft het uitstekend begrepen

[jkien]

Of deze conversatie werkelijk heeft plaatsgevonden is mij niet bekend.

In Galilei's Discorsi is dat een conversatie van Salviati en Simplicio: wikipedia

[Michel Uphoff]

Galilei's Discorsi

Het was dus inderdaad een gedachtenexperiment van de grote meester zelf.

Dank voor de tip!