Pi met veelhoeken

[Safe]

Prima, alleen nog beter:

\(\pi=n\sin{\frac{180}{n}}\)

Valt je iets op?

[Dominus Temporis]

ja, voeg even lim toe

geldt ook voor tan trouwens

\(\pi = \lim_{n\rightarrow\infty} (n\cdot\tan{\frac{180}{n}})\)

[Safe]

ja, voeg even lim toe

Heel goed!

@ TS.Wat valt je op als de limiet er niet staat?

En ook als deze limiet er wel staat?

[Dominus Temporis]

is het bewijs trouwens hetzelfde voor tan, ipv sin?

klein vraagje over de lim: is de lim van een sinusfunctie gelijk aan zijn evenwichtslijn? of heeft die geen limiet?

[Safe]

klein vraagje over de lim: is de lim van een sinusfunctie gelijk aan zijn evenwichtslijn? of heeft die geen limiet?

Geen idee wat je bedoelt?

[Dominus Temporis]

de evenwichtslijn is de rechte met vergelijking y = constante die de sinusfunctie 'doormidden' 'snijdt' en zo de amplitude kan weergeven; in y = a*sin(b[x-c]) + d is dit y = d.

[Safe]

is het bewijs trouwens hetzelfde voor tan, ipv sin?

Welk bewijs?

klein vraagje over de lim: is de lim van een sinusfunctie gelijk aan zijn evenwichtslijn? of heeft die geen limiet?

Je vraagt dit en dat begrijp ik niet. Ik vraag niet naar de def van de evenwichtslijn?

[Dominus Temporis]

ik zal het eenvoudiger vragen: heeft een sinusfunctie een limiet? of kan dit niet, daar de punten van de limiet werkelijk 'bestaan' op de sinusfunctie?

[aadkr]

Als je in plaats van een ingeschreven veelhoek neemt ,maar een omschreven veelhoek , dan krijg je die formule met die tangens

Om een begin te maken met die afleiding

\(\tan \left( \frac{360}{2n} \right)=\frac{1/2\cdot a}{r} \)

[Dominus Temporis]

Als je in plaats van een ingeschreven veelhoek neemt ,maar een omschreven veelhoek , dan krijg je die formule met die tangens

Om een begin te maken met die afleiding

\(\tan \left( \frac{360}{2n} \right)=\frac{1/2\cdot a}{r} \)

interessant

[eezacque]

Je zou 'ns het gemiddelde van beide benaderingen, dus per ingeschreven en omgeschreven veelhoek, kunnen nemen, voor een strakkere benadering: de een benadert pi van onderen, de ander komt van boven...

[JorisL]

Maar voor grote n zullen beide elkaar benaderen. Dat is makkelijk in te zien ifv de definitie van de tangens.

[eezacque]

Maar voor grote n zullen beide elkaar benaderen. Dat is makkelijk in te zien ifv de definitie van de tangens.

Uiteraard, ik verwacht alleen dat het gemiddelde sneller naar pi convergeert...

[JorisL]

Dan wel ja. Hoewel ik verwacht dat het verschil tussen dat gemiddelde en de gewone sinus (of tangens) voor grote n nauwelijks zal afwijken. (2-maal bijna hetzelfde middelen geeft een erg kleine afwijking).

Edit: Ik heb voor de zekerheid getest in excel. Wat blijkt, het gemiddelde convergeert trager dan de sinus-formule. De reden is doordat de tangens-formule een relatief grotere afwijking geeft dan de sinus.

[JorisL]

Nog een aanpassing, na de berekening van absolute fouten voor sinus en gemiddelde, vindt ik dat het gemiddelde een fout heeft die maar half zo groot is als die van de sinus.