[microcursus] formules herschrijven / vergelijkingen oplossen

[Jan van de Velde]

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen cursussen, FAQ's en handleidingen.

Bij deze cursus zijn ook een aantal oefenopgaven gemaakt, deze vind je onder de cursus.

Als je van deze cursus gebruik maakt, willen we je vriendelijk vragen te laten weten wat je er van vond:

• Geef eventuele foutjes aan;
• Zijn de onderdelen soms onduidelijk, of net erg helder?
• Ontbreken er volgens jou stukken, of heb je suggesties?
• ...

Reageren kan in vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven. We wensen je veel plezier en succes met cursus.


---------------------------------------------------------------------------------------
 

[microcursus]

FORMULES HERSCHRIJVEN / VERGELIJKINGEN OPLOSSEN

( formule omschrijven, formule omzetten, formule verbouwen, formule ombouwen, formule oplossen, formule herleiden, dimensie analyse)

Auteurs: Jan van de Velde, StrangeQuark, Phys


1 Inleiding en inhoudsopgave

Je kent snelheid "v" en tijd "t" , en moet de afstand "s" berekenen met behulp van de formule  . 

Heb je moeite met het vinden van de oppervlakte A in de weerstandformule  ?

Of hoe zat het ook alweer om uit  de I te halen?

Als het goed is zul je dit na het lezen van deze cursus uit je mouw kunnen schudden!


Inhoudsopgave


2 Benodigde voorkennis


3 Hoe ziet een formule eruit?


4 Algemene aanpak (balansmethode)
4.1 Vergelijkingen met "plus" en "min"

4.2 Vergelijkingen met "keer" en "gedeeld door"

4.3 Tips en valkuilen (rekenkundig)
 
5 Ezelsbruggetjes voor eenvoudige formules
5.1 De zes-drie-twee formule

5.2 Het formuledriehoekje
 
6 Andere bewerkingen
6.1 machten en wortels

6.2 machten en logaritmen

6.3 goniometrie: sinus en boogsinus (enz)
 
7 Eenhedenvergelijkingen

[Jan van de Velde]

2 Benodigde voorkennis

Voor het belangrijkste deel van deze cursus heb je alleen maar basisschoolkennis van wiskunde (rekenkunde) nodig.
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, rekenen met breuken.
Zie voor dit laatste ook onze microcursus: Rekenen met breuken.
Een beetje kunnen letterrekenen is ook wel handig. Ben je ook daar niet sterk in? Geen nood: voor de simpelere "formules" hebben we een paar handige hulpmiddeltjes voor je.
Wat ingewikkelder vergelijkingen vereisen basiskennis over machten en wortels, logaritmen, en goniometrie.

[Jan van de Velde]

Om te leren werken met formules, moeten we eerst een formule hebben. Eentje die makkelijk is heeft te maken met electriciteit. 
Het is maar een voorbeeld, je hoeft de formule niet te kennen. Spanning is stroomsterkte keer weerstand ,  

In het midden zien we het "=" teken. Dat is een "gelijkheidsteken". 
Dat betekent simpelweg dat wat er links van staat gelijk is aan wat er rechts van staat (duhh).

Als je twee dingen die aan elkaar gelijk zijn aan weerszijden op een balans legt,dan is de balans in evenwicht.

In de wiskunde noemen we zoiets ook wel een vergelijking, je vergelijkt het een met het ander.

Een formule is dus niks anders dan een wiskundige vergelijking.

 

 

 

u=IxR 541 keer bekeken

 

 
Laten we wat links staat het "linkerlid" noemen, wat rechts staat het "rechterlid". 

 

 
De formule  is bedoeld om U te berekenen als I en R gegeven zijn. 

Stel:
stroomsterkte is 2 ampère: I= 2 A

weerstand is 3 ohm : R = 3 Ω
dan is de spanning U makkelijk te berekenen:

 

 
Het wordt lastiger als het sommetje wordt:

 
U= 12 V

I = 4 A

Hoe groot is de weerstand??
Het probleem is dat je gevraagde grootheid niet meer in zijn eentje aan één kant van de vergelijking staat

 

 
Met eenvoudige getalletjes zien de meesten dan nog wel dat R gelijk moet zijn aan 3 Ω, maar bij wat ingewikkelder getallen is het niet allemaal zo duidelijk en gaat het vaak mis. 

Het doel van het hérschrijven van je formule wordt dus om ervoor te zorgen dat je onbekende in zijn ééntje aan één kant van de vergelijking komt te staan. Alles wat in hetzelfde lid staat als je onbekende moet daar weg.

We gaan eerst eens zien hoe zoiets eigenlijk met netjes rekenen opgelost hoort te worden: met de balansmethode. Raak je daarmee nóg wel eens in de war, dan hebben we daarna twee ezelsbruggetjes voor je, die je er bij niet te ingewikkelde formules áltijd feilloos uithelpen. 

[Jan van de Velde]

4 Algemene aanpak (balansmethode) [


Hierboven zag je dat in een vergelijking het linkerlid gelijk moet zijn aan het rechterlid.

Verder geldt één gouden regel:
"Als je op beide leden van een vergelijking dezelfde bewerking toepast, dan blijven beide leden gelijk aan elkaar".


Bijvoorbeeld, neem eens twee stukken touw, elk precies 2 meter lang.

De lengtes van de twee stukken touw zijn aan elkaar gelijk. We gaan ze eens "vergelijken" :


Er geldt een simpele vergelijking:

Knip dan van élk touw een halve meter af:     beide leden van de vergelijking blijven aan elkaar gelijk:

4.1 Vergelijkingen met "plus" en "min"

"Als je op beide leden van een vergelijking dezelfde bewerking toepast, dan blijven beide leden gelijk aan elkaar".

Of, om het wat simpeler te zeggen:

- je mag bij beide leden van een vergelijking eenzelfde getal optellen

- je mag van beide leden van een vergelijking eenzelfde getal aftrekken


van beide zijden 3 aftrekken:


Dat kunnen we goed benutten, want "Alles wat in hetzelfde lid staat als je onbekende moet daar weg".

Dat krijg je voor elkaar door een tegengestelde bewerking uit te voeren op wat er in de weg staat.

Het tegengestelde van plus is min, en het tegengestelde van min is plus.

Toegepaste "trucs" :



en




Bedenk daarbij dat we in sommetjes het "plus"-teken in het begin meestal weglaten:
betekent eigenlijk


Een voorbeeld:

je hebt de formule A = B + C

A= 7

B= 3

C= onbekend, moet je uitrekenen

Het probleem is dat je onbekende niet in zijn eentje aan één kant van de vergelijking staat .

Daar kunnen we op twee manieren iets aan doen:

eerst invullen, dan herschrijven:   Je zou liever iets hebben als Dus de "3" staat in de weg. (dat is een +3) Trek er aan allebei de kanten eens 3 af:   Reken dat zover mogelijk uit:   en daar staat dus:

Eerst herschrijven, dan invullen:   Je wilt een formule als: Dus de "B" staat in de weg. (dat is een +B) Trek er aan allebei de kanten eens B af: Reken dat zover mogelijk uit: en daar staat dus: Dan invullen: en uitrekenen

Je ziet, of je met getallen rekent, of met letters, het maakt niks uit.

Het enige dat je moet weten is dat 3 - 3 = 0.

Als je maar beseft dat ook B - B = 0.

Zelfs dolfijn - dolfijn = 0.

Staat er aan één kant een B in de weg, dan trekken we gewoon van beide kanten B af.

Waar de B in de weg stond, blijft er 0 over.


En dan A - B = C - D + E , en je moet E weten? Och, gewoon in een paar stappen:
+C en -D staan in de weg (let op die "min"D):


eerst maar eens C opruimen, trek van beide leden C af:


uitrekenen:


nul is niks, en kun je weglaten hier:


Als we nou eens bij beide leden D optellen:


Ja, -D + D is ook 0:


en die nul kan weer weg:



Het mooie is, het doet er niet toe in welke volgorde je dit doet. Je zou je zelfs kunnen vergissen en er aan beide zijden F bij optellen. Maakt niet uit, je vergelijking blijft kloppen. Even later zie je dat die F in de weg staat, je trekt er aan beide zijden F af. Probleem opgelost.


4.2 Vergelijkingen met "keer" en "gedeeld door"

"Als je op beide leden van een vergelijking dezelfde bewerking toepast, dan blijven beide leden gelijk aan elkaar".

Of, om het wat simpeler te zeggen:

- je mag beide leden met eenzelfde getal vermenigvuldigen (behalve met nul)

- je mag beide leden door eenzelfde getal delen (behalve door nul)

(beide leden zijn dan nog steeds gelijk, want maar ook )

beide zijden delen door 2:


Dat kunnen we goed benutten, want "Alles wat in hetzelfde lid staat als je onbekende moet daar weg".

Dat krijg je voor elkaar door een tegengestelde bewerking uit te voeren op wat er in de weg staat.

Het tegengestelde van keer is gedeeld door, en het tegengestelde van gedeeld door is keer.


Toegepaste "trucs" :




en




Bedenk daarbij dat we in sommetjes het "keer"-teken in het begin meestal weglaten:
zou je kunnen lezen als en is hetzelfde als

\(1 \times 9 \times 16\)

Dus of je nou van de 9 of de 16 af wil, je zult in beide gevallen moeten delen.


Meer tips en valkuilen voor breukenrekenen in paragraaf 4.3 hieronder


een voorbeeld: , en je wil de weerstand R uitrekenen:


dus de I staat in de weg :


Beide zijden delen door I :


Wat we hier éigenlijk doen is R vermenigvuldigen met I en dan delen door I,


iets gedeeld door zichzelf is één :


en 1 x R = R :


4.3 Tips en valkuilen (rekenkundig)

• Staar je niet blind op wat je zou moeten doen, of in welke volgorde. Zolang je je rekenkunde netjes toepast komt het altijd goed. Als je het wat minder handig aanpakt doe je er alleen wat langer over.
• Schrik niet van grote formules met veel factoren. Werk die factoren gewoon rustig één voor één naar de kant waar je ze hebben wil. De zekerste manier om er te komen, ook voor een ervaren iemand.
• . Hierboven zag je al hoe je dat nuttig kunt gebruiken.
• . Ook dat zag je hierboven al. ( zelfs )
• Als je gaat vermenigvuldigen mag dat NOOIT MET NUL:
  
  Je weet dat de vergelijking niet klopt.
  
  Vermenigvuldig je beide zijden met 0, dan zou het ineens wél gaan kloppen: . Niet doen dus.
• Als je gaat delen mag dat NOOIT DOOR NUL: Delen door 0 mag nóóit in de wiskunde, "delen door nul is flauwekul"
• Als er staat dan wordt met die "3" bedoeld "+3" . Moet de 3 weg, dan zul je dus de bewerking "-3" moeten toepassen.
  
  Als er staat , en de 3 moet weg, moet je óók door 3 delen, al staat er geen "x" teken vóór de 3.
  
  Bedenk dat precies hetzelfde betekent.
• Denk erom dat je je bewerkingen ALTIJD toepast op allebei de GEHELE leden van de vergelijking.
  
  Een geheel lid is een sommetje op zich. Dat kun je dus gerust tussen haakjes zetten.
  
  Je bent slim als je dat doet, of minstens altijd nét doet of elk lid tussen haakjes staat.
  
  bijvoorbeeld:
  
  , elk van de leden tussen haakjes zetten:
  
  , beide leden delen door :
  
  
• Je mag zonodig ook beide leden van je vergelijking vermenigvuldigen met :
  
  Stel je bewerkingen eindigen met , we vermenigvuldigen beide leden met -1 :
  
  
  
  
  
  
  
• Breukenrekenen : kijk zonodig eens in onze microcursus: Rekenen met breuken. Hieronder een paar punten in het kort:
• Breukenrekenen : , reken maar na:
• Breukenrekenen : reken maar na:
• Breukenrekenen : Je kunt in beide leden teller en noemer verwisselen (omkeren).
  
  
  als geldt , dan geldt ook ,
  
  
  als geldt , dan geldt ook
• Breukenrekenen : je kunt élk getal als een breuk schrijven:
  
  Dus, loop je zoekend naar A vast op ?
  
  schrijven als breuk:
  
  
  en dan aan beide zijden teller en noemer omkeren:

[Jan van de Velde]

5 Ezelsbruggetjes voor eenvoudige formules


5.1 de zes-drie-twee formule


Je weet best dat

\(6= 3 \times 2\)

, ook dat

\(3= \frac{6}{2}\)

, ook dat

\(2= \frac{6}{3}\)

Maak daar gebruik van, schrijf dat náást de formule die je moet herschrijven, in zo'n zelfde vorm:

\(U= I \times R\)

, daarnaast

\(6= 3 \times 2\)

[/size]

Je wilt dat herschrijven tot een vorm waarin de R alleen staat:

\(R= {....}\)

U staat op dezelfde plek als de 6,

I op dezelfde plek als de 3

en R op dezelfde plek als de 2.[/size]


Zoek dan een 6-3-2 sommetje waarbij de 2 alleen staat:

\(2= \frac{6}{3}\)

[/size]

en "vertaal" nu de cijfers naar de formuleletters:

\(R= \frac{U}{I}\)

[/size]

Klaar.


5.2 Het formuledriehoekje[/size]

Als je het moeilijk vindt om te goochelen met getallen (of makkelijk in de war raakt), dan is daar een trucje voor: De formuledriehoek (toepasbaar voor het omrekenen van heel veel formules): In de lege driehoek zie je een deelstreep en een vermenigvuldigingsteken. Eén van die twee vind je ook wel in elke eenvoudige formule terug.

Je kent vast wel de snelheidsformule snelheid (v) is afstand (s) gedeeld door tijd (t): In deze formule staat de "s" boven de deelstreep.

Die zet je dan in je driehoek óók boven de deelstreep. Voor "v" en "t" blijven maar twee plekken aan weerszijden van het vermenigvuldigingsteken over. Hoe je die daar neerzet doet er niet toe . (want bijvoorbeeld 4 x 3 of 3 x 4, dat maakt geen verschil, dat geeft allebei 12)

Je wilt de afstand \(s\) berekenen, die is onbekend. Nu, máák die dan ook onbekend door er je vinger op te leggen: De leesbare formule die overblijft is \(v \times t\) , Met andere woorden, \(s= v \times t\)

En als de tijd onbekend is? Nou, dek de tijd af: \(t= \frac{s}{v}\)

Niks magisch aan die driehoek hoor: reken het maar eens rustig op papier uit op de manier zoals je in paragraaf 4.2 zag:

	\( v= \frac{s}{t}\)
Beide zijden met t vermenigvuldigen:	\( v\times t= \frac{s\times t}{t}\)
t/t = 1/1 = 1 : (dat levert de eerste herschreven vorm)	\( v\times t= \frac{s\times 1}{1}\) \( v\times t= s\)
dan beide zijden delen door v:	\( \frac{v\times t}{v}= \frac{s}{v}\)
v/v = 1/1 = 1:

(en dat is de tweede andere vorm) [/td] [td]

\( \frac{1\times t}{1}= \frac{s}{v}\)

\( t= \frac{s}{v}\)

[/td][/tr][/table]

\(U= I \times R\)

werkt ook: in deze formule zie een kéérteken, en ook die vind je in je lege driehoek.

Zorg dat wat er in je formule aan weerszijden van dat kéérteken staat ook in je driehoek aan weerszijden van dat keerteken terechtkomt.

Blijft er nog maar één plekje over voor de laatste. Probeer maar. Hier kun je controleren:

Verborgen inhoud

Met een beetje voorbereiding kun je dit zelfs toepassen voor formules met 4 factoren,

bijvoorbeeld draadweerstand = soortelijke weerstand keer lengte gedeeld door doorsnede:

\(R = \frac{\rho \times l}{A}\)

Lengte l weten? Schrijf dan

\(R = \frac{\rho }{A}\times l\)

, zet dan

\((\frac{\rho}{A})\)

tussen haakjes en beschouw dát als één factor.

Probeer nu maar een driehoek te maken, en controleer deze weer in de

Verborgen inhoud

Moet je de doorsnede A weten, zet dan

\((\rho \times l)\)

samen tussen haakjes en beschouw dát samen als één factor. Maar ja, als je dat snapt, dan is gewoon omrekenen óók nog maar een kleine moeite.

[Jan van de Velde]

6 Andere bewerkingen


Dezelfde principes die je in hoofdstuk 3 zag voor optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen zijn ook toepasbaar voor alle andere wiskundige bewerkingen.


Hier zijn ze nog even:

• Alles wat in hetzelfde lid staat als je onbekende moet daar weg.
• Dat krijg je voor elkaar door een tegengestelde bewerking uit te voeren op wat er in de weg staat.
• Als je op beide leden van een vergelijking dezelfde bewerking toepast, dan blijven beide leden gelijk aan elkaar,

Nu we toch iets ingewikkeldere wiskunde gaan gebruiken: De tegengestelde bewerking van een bepaalde functie wordt ook wel de "inverse functie" genoemd.


6.1 machten en wortels


Je mag van beide leden dezelfde wortel trekken, je mag ook beide leden tot dezelfde macht verheffen.

\({A^2} = B\)

**, dan geldt

\(A=\sqrt{B}\)

en vice versa


Toegepaste "trucs" :

\(\sqrt{a^2} = a ^{**}\)

maar ook

\(\sqrt[3]{a^3} = a\)

en ook

\((\sqrt[5]{a})^5 = a\)

(**: pas op, hou in de gaten dat we dat eigenlijk niet zo mogen schrijven: als je een getal eenmaal gekwadrateerd hebt kun je daarna nooit meer zien of het oorspronkelijke getal negatief of positief was. √(-3)² geeft +3 als antwoord.....

Bij oneven machten en wortels speelt dat probleem niet)


Eerst eens een rekenopgaafje,

\( 8=1+\sqrt[3]{a} \)

. Bereken a............

	\( 8=1+\sqrt[3]{a} \)
beide zijden 1 aftrekken: (want 1-1 = 0)	\( 8-1=1-1+\sqrt[3]{a} \) \( 7=\sqrt[3]{a} \)
beide zijden tot de derde macht verheffen: (want \((\sqrt[3]{a})^3 = a\)	\( 7^3=(\sqrt[3]{a})^3 \) \( 7^3=a\)
uitrekenen:	\( a=7^3= 7 \times 7 \times 7 = 343 \)

Kijken we naar de formule voor bewegingsenergie:

Bewegingsenergie is ½ x massa x snelheid in 't kwadraat :

\( E_{kin}= \frac{1}{2}\times m\times v^2\)

We willen deze formule herschrijven naar een vorm als

\( v = {.....} \)

	\( E_{kin}= \frac{1}{2}\times m\times v^2\)
beide zijden vermenigvuldigen met 2: (want 2 x ½ = 1)	\(2\times E_{kin}=1\times m\times v^2\)
beide zijden delen door m: (want m/m = 1)	\(\frac{2\times E_{kin}}{m}= 1\times v^2\)
Nu dat kwadraat boven die "v": het tegengestelde van kwadrateren is worteltrekken: van beide zijden de wortel trekken:	\(\sqrt{\frac{2\times E_{kin}}{m}}=\sqrt{ v^2}\)
De wortel van een kwadraat is de factor zélf:	\(\sqrt{\frac{2\times E_{kin}}{m}}=v\)

6.2 machten en logaritmen


Soms staat de onbekende die je zoekt in de macht zélf:

\(1000 = 10^x\)

.

We zouden dus ook hier een of andere omgekeerde bewerking willen hebben om dit op te lossen.

Die is er, en dat is de zogenaamde 'logaritme'.


In het algemeen geldt:

\(y = a^x\)

, dan

\(x= ^{a}\log{(y)} \)

en vice versa


NB: Vlaamse lezers zijn mogelijk gewend dit grondtal op een andere plaats te zien :

\(x= \log_{a}{(y)} \)

[/b][/color]


Moeilijk te onthouden? Ook hiervoor bestaat een soort 6-3-2 ezelsbruggetje met makkelijke getallen:

\(1000 = 10^3\)

en

\(3= ^{10}\log{1000} \)

(Vlaamse versie

\(3= \log_{10}{(1000)}\)

)[/i]


Toegepaste "trucs" :

\(x= ^{a}\log{(a^x)} \)

en

\(y= a^{\left(^{a}\log{(y)}\right) \)

\(^{10}\log{y} \)

schrijf je ook wel kortweg als

\(\log{y} \)

en is te vinden op je rekenmachine onder de knop 'log'.


Dit werkt niet alleen voor logaritmen met grondtal 10: Als grondtal voor je logaritme kun je bijvoorbeeld ook 7 nemen.

\(y = 7^x\)

, dan

\(x= ^{7}\log{y} \)

.


Als grondtal kun je natuurlijk ook het fameuze getal

\(e\)

nemen:

\( ^{e}\log{y} \)

schrijf je dan meestal als

\(\ln{y}\)

.

dus

\(y = e^a\)

, dan

\(a= ^{e}\log{y} \)

ofwel

\(a= \ln{y} \)

(De meeste rekenmachines hebben alleen een 10-log- en e-log-knop (ln). Wil je op zo'n machine ook met andere grondtallen kunnen werken, kijk dan in deze

Verborgen inhoud

We hebben dus

\(y=a^x\Leftrightarrow x=^a\log y\)

Als a niet e of 10 is, wil je dit omzetten naar een logaritme met wél 10 of e als basis. Dit is heel gemakkelijk:

\(^a\log y=\frac{^{10}\log y}{^{10}\log a}\)

Dus als we willen oplossen

\(3^x=88\)

dan geldt

\(x=^3\log 88\)

. Om dit met je rekenmachine uit te rekenen,


bereken je nu

\(\frac{^{10}\log 88}{^{10}\log 3}\)

(of

\(\frac{^{e}\log 88}{^{e}\log 3}=\frac{\ln 88}{\ln 3}\)

als je dat liever hebt)

)


Een rekensommetje:

\(435 = 10^x\)

	\(435 = 10^x\)
Nou geldt: \(1000 = 10^3\) en \(3= ^{10}\log{1000} \)	\(x=^{10} \log 435\)
inkloppen in de rekenmachine:	\(x= 2,6384....\)

Een praktijkvoorbeeld: de geluidsdrukniveau-formule (om de decibellen uit te rekenen) :

Het geluidsdrukniveau L_I in dB(A) is gelijk aan 10 keer de logaritme uit de intensiteit I gedeeld door de gehoordrempelintensiteit I₀ .......

\( L_I = 10 \times \log\left( \frac{I}{I_0}}\right)\)

.......


Maar, stel, je meet de decibellen (L_p), en wilt de intensiteit (in W/m²) weten:

	\( L_I = 10 \times \log\left( \frac{I}{I_0}}\right)\)
eerst maar eens beide zijden door 10 delen: (want 10/10 = 1)	\( \frac{L_I}{10} = \frac{10}{10} \times \log\left( \frac{I}{I_0}}\right)\) \( \frac{L_I}{10} = 1 \times \log\left( \frac{I}{I_0}}\right)\)
bedenk dat gewoon "log" betekent dat het grondtal "10" is:	\( \frac{L_I}{10} = ^{10}\log\left( \frac{I}{I_0}}\right)\)
Nou geldt: \(1000 = 10^3\) en \(3= ^{10}\log{1000} \)	\(\frac{I}{I_0}}\right) = 10^{\frac{L_I}{10}} \)
dan nog beide zijden vermenigvuldigen met I0 (want I0/I0 = 1)	\(\frac{I\times I_0}{I_0}}\right) = I_0 \times 10^{\frac{L_I}{10}} \) \(I = I_0 \times 10^{\frac{L_I}{10}} \)

6.3 goniometrie: sinus en boogsinus (enz)


Als je een hoek kent, dan kun je er de sinus van uitrekenen. Maar ook omgekeerd, als je de sinus kent, dan kun je de hoek ervan uitrekenen: dat doe je met de functie "boogsinus". Voor cosinus en tangens en ook de andere goniometrische functies bestaan er ook zulke "inverse functies", boogcosinus, boogtangens, enz.


Op je rekenmachine vind je de boogsinus aangeduid als bgsin, arcsin of vaak ook als sin^-1

\(\sin(x)=y\)

? Dan geldt ook

\(\mbox{bgsin}(y)=x\)

Toegepaste "trucs" :

\(\mbox{bgsin} \left( \sin(x)\right) = x \)

en

\(\sin \left( \mbox{bgsin}(y)\right) = y \)

Voorbeeld: de cosinus van een hoek alfa is 0,5. Hoe groot is de hoek?


Wel, cos α = 0,5 , dan geldt ook bgcos(0,5) = α . Je rekenmachine geeft je dan α = 60°

[Jan van de Velde]

7 Eenhedenvergelijkingen


Wat je hierboven allemaal hebt geleerd kun je ook heel nuttig gebruiken om te controleren of berekeningen die je uitvoert in de natuurkunde of scheikunde ook werkelijk kloppen. Dat noemen we ook wel dimensie-analyse.


Soms zijn natuurkundeformules heel logisch:

\(v= \frac{s}{t}\)

Een afstand in meter gedeeld door een tijd in seconde geeft een snelheid in meter per seconde (m/s).


Je ziet dat aan allebei de kanten van de vergelijking óók de eenheden met elkaar kloppen.

\( {m/s} = \frac{m}{s}\)

\( m/s \)

kun je ook schrijven als

\( m\cdot s^{-1}\)

.

Die "m/s" noem je ook wel de dimensie van v (van de grootheid "snelheid". )

VALKUIL:

dit gaat natuurlijk alleen maar op zolang je overal in je formule SI-eenheden gebruikt.

Als je in

\(v= \frac{s}{t}\)

voor "v" de eenheid "km/h" gebruikt (of mach, of nog wat anders), dan klopt het niet meer:

\( {km/h} \neq \frac{m}{s}\)

.

Gelijk het bewijs dat je een snelheid in km/h niet kunt berekenen door een afstand in meters te delen door een tijd in seconden.......

Maar vaak lijken natuurkundeformules wel toverspreuken: \( F = m\cdot a \) Een massa in kilogram vermenigvuldigd met een versnelling in meter per secondekwadraat geeft een kracht in newton. ??? Niet zo magisch als het lijkt hoor. Het eerste wat je moet beseffen is dat er eigenlijk maar 7 grondeenheden bestaan: meter (m), kilogram (kg), seconde (s), ampère (A), kelvin (K), candela (cd) en mol (mol)

(zie ook hoofdstuk 2 van de microcursus Grootheden, eenheden, voorvoegsels en symbolen):


In grondeenheden uitgedrukt is de eenheid van kracht gewoon de eenheid van massa (kg) vermenigvuldigd met de eenheid van versnelling (m/s²):


 

 

een kilogrammeterpersecondekwadraat. (kg·m/s², of ook wel kg·m·s^-2)

Nou is dat nogal een mond vol (en bovendien hebben we nog allerlei grote natuurkundigen uit het verleden die we moeten eren !! ).

Daarom spreken we af dat we die kg·m/s² gewoon een newton (N) noemen. In elke taal heb je ook meerdere woorden die eigenlijk hetzelfde betekenen (synoniemen), toch?

\( F = m\cdot a\)

lijkt dus alleen een toverspreuk omdat we die eenheid van kracht een eigen naam hebben gegeven. Voor de rest klopt de vergelijking, ook in eenheden, als een zwerende vinger.

Alle SI-eenheden, de newton, de ohm, de coulomb, de volt, de joule, de tesla, de farad, de hertz, de bequerel, de henry en ga zo maar door, állemaal zijn ze te schrijven in grondeenheden.

En in élke formule, als je in de plaats van de grootheden de bijbehorende eenheden invult, blijft de formule kloppen.

Nog een voorbeeld:

\(P=\frac{E}{t}\)

. Deel een energie in joule door een tijd in seconde, en de uitkomst is een vermogen in watt (W).

maar ook:

\(P=U\cdot I\)

, vermenigvuldig een spanning in volt met een stroomsterkte in ampère en de uitkomst is óók een vermogen in watt. ????


Kijken we eens even naar een paar definities:

Een coulomb is de lading van een hoeveelheid elektronen. Je batterij geeft energie aan die elektronen waardoor ze door de draad gaan bewegen. Als een batterij 1 joule energie aan 1 coulomb lading geeft heb je precies 1 volt. Dus een volt is een joule per coulomb.

\( volt = \frac{joule}{coulomb}\)

Een coulomb is de lading van een hoeveelheid elektronen. Als er op een punt in je stroomkring elke seconde een coulomb lading voorbij komt heb je daar een stroomsterkte van precies 1 ampère. Dus een ampère is een coulomb per seconde. 

 

Vul nou in  eens de eenheden in, schrijf die eenheden anders en werk het uit: 

 

 

Nou ook in de andere,

\(P=\frac{E}{t}\)

:

 

\((P=)watt=\frac{joule}{seconde}=\frac{J}{s}\)

Zo zie je, als je het ver genoeg doorvertaalt staat er in allebei de formules dus eigenlijk gewoon hetzelfde. Die watt is niks anders dan een andere naam voor J/s (vernoemd naar James Watt)


Nog een paar voorbeelden:

In elke natuur- of scheikundeformule staan grootheden, bijvoorbeeld die

\(R = \frac{\rho \times l}{A}\)

Misschien weet je dat de eenheid van soortelijke weerstand :rho: de Ωm (ohmmeter) is.

Gek ding, zo'n Ωm. Hoe komt dat?

	\(R = \frac{\rho \times l}{A}\)
Maar vul nou in de plaats van elke grootheid eens de bijbehorende eenheid in:	\(\Omega = \frac{(eenheid \ van \ \rho) \times m}{m^2}\)
m/m² = 1/m	\(\Omega = \frac{(eenheid \ van \ \rho) \times 1}{m}\)
Dan: beide zijden vermenigvuldigen met m:	\(\Omega \times m= \frac{(eenheid \ van \ \rho)\times m}{m}\)
Dan nog even oppoetsen:	\(\Omega m= (eenheid \ van \ \rho)\)

Stoichiometrie in de scheikunde is ook zo'n heet hangijzer met stapels formuletjes die geen zinnig mens kan onthouden.


500 mL oplossing HCl (molmassa 36,5 g) met een molariteit van 0,1 M , hoeveel gram HCl zit daar in?

\(m=\frac{M}{\frac{mm}{V}}\)

??

\(m= V\times mm\times M\)

??

\( m = V\times \frac{mm}{M}\)

??


Nou, probeer eens met eenheden:

je moet een antwoord in gram hebben . Molariteit heeft de eenheid mol/L , molmassa heeft de eenheid g/mol.


Proberen dan maar:

\(m=\frac{M}{\frac{mm}{V}}\)

??

\( g = \frac{\frac{mol}{L}}{\frac{\frac{g}{mol}}{L}}\)

.... ??Daar komt nooit iets van terecht....

\({....} = \frac{mol^2}{g\times L^2}\)

nog maar eens proberen:

\(m= V\times mm\times M\)

??

\( g =L \times {\frac{mol}{L}}\times{\frac{g}{mol}} = \frac {L \times g \times mol}{mol\times L} \)

mol/mol = 1, L/L = 1, nou klopt 'ie wel.

\( g = \frac {1 \times g \times 1}{1\times 1} = g \)

Zo kun je dus altijd vrij vlot aan een eenhedenvergelijking zien of een formule die je wil gaan gebruiken ook inderdaad klopt.

\(800N \times 2 m = 400N \times 1,8 m + 400 N \times 2,2 m\)

[Jan van de Velde]

In het huiswerkforum vind je een topic voor je vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven.

Zit je met een opgave over herschrijven van formules of vergelijkingen oplossen waar je toch niet aan uit geraakt? Open dan een topic in het huiswerkforum.


Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen


----------------------------------------------------------------------------------------



Oefeningen bij de

[microcursus] formules herschrijven / vergelijkingen oplossen


Het kale eindantwoord of de volledige uitwerking zonder uitwerking vind je steeds door te klikken op de respectievelijke

Verborgen inhoud

uitwerking.....

.


Elke som waarin je formules moet herschrijven, hoe moeilijk ook, gaat lukken als je steeds het stappenplan volgt.


Het stappenplan:

Stap 1: Schrijf de formule op die je moet gebruiken: (Bijv. C = A - B + D)

Stap 2: Schrijf op welke grootheid je moet bepalen: (Bijv. A=... )

Stap 3: Kies een grootheid die in de formule naast die A in de weg staat: (bijv. -B)

Stap 4: Voer aan allebei de kanten van de formule de tegengestelde bewerking met "-B" uit: (hier : +B)

Stap 5: Werk uit

.......(Herhaal stappen 3, 4 en 5 totdat je te bepalen grootheid in zijn eentje aan één kant van het "="-teken staat)

Stap 6: Reken het uit.

Let in de voorbeeldantwoorden niet op de significantie van de cijfers. Gezien de bedoeling van de oefeningen geven we het antwoord steeds in afgeronde of anders duidelijk herkenbare getallen.


1-5 : Oefeningen met optellen en aftrekken


1) Je hebt de formule:

\( D=A+B \)

A=5 en D=11. Wat is dan B?


Antwoord:

Verborgen inhoud

B=6

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( D=A+B \)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: B=...
• Stap 3: Je moet dan "plus A" kwijt zien te raken.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "plus A" is "min A"
  
  We doen dus aan beide kanten "min A":
  
  \( D-A=A+B-A \)
• Stap 5: We werken het uit:
  
  \( D-A=B \)
• Stap 6: We vullen in:
  
  \( 11-5=B \)
  
  en ja, 11-5 = 6 dus B=6

2) Je hebt de formule:

\( K=-C+D \)

C=5 en K=8. Wat is dan D?


Antwoord:

Verborgen inhoud

D=13

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( K=-C+D \)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: D=...
• Stap 3: Je moet dan "min C" kwijt zien te raken.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "min C" is "plus C"
  
  We doen aan beide kanten "plus C" :
  
  \( K+C=-C+D+C \)
• Stap 5:We werken het uit:
  
  \( K+C=D \)
• Stap 6: We vullen in :
  
  \(8+5=D\)

3) Je hebt de formule:

\( Q-P=A+B-C \)

Q = 12, P=3, A=2, B=8. Wat is dan C?


Antwoord:

Spoiler: [+]

C=1

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( Q-P=A+B-C \)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: C=...
• Stap 3: Je moet dan "plus A" en "plus B" kwijt zien te raken.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "plus A" is "min A" en het tegenovergestelde van "plus B" is "min B"
  
  We doen aan beide kanten "min A" :
  
  \( Q-P-A=A+B-C-A \)
  We werken het uit :
  
  \( Q-P-A=B-C \)
  .
  
  We doen aan beide kanten "min B" :
  
  \( Q-P-A-B=B-C-B \)
  .
  
  We werken het uit :
  
  \( Q-P-A-B=-C \)
  .
• Stap 5: We vermenigvuldigen beide kanten met -1 om van -C=... een +C=... te maken. :
  
  \(-1(Q-P-A-B)=-1(-C) \)
  .
  
  \( -Q+P+A+B=+C \)
• Stap 6: We vullen in :
  
  \( -12+3+2+8= C \)

4) Je hebt de formule:

\( D+2E-C=A\)

D=4, C=6 en A=8. Wat is dan E?


Antwoord:

Verborgen inhoud

E=5

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(D + 2E - C = A\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: E=...
• Stap 3: Je moet dan "plus D" en "min C" kwijt zien te raken.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "plus D" is "min D" en het tegenovergestelde van "min C" is "plus C":
  
  \(D + 2E - C -D= A-D\)
  \(2E - C = A-D\)
  \(2E - C + C = A-D+C\)
  \(2E= A-D+C\)
• Stap 5:
  
  Let op je doel was E=... en niet 2E=...! Er staat dus nog een
  \(\times 2\)
  in de weg.
  
  We delen dus alles door 2 :
  
  \(E=\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}D+\frac{1}{2}C\)
• Stap 6: We vullen in:
  
  \( \frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 6= 4 - 2 + 3 = 5 = E\)

5) Het omschrijven van kelvin naar graden Celsius.

[td][img]http://sciencetalk.nl/forum/moderator/formules%20herschrijven/kelvincelsius3.png[/img][/td][td]Je hebt de formule: [tex] K=C+273,15[/tex] Je wilt weten hoeveel graden Celsius 350 kelvin is. K=350. Wat is dan C? Antwoord:[spoiler]76,85 graden Celsius[/spoiler] Uitwerking: [hide][list] [*]Stap 1: De formule is: [tex] K=C+273,15[/tex] [*]Stap 2: Je wilt iets hebben als: C=... [*]Stap 3: Je moet dan de "plus 273,15" kwijt zien te raken aan de rechterkant. [*]Stap 4: Het tegenovergestelde van "plus 273,15" is "min 273,15" : We doen aan beide kanten "min 273,15" : [tex] K-273,15=C+273,15-273,15[/tex] [*]Stap 5: We werken uit: [tex] K-273,15=C[/tex]. [*]Stap 6: We vullen in: [tex] 350-273,15=C[/tex].. [/list] 350 kelvin is dus een even hoge temperatuur als 76,85 graden Celsius[/hide] [/td]
6-10 : Oefeningen met vermenigvuldigen en delen


6) Je hebt de formule:

\(A=B\cdot C\)

A=12 en C=4 Wat is dan B?


Antwoord:

Spoiler: [+]

I=3

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(A=B\cdot C\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: B=...
• Stap 3: Je moet dan "keer C" kwijt zien te raken.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer C" is "gedeeld door C".
  
  We doen aan beide kanten "gedeeld door C" :
  
  \(\frac{A}{C}=\frac{B\cdot C}{C}\)
• Stap 5: We werken het uit :
  
  \(\frac{A}{C}=B\)
• Stap 6: We vullen in :
  
  \(\frac{A}{C}= \frac{12}{4} = 3 = B\)

7) Je hebt de formule:

\(Q=\frac{ABC}{D}\)

Q=4, A=2, C=4 en D=6 Wat is dan B?


Antwoord:

Verborgen inhoud

B=3

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(Q=\frac{A \cdot B \cdot C}{D}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: B=...
• Stap 3: Je moet dan "gedeeld door D", "keer A" en "keer C" kwijt zien te raken.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "gedeeld door D" is "keer D" en het tegenovergestelde van "keer A of C" is "gedeeld door A of C".
  
  We doen aan beide kanten "keer D"
  
  \(Q \cdot D=\left(\frac{A \cdot B \cdot C}{D}\right) \cdot D\)
• Stap 5: We werken het uit.
  
  \(Q \cdot D=A \cdot B \cdot C\)
• stappen 4 en 5 herhalen voor A en C:
  
  We doen beide kanten "gedeeld door A".
  
  \(\frac{Q \cdot D}{A} = \frac{A \cdot B \cdot C}{A}\)
  We werken uit.
  
  \(\frac{Q \cdot D}{A} = B \cdot C\)
  We doen beide kanten "gedeeld door C"
  
  \(\frac{Q \cdot D}{A \cdot C} = \frac{B \cdot C}{C}\)
  .
  
  We werken uit.
  
  \(\frac{Q \cdot D}{A \cdot C} = B\)
• Stap 6: We vullen in :
  
  \(\frac{Q \cdot D}{A \cdot C}= \frac{4 \times 6}{2 \times 4} = \frac{24}{8} = 3 = B\)

8) Weerballon

[td][img]http://sciencetalk.nl/forum/moderator/formules%20herschrijven/weerballon.jpg[/img][/td][td]Je hebt een grote ballon gevuld met helium en je wilt graag de massa van het helium te weten komen. Je hebt de formule: [tex]\rho=\frac{m}{V}[/tex] Dit is de definitie van 'dichtheid': massa gedeeld door volume In een boek staat "[i]helium: 180 gram per kubieke meter[/i]". De ballon is 2 m[sup]3[/sup] groot. Hoe zwaar is de helium in de ballon? dus in formuletaal: V=2 m[sup]3[/sup] en [i]ρ[/i]=0,180 kg/m[sup]3[/sup] . Wat is m?[/td]
antwoord:

Verborgen inhoud

0,360 kg

uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(\rho=\frac{m}{V}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: m=...
• Stap 3: Je moet dan de "gedeeld door V" kwijt zien te raken aan de rechterkant.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "gedeeld door V" is "keer V"
  
  We doen aan beide kanten "keer V" :
  
  \(\rho\cdot V=\frac{m}{V} \cdot V\)
• Stap 5: We werken uit :
  
  \(\rho\cdot V=m\)
• Stap 6: We vullen in.
  \(\rho \cdot V = 0,180 \cdot 2 = 0,360 = m\)

De massa van de helium in de ballon is dus 360 gram

9) De kracht van de aarde.

[td]Je hebt de formule: [tex]s=\frac{1}{2}gt^2[/tex] We laten een bal naar beneden vallen van een toren. Na 3 seconden raakt hij de grond ; De toren is 44,1 meter hoog. Bereken de valversnelling g. Dus in formuletaal t=3 s en s=44,1 m. Wat is dan g? [color=#808080]NB: Het plaatje hiernaast geeft een fabeltje weer. Nergens is vastgelegd dat Galileo Galileï deze proef uitvoerde, laat staan in Pisa. (al is dat er wel een ideale toren voor)[/color] [/td][td][img]http://sciencetalk.nl/forum/moderator/formules%20herschrijven/galilei.png[/img] [/td] Antwoord:

Spoiler: [+]

g=9,8 m/s²

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(s=\frac{1}{2}gt^2\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: g=...
• Stap 3: Je moet dan de "keer t²" en "keer
  \(\frac{1}{2}\)
  " kwijt zien te raken aan de rechterkant.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer t² en
  \(\frac{1}{2}\)
  is "gedeeld door t² en
  \(\frac{1}{2}\)
  ".
  
  We doen beide kanten "gedeeld door ½" :
  
  \(\frac{s}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2} g t^{2}}{\frac{1}{2}}\)
• Stap 5:
  
  We werken uit
  
  (bedenk voor de linkse kant: delen door 1/2 is hetzelfde als vermenigvuldigen met 2
  
  bedenk eventueel voor de rechtse kant dat 1/2 gedeeld door 1/2 gewoon weer 1 is).
  
  \(2 \cdot s=g t^{2}\)
• Stappen 4 en 5 herhalen voor t²:
  
  We doen beide kanten "gedeeld door t²".
  
  \(\frac{2s}{t^{2}}=\frac{g t^{2}}{t^{2}}\)
  We werken uit.
  
  \(\frac{2s}{t^{2}}=g\)
• Stap 6: We vullen in.
  
  \(\frac{2 \times 44,1}{3^{2}}=g=\frac{88,2}{9}=9,8\)
  
  We vinden als antwoord g=9,8
  \(\frac{m}{s^{2}}\)

10) Ideale gaswet:
[td][img]http://sciencetalk.nl/forum/moderator/formules%20herschrijven/piston.gif[/img] afb: [url=http://mw.concord.org/modeler/]http://mw.concord.org/modeler/[/url] [/td] [td]Je wilt de temperatuur van een (ideaal) gas in een bak bepalen. Je hebt de formule: [tex]p \cdot V=n \cdot R \cdot T[/tex] (dit is de "ideale gaswet") In een bak van 3 liter zit 1 mol gas, de druk van het gas is 8 bar. Wat is de temperatuur in de bak? V=0,003m[sup]3[/sup], p=800 000 Pa, n=1 en R=8,13 J/(mol·K) [/td]
antwoord:

Spoiler: [+]

295,2 Kelvin

uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(p \cdot V=n \cdot R \cdot T\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: T=...
• Stap 3: Je moet dan de "keer R en n" kwijt zien te raken aan de rechterkant.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer R en n" is "gedeeld door R en n"
• Stap 5:
  
  \(\frac{p \cdot V}{R}=\frac{n \cdot R \cdot T}{R}\)
  We doen beide kanten "gedeeld door R".
  
  \(\frac{p \cdot V}{R}=n \cdot T\)
  We werken uit.
  
  \(\frac{p \cdot V}{R \cdot n} = \frac{n \cdot T}{n}\)
  We doen beide kanten "gedeeld door n".
  
  \(\frac{p \cdot V}{R \cdot n} = T \)
  We werken uit.
• Stap 6:
  \(\frac{p \cdot V}{R \cdot n} = \frac{800 000 \cdot 0,003}{8,13 \cdot 1} = \frac{2400}{8,13} = 295,2=T\)
  We vullen in.
  
  
  De temperatuur in de doos is 295,2 Kelvin, wat overeenkomt met ongeveer 22 graden Celsius. Waarschijnlijk staat de doos in een kamer.

11-13 : Oefeningen met vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken


11) Je hebt de formule:

\(P=\frac{A + (E\cdot C)}{D}\)

P=5, A=14, E=2 en D=6. Wat is dan C?


Antwoord:

Spoiler: [+]

C= 8

Uitwerking:

Verborgen inhoud

De formule is:

\(P=\frac{A + (E\cdot C)}{D}\)

Je wilt iets hebben als: C=...

We doen aan beide kanten "keer D" :

\(P \cdot D=\left(\frac{A + (E\cdot C)}{D}\right) \cdot D\)

Uitwerken:

\(P \cdot D=A + (E\cdot C)\)

We doen aan beide kanten " min A" :

\(P \cdot D-A =A + (E\cdot C)-A \)

We werken het uit :

\(P \cdot D-A =E\cdot C \)

We doen beide kanten "gedeeld door E"

\(\frac{(P \cdot D) -A}{E} = \frac{E \cdot C}{E}\)

We werken uit.

\(\frac{(P \cdot D) -A}{E} = C\)

Ten slotte invullen:

\(\frac{(P \cdot D) -A}{E} =\frac{(5 \times 6) - 14}{2} = \frac{30 - 14}{2} = \frac{16}{2} = 8 = C\)

12) Je hebt de formule:

\(\frac{(G \cdot D) - (C \cdot V)}{P}=\frac{A}{Q}\)

G=5, D=8, V=10, P=5, A=16 en Q=4 Wat is dan C?


Antwoord:

Verborgen inhoud

C= 2

Uitwerking:

Verborgen inhoud

De formule is:

\(\frac{(G \cdot D) - (C \cdot V)}{P}=\frac{A}{Q}\)

Je wilt iets hebben als: C=...

We doen aan beide kanten "keer P" :

\(\left( \frac{(G \cdot D) - (C \cdot V)}{P} \right) \cdot P=\left(\frac{A}{Q}\right) \cdot P\)

We werken het uit :

\((G \cdot D) - (C \cdot V)= \frac{A \cdot P}{Q}\)

We doen beide kanten "min

\((G \cdot D)\)

"

\((G \cdot D) - (C \cdot V) -(G \cdot D) = \left( \frac{A \cdot P}{Q} \right) - (G \cdot D) \)

We werken uit.

\( - (C \cdot V) = \left( \frac{A \cdot P}{Q} \right) - (G \cdot D) \)

We doen beide kanten "gedeeld door V" :

\(\frac{-(C \cdot V) }{V} = \frac{\left( \frac{A \cdot P}{Q} \right) - (G \cdot D)}{V}\)

We werken uit :

\(-C = \frac{\left( \frac{A \cdot P}{Q} \right) - (G \cdot D)}{V}\)

Let op je wilde C=... niet -C=... Dus we vermenigvuldigen alles met -1 om C=... te krijgen :

(in een breuk betekent dat dat je óf de teller óf de noemer met -1 vermenigvuldigt. Zou je beide doen, dan wordt min gedeeld door min toch weer plus) :

\(C = \frac{-\left( \frac{A \cdot P}{Q} \right) + (G \cdot D)}{V}\)

We vullen in

\(\frac{-\left( \frac{A \cdot P}{Q} \right) + (G \cdot D)}{V} =\frac{-\left( \frac{16 \times 5}{4} \right) + (5 \times 8)}{10}= \frac{-\left( \frac{80}{4} \right) + (40)}{10}= \frac{-20 + 40}{10}= \frac{20}{10}=2 = C\)

Zo zie je maar, zelfs zo'n moeilijke som kan je oplossen, als je maar steeds het stappenplan blijft volgen.

13) Het omschrijven van Fahrenheit naar Celsius.

[td]Je hebt de formule: [tex]F=(C \cdot 1,8) + 32[/tex] Je leest in een Engelse krant dat het 50 graden Fahrenheit is in London. Hoeveel graden Celsius is dat? F=50. Wat is C? [/td] [td][img]http://sciencetalk.nl/forum/moderator/formules%20herschrijven/celsiusfahrenheit.png[/img][/td]Antwoord:

Verborgen inhoud

50 graden Fahrenheit is 10 graden Celsius

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(F=(C \cdot 1,8) + 32\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: C=...
• Stap 3: Je moet dan de "keer 1,8" en "plus 32" kwijt zien te raken aan de rechterkant
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer 1,8" is "gedeeld door 1,8" en het tegenovergestelde van "plus 32" is "min 32".
• Stap 5:
  
  We doen aan beide kanten "min 32".
  
  \(F-32=(C \cdot 1,8) + 32 - 32\)
  We werken uit.
  
  \(F-32=(C \cdot 1,8) + 0 \)
  We doen aan beide kanten "gedeeld door 1,8".
  
  \(\frac{F-32}{1,8}=\frac{C \cdot 1,8}{1,8} \)
  We werken uit.
  
  \(\frac{F-32}{1,8}=C\)
• Stap 6: We vullen in.
  
  \(C=\frac{F-32}{1,8}=\frac{50-32}{1,8}=\frac{18}{1,8}=10\)
  
  50 graden Fahrenheit is dus even warm als 10 graden Celsius.

We zien dus dat er steeds paren zijn die elkaar opheffen. We hebben nu optellen en aftrekken gehad en ook vermenigvuldigen en delen. Dit is nog wel intuïtief, maar het werkt ook met moeilijkere dingen.


EXTRAATJE:


[tr][td] Een twintigtal extra oefeningetjes,

die je stap voor stap kunt oplossen in een applet van WISWEB

[/td][td][/td][/tr]

[Jan van de Velde]

14-19: Oefeningen met kwadraat en wortel, en alles hiervoor

(bij het rekenen met kwadraten en wortels gaan we er steeds van uit dat de onbekende een positief getal is)


14)

Je hebt de formule:

\(P=\frac{1}{2}kz^{2}\)

P=225 en k=50. Wat is dan z?


Antwoord:

Spoiler: [+]

z=3

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(P=\frac{1}{2}kz^{2}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: z=...
• Stap 3: Je moet dan "keer ½" en "keer k" kwijt zien te raken en tot slot het "kwadraat".
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer k en keer ½" is "gedeeld door k engedeeld door ½",het tegenovergestelde van "z kwadraat" is "wortel z".
• Stap 5:
  \(\frac{P}{k}=\frac{\frac{1}{2}kz^{2}}{k}\)
  We doen aan beide kanten "gedeeld door k"
  
  
  \(\frac{P}{k}=\frac{1}{2}z^{2}\)
  We werken het uit.
  
  
  \(\frac{P}{\frac{1}{2}m}=\frac{\frac{1}{2}z^{2}}{\frac{1}{2}}\)
  We doen aan beide kanten "gedeeld door ½"
  
  
  \(\frac{2P}{k}=z^{2}\)
  We werken het uit en onthoudt delen door een half is vermenigvuldigen met 2.
  
  
  \(\sqrt{\frac{2P}{k}}=\sqrt{z^{2}}\)
  We doen aan beide kanten "wortel".
  \(\sqrt{\frac{2P}{k}}=z\)
  We werken uit. Kwadraat en wortel heffen elkaar op.
• Stap 6:
  \(\sqrt{\frac{2P}{k}}= \sqrt{\frac{2\cdot 225}{50}}=\sqrt{9}=3=z\)
  We vullen in

15)

Je hebt de formule:

\(y=B \cdot \sqrt{x}\)

y=15 en B=3. Wat is dan x?


Antwoord:

Spoiler: [+]

x=25

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(y=B \cdot \sqrt{x}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: x=...
• Stap 3: Je moet dan "keer B" kwijt zien te raken en tot slot de "wortel".
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer B " is "gedeeld door B", het tegenovergestelde van "wortel x" is "x kwadraat".
• Stap 5:
  \(\frac{y}{B}=\frac{B \cdot \sqrt{x}}{B}\)
  We doen aan beide kanten "gedeeld door B"
  
  
  \(\frac{y}{B}=\sqrt{x}\)
  We werken het uit.
  
  
  \(\left(\frac{y}{B}\right)^{2}=\left(\sqrt{x}\right)^{2}\)
  We doen aan beide kanten "kwadraat".
  
  
  \(\left(\frac{y}{B}\right)^{2}=x\)
  We werken uit. Kwadraat en wortel heffen elkaar op.
• Stap 6:
  \(\left(\frac{y}{B}\right)^{2}=\left(\frac{15}{3}\right)^{2}=5^{2}=25=x\)
  We vullen in

16)

Je hebt de formule:

\(A \cdot B=\frac{C + \sqrt{E}}{D}\)

A=5, B=2, C=8 en D=1,5. Wat is dan E?


Antwoord:

Spoiler: [+]

E=49

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(A \cdot B=\frac{C + \sqrt{E}}{D}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: E=...
• Stap 3: Je moet dan "gedeeld door D" en "plus C" kwijt zien te raken en tot slot de "wortel".
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "gedeeld door D" is "keer D", het tegenovergestelde van "plus C" is "min C" en het tegenovergestelde van "wortel E" is "E kwadraat".
• Stap 5:
  \((A \cdot B) \cdot D=\left( \frac{C + \sqrt{E}}{D}\right)\cdot D\)
  We doen aan beide kanten "keer D"
  
  
  \(A \cdot B \cdot D=C+\sqrt{E}\)
  We werken het uit.
  
  
  \((A \cdot B \cdot D) -C = C+\sqrt{E} - C\)
  We doen aan beide kanten "min C"
  
  
  \((A \cdot B \cdot D) -C =\sqrt{E}\)
  We werken het uit
  
  
  \(((A \cdot B \cdot D) -C)^{2} = (\sqrt{E})^{2} \)
  We doen aan beide kanten "kwadraat"
  
  
  \(((A \cdot B \cdot D) -C)^{2} = E \)
  We werken uit
• Stap 6:
  \(((A \cdot B \cdot D) -C)^{2}= ((5 \cdot 2 \cdot 1,5) - 8)^{2} = (15 - 8)^{2} = 49 = E \)
  We vullen in

17)

Je hebt de formule:

\( E(Ax^{2}+2B)=D + C\)

A=2, B=1, C=10, D=50 en E=3. Wat is dan x?


Antwoord:

Spoiler: [+]

x=3

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( E(Ax^{2}+2B)=D + C\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: x=...
• Stap 3: Je moet dan "keer E", "plus 2B" en "keer A" kwijt zien te raken en tot slot het "kwadraat".
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer E" is "gedeeld door E", het tegenovergestelde van "plus 2B" is "min 2B", het tegenovergestelde van "keer A" is "gedeeld door A" en het tegenovergestelde van "x kwadraat" is "wortel x".
• Stap 5:
  \(\frac{E(Ax^{2}+2B)}{E}=\frac{D + C}{E}\)
  We doen aan beide kanten "gedeeld door E"
  
  
  \(Ax^{2}+2B=\frac{D + C}{E}\)
  We werken uit.
  
  
  \(Ax^{2}+2B-2B=\left(\frac{D + C}{E}\right)-2B\)
  We doen beide kanten "min 2B"
  
  
  \(Ax^{2}=\left(\frac{D + C}{E}\right)-2B\)
  We werken uit.
  
  
  \(\frac{Ax^{2}}{A}=\frac{\left(\frac{D + C}{E}\right)-2B}{A}\)
  We doen aan beide kanten "gedeeld door A"
  
  
  \(x^{2}=\frac{\left(\frac{D + C}{E}\right)-2B}{A}\)
  We werken uit.
  
  
  \(\sqrt{x^{2}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{D + C}{E}\right)-2B}{A}}\)
  We doen aan beide kanten "wortel".
  
  
  \(x=\sqrt{\frac{\left(\frac{D + C}{E}\right)-2B}{A}}\)
  We werken uit.
• Stap 6:
  \(\sqrt{\frac{\left(\frac{D + C}{E}\right)-2B}{A}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{10 + 50}{3}\right)-(2\cdot 1)}{2}} = \sqrt{\frac{\left(\frac{60}{3}\right)-2}{2}}=\sqrt{\frac{20-2}{2}}=\sqrt{9}=3=x \)
  We vullen in

18) De Afrikaanse kip.
[td][img]http://sciencetalk.nl/forum/moderator/formules%20herschrijven/chicken.png[/img][/td][td]Hoe groter een beest is hoe zwaarder het weegt. Voor dieren kan je dan een formule opschrijven die dit verband kan uitrekenen. [tex]G = aL^{3}[/tex] Met : G het gewicht in kilogrammen L de lengte in decimeters a een constante die per dier verschilt.[/td]
Voor een bepaalde soort kip uit Afrika geldt a=0,25. Als de massa van zo'n kip 15 kilo is, hoe lang was de kip dan in decimeters?

a=0,25 en G=15. Wat is dan L?


Tip: Het tegenovergestelde van "tot de macht 3" is de "derdemachtswortel (

\(\sqrt[3]{\ } \)

)" (op je rekenmachine waarschijnlijk te vinden als

\(\sqrt[n]{\ } \)

waarbij je zelf n=3 moet intikken), je kan ook "tot de macht 1/3" gebruiken als je dat makkelijker vindt).


antwoord:

Spoiler: [+]

ongeveer 3,9 dm

uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(G = aL^{3}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: L=.....
• Stap 3: Je moet dan de "keer a" kwijt zien te raken aan de rechterkant.
• Stap 4:
  \(\frac{G}{a} =\frac{a}{a}\times L^{3}\)
  We doen beide kanten "gedeeld door a".
• Stap 5:
  \(\frac{G}{a} = L^{3}\)
  uitwerken wéér
• Stap 3: Je moet dan de derdemacht kwijt zien te raken aan de rechterkant.
• Stap 4:
  \(\sqrt[3]{\frac{G}{a}} = \sqrt[3]{L^{3}}\)
  neem van beide kanten de derdemachtswortel.
• Stap 5:
  \(\sqrt[3]{\frac{G}{a}} = L \)
  uitwerken
• Stap 6: vul in en reken uit:
  \(L= \sqrt[3]{\frac{G}{a}} = \sqrt[3]{\frac{15}{0,25}} = 3,9 dm \)
  Je kan ook "tot de macht 1/3" doen als je dat makkelijker vindt,
  \(\left(\frac{15}{0,25}\right)^{\left(\frac{1}{3}\right)}\)
  .

[/list]


19) Slingers:

Een slinger is een touw met een gewicht eraan wat heen en weer beweegt. Hoeveel tijd het een slinger kost (T) om heen en weer te gaan hangt alleen maar af van de lengte van het touw (l) en hoe hard de aarde aan het gewicht trekt (g). De formule die daarbij hoort is: \(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)

Als je weet dat de trillingstijd precies 2 seconde is en je touw is 99,4 cm lang, wat is dan de valversnelling op de plek waar je meet? T=2 s en l=0,994 m. Wat is dan g?


Antwoord:

Verborgen inhoud

9,8014 m/s²

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: g=...
• Stap 3: Je moet dan de "keer 2π", de "wortel" en de " keer l" kwijt zien te raken aan de rechterkant.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "keer 2π ", is "gedeeld door 2π", het tegenovergestelde van "wortel" is "kwadraat" en het tegenovergestelde van "keer l" is "gedeeld door l".
• Stap 5:
  
  \(\frac{T}{2\pi}=\frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{2\pi}\)
  We doen beide kanten "gedeeld door 2π"
  
  
  \(\frac{T}{2\pi}=\sqrt{\frac{l}{g}}\)
  We werken uit.
  
  
  \(\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=\left(\sqrt{\frac{l}{g}}\right)^{2}\)
  We doen beide kanten "kwadraat".
  
  
  \(\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=\frac{l}{g}\)
  We werken uit en de wortel valt weg tegen de kwadraat. Let op er staat l/g in de som, terwijl wij opzoek zijn naar g=... en niet 1/g=... We mogen breuken omdraaien als we dat maar weer aan beide kanten doen.
  
  
  \(\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}=\frac{l}{g}\)
  Is hetzelfde als:
  \(\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}=\frac{g}{l}\)
  \(l\cdot \left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}=l\cdot \frac{g}{l}\)
  We doen beide kanten "keer l" om de "gedeeld door l" weg te werken. Let op, de l komt in het linkerlid niet binnen de haakjes te staan, omdat daar alles in het kwadraat staat.
  
  
  \(l\cdot \left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}=g\)
  We werken uit.
• Stap 6:
  \(0,994\cdot \left(\frac{2\pi}{2}\right)^{2}=0,994\cdot \pi^{2}=9,8104 \frac{m}{s^{2}}\)
  We vullen in:

20-21: Oefeningen met machten van tien en logaritmes.


De regel is:

\(1000 = 10^x \)

en omgekeerd:

\( ^{10}\log(1000) = x \)

......(Vlaamse notatie:

\( \log_{10}(1000) = x\)

)


20)

Je hebt de formule:

\(300=10^x\)

Wat is dan x?


Antwoord:

Spoiler: [+]

x = 2.477 (afgerond)

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( 300=10^{x}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: x=...
• Stap 3: Je zult dus die x weg moeten halen uit de tien macht.
• Stap 4: Het omgekeerde van "10 tot de macht" is de "10 log". Ze heffen elkaar op net zoals bijvoorbeeld kwadraat en wortel dat doen.
• Stap 5:
  
  \(^{10}\log{300}=^{10}\log\left(10^{x}\right)\)
  We nemen aan beide kanten de
  \(^{10}\log\)
  . Dit zal de "tien tot de macht..." opheffen.
  
  
  \(^{10}\log{300}=x\)
  We werken uit en zijn eigenlijk klaar.
• Stap 6:
  \(^{10}\log{300}=x\approx 2.477\)
  We vullen in

21)

Je hebt de formule:

\( B=10^{(D-A)/C}\)

A=3, B=1200 en C=2. Wat is dan D?


Antwoord:

Spoiler: [+]

x=9,158 (afgerond)

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( B=10^{(D-A)/C}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: D=...
• Stap 3: Je zult dus die D weg moeten halen uit de tien macht. De "gedeeld door C" moet weg en de "min A" moet weg.
• Stap 4: Het omgekeerde van "10 tot de macht" is de "10 log". Het omgekeerde van "gedeeld door C" is "keer C" en het omgekeerde van "min A" is "plus A"
• Stap 5:
  
  \(^{10}\log{B}=^{10}\log\left(10^{(D-A)/C}\right)\)
  We doen eerst de tien log van beide kanten om de D vrij te krijgen uit de macht.
  
  
  \(^{10}\log{B}=\frac{D-A}{C} \)
  We werken uit.
  
  
  \((^{10}\log{B})\cdot C=\left(\frac{D-A}{C}\right)\cdot C \)
  We doen aan beide kanten "keer C"
  
  
  \((^{10}\log{B})\cdot C=D-A\)
  We werken uit.
  
  
  \(\left((^{10}\log{B})\cdot C\right)+A=D-A+A\)
  We doen aan beide kanten plus A.
  
  
  \(\left((^{10}\log{B})\cdot C\right)+A=D\)
  We werken uit.
• Stap 6:
  \(\left((^{10}\log{B})\cdot C\right)+A=\left((^{10}\log{1200})\cdot 2\right)+3\approx 9,158\)
  We vullen in

22-23: Oefeningen met machten en logaritmes van ander grondgetal.


Om een ander grondgetal op je rekenmachine uit te rekenen kan je de volgende regel gebruiken:

\(y=^a\log{x}=\frac{^{10}\log{x}}{^{10}\log{a}}\)

Dus bijvoorbeeld:

\(3=^2\log{8}=\frac{^{10}\log{8}}{^{10}\log{2}}\)

22)

Je hebt de formule:

\( 81=3^{2x}\)

Wat is dan x?


Antwoord:

Spoiler: [+]

x=2

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( 81=3^{2x}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: x=...
• Stap 3: Je zult dus die x weg moeten halen uit de drie macht en die twee moet ook weg.
• Stap 4: Het omgekeerde van "3 tot de macht" is de "3-log".
• Stap 5:
  
  \(^3\log{81}=^3\log\left(3^{2x}\right)\)
  We nemen aan beide kanten de "3-log". De "3-log" zal "3 tot de macht..." opheffen.
  
  
  \(^3\log{81}=2x\)
  We werken uit.
  
  
  \(\frac{^3\log{81}}{2}=x\)
  We delen door 2, want je wil x=... en niet 2x=...
• Stap 6:
  \( \frac{1}{2}\left(^3\log{81}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{ ^{10}\log{81} }{^{10}\log{3}}\right)= \frac{1}{2}(4) = 2 = x \)
  We vullen in

23) De petrischaal
[td][img]http://sciencetalk.nl/forum/moderator/formules%20herschrijven/bacteria.png[/img][/td][td] Bacteriekolonies groeien ongelooflijk snel omdat elke paar minuten de hele groep zich verdubbelt. Er is dus sprake van een exponentiële groei. Je wilt van een kolonie de generatietijd weten (hoe lang het duurt voordat de bacteriën zich weer verdubbeld hebben). Je hebt de formule: [tex]B=B_{0}\cdot 2^{(t/G)}[/tex] Met: [b]B[/b] het aantal bacteriën op tijdstip 't'. (na "t" minuten) [b]B[sub]0[/sub][/b] het aantal bacteriën in het begin van het experiment. [b]t[/b] de tijd (in minuten). [b]G[/b] is de generatietijd (verdubbelingstijd) (in minuten). [/td]
Als je begonnen bent met 20 bacteriën en je er nu na 3 uur zo'n 60 000 hebt, hoe lang duurt het dan voordat de bacteriën zich verdubbelen?

B=60 000, B₀ =20 en t=180 minuten. Wat is dan G?


Antwoord:

Spoiler: [+]

G= 15,6 minuten

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \(B=B_{0}\cdot 2^{(t/G)}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: G=...
• Stap 3: Je moet dan die "keer B₀" kwijt zien te raken aan de rechterkant, en de "keer t" en de "gedeeld door G" uit de macht moeten halen. Tot slot moet je de "t" kwijt zien te raken bij de "G" bij de rechterkant.
• Stap 4: Het omgekeerde van "keer B₀" is "gedeeld door B₀ ", het omgekeerde van "2 tot de macht" is de "2 log". Ze heffen elkaar op net zoals bijvoorbeeld kwadraat en wortel dat doen. Het omgekeerde van "keer t" is "gedeeld door t"
• Stap 5:
  
  \(\frac{B}{B_{0}}=\frac{B_{0}\cdot 2^{(t/G)}}{B_{0}}\)
  We doen aan beide kanten "gedeeld door B₀".
  
  
  \(\frac{B}{B_{0}}=2^{(t/G)}\)
  We werken uit.
  
  
  \(^{2}\log \left(\frac{B}{B_{0}}\right)=^{2}\log \left( 2^{(t/G)}\right)\)
  We doen aan beide kanten de "2 log".
  
  
  \(^{2}\log \left(\frac{B}{B_{0}}\right)=\frac{t}{G}\)
  We werken uit. Merk op dat er
  \( \frac{t}{G}\)
  staat en dat er dus nog niet iets als G=...
  
  
  \(\frac{^{2}\log \left(\frac{B}{B_{0}}\right)}{1}=\frac{t}{G}\)
  We delen het linkerlid door 1 om er een breuk van te maken. Dingen delen door 1 kan altijd. Bedenk maar:
  \(8=\frac{8}{1}\)
  \(\frac{1}{^{2}\log \left(\frac{B}{B_{0}}\right)}=\frac{G}{t}\)
  We draaien de breuken aan beide kanten van de "=" om. Zolang je aan beide kanten hetzelfde doet, mag dat.
  
  
  \(t \cdot \frac{1}{^{2}\log \left(\frac{B}{B_{0}}\right)}=t \cdot \frac{G}{t}\)
  We doen aan beide kanten "keer t".
  
  
  \(\frac{t}{^{2}\log \left(\frac{B}{B_{0}}\right)}=G\)
  We werken uit.
• Stap 6:
  \(\frac{t}{^{2}\log \left(\frac{B}{B_{0}}\right)}=\frac{180}{^{2}\log \left(\frac{60 000}{20}\right)} = \frac{180}{^{2}\log \left(3000\right)}=\frac{180}{ \frac{ ^{10}\log{3000} }{ ^{10}\log{2} } } = \frac{180}{11,5507} = 15,6 = G\)
  We vullen in. Dus om de 15,6 minuten verdubbelen de bacteriën zich en als je begint met 20 bacteriën heb je na 3 uur er ongeveer 60 000.

24: Oefening met sinus en boogsinus.


Net zoals kwadraat en wortel elkaar "opheffen", zo doen sinus en boogsinus dat ook. De boogsinus wordt ook vaak arcsinus of inverse sinus genoemd.


24)

Je hebt de formule:

\( \cos{(A+\sqrt{x})}=B\)

A=3 en B=1/2. Wat is dan x?


Tip: Net zoals dat boogsinus het tegenovergestelde is van sinus, zo is ook boogcosinus het tegenovergestelde van cosinus.


Antwoord:

Spoiler: [+]

x=3.813 (afgerond)

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( \cos{(A+\sqrt{x})}=B\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: x=...
• Stap 3: Je zult dus die x weg moeten halen uit de cosinus, die "plus A" moet naar de andere kant en ook de "wortel" moet weg gehaald worden bij de x.
• Stap 4: Het tegenovergestelde van "cos" is "bgcos", het tegenovergestelde van "keer B" is "gedeeld door B" en het tegenovergestelde van "wortel" is "kwadraat".
• Stap 5:
  
  \(\arccos{(\cos{(A+\sqrt{x}))}}=\arccos(B)\)
  We nemen aan beide kanten de "boogcosinus".
  
  
  \(A+\sqrt{x}=\arccos(B)\)
  We werken uit
  
  
  \(A+\sqrt{x} -A =\arccos(B)-A\)
  We doen aan beide kanten "min A".
  
  
  \(\sqrt{x} =\arccos(B)-A\)
  We werken uit.
  
  
  \((\sqrt{x})^{2} =(\arccos(B)-A)^{2}\)
  We doen aan beide kanten "kwadraat".
  
  
  \(x=(\arccos(B)-A)^{2}\)
  We werken uit.
• Stap 6:
  \((\arccos(B)-A)^{2} = (\arccos\left(\frac{1}{2}\right)-3)^{2} =\left(\frac{\pi}{3}-3\right)^2=x\approx 3.813 \)
  We vullen in

25-26: Oefeningen met eenhedenvergelijkingen.


25) De eenheid van kracht


Je hebt de formule:

\( F=m \cdot a\)

Als m de massa is, en a is versnelling. Wat is dan de eenheid van F?


Antwoord:

Spoiler: [+]

F=kg.m/s² = N[/sup]

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( F=m \cdot a\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: eenheid van F= 'eenheden'
• Stap 3: Je zult dus aan de rechterkant de eenheden moeten invullen.
• Stap 4: De eenheid van massa is kg en de eenheid van versnelling is
  \(\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}\)
• Stap 5:
  
  \(\mbox{eenheid van }F=\mbox{eenheid van }(m \cdot a) = \mbox{kg} \cdot \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}} \)
  We vullen de eenheden in. Dit kan niet meer vereenvoudigd worden, dus we zijn klaar.
• Stap 6:
  \(\mbox{eenheid van }F=\mbox{kg} \cdot \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^{2}}\)
  We vullen in.

Je ziet nu dat de eenheid van kracht is kg·m/s². En dat noemen we in het dagelijks leven de newton.

26) De eenheid van wrijvingskracht


De formule voor hoeveel kracht de luchtweerstand uitoefent is:

\(F =-\frac{1}{2} \rho v^{2} A C_{d}\)

Met:

F de kracht van de luchtwrijving. De eenheid is:

Spoiler: [+]

kg·m·s^-2 (kg·m/s²)

\(\rho \)

is de dichtheid. De eenheid is:

Spoiler: [+]

kg·m^-3 (kg/m³)

v is de snelheid. De eenheid is:

Spoiler: [+]

m·s^-1 (m/s)

Ais een oppervlakte. De eenheid is:

Spoiler: [+]

m²

C_dis een constant getal. De eenheid is:

Spoiler: [+]

een getal heeft geen eenheid dus vul in 1

Het linkerlid laat een kracht zien, als die twee aan elkaar gelijk zijn, moet het rechterlid ook een kracht geven. Laat met eenheden zien dat dat zo is.


Antwoord:

Spoiler: [+]

F=kg.m/s²=N

Uitwerking:

Verborgen inhoud

• Stap 1: De formule is:
  \( F=-\frac{1}{2} \rho v^{2} A C_{d}\)
• Stap 2: Je wilt iets hebben als: F= eenheden
• Stap 3: Je zult dus aan de rechterkant de eenheden moeten invullen.
• Stap 4: De eenheden zijn:
  
  dichtheid: kg/m³
  
  snelheid: m/s
  
  oppervlakte: m²
  
  De constante: heeft geen eenheid ,dus vul in 1
  
  -½: ook een constante, heeft geen eenheid, dus vul in 1
• Stap 5:
  
  \(\mbox{eenheid van }F=\mbox{eenheid van }\left[ \left((-\frac{1}{2}\right) \cdot (\rho) \cdot (v)^{2} \cdot (A) \cdot (C_{d})\right] = (1) \cdot \left(\frac{kg}{ m^{3}}\right) \cdot \left(\frac{m} {s}\right)^{2} \cdot (m^{2}) \cdot (1)\)
  We vullen de eenheden in.
  
  
  \( \left(\frac{kg}{m^{3}}\right) \cdot \left(\frac{m^{2}}{s^{2}}\right) \cdot (m^{2}) \)
  We hebben nu de het kwadraat van de eenheid van v uitgevoerd, (m/s)² = m²/s².
  
  
  \( \frac{kg \cdot m^{2} \cdot m^{2}}{m^{3} \cdot s^{2}} \)
  We gaan alles in een breuk plaatsen, alles wat 'laag' staat komt onder de streep en alles wat 'hoog' staat komt boven de streep.
  
  
  \( \frac{kg \cdot m^{4} }{m^{3} \cdot s^{2}} \)
  nu groeperen, de meters bij de meters, de secondes bij de secondes, enzovoorts. Onthoud: als je machten met elkaar vermenigvuldigt, mag je de exponenten (wat in de macht staat) bij elkaar optellen.
  
  
  \( \frac{kg \cdot m}{s^{2}} \)
  Alles wordt boven en onder met elkaar vermenigvuldigd, dus je mag dingen "tegen elkaar wegstrepen".
• Stap 6:
  \(\mbox{eenheid van }\left[-\frac{1}{2} \rho v^{2} A C_{d}\right]= \frac{kg \cdot m}{s^{2}} = \mbox{eenheid van }F=N\)
  We vullen in

Als je niet zeker weet of 1 kg·m/s² gelijk is aan 1 newton, moet je vraag 25 doen.