Transponeren

[Dominus Temporis]

Hoi allemaal!

Kan iemand me uitleggen waarom de factoren (matrix A en matrix B) van plaats omruilen wanneer hun product (laat ons dit matrix C noemen) getransponeerd wordt?

In symbolen:

\(A; B; C \in \mathbb{R}^{a\times a}\)

\((A\cdot B)=C\)

\(C^T=(A\cdot B)^T\)

\(C^T=B^T\cdot A^T\)

Bedankt!

-S.

[Drieske]

Als C = AB, heb je dan al gezien dat

\(C_{ij} = \sum_{k = 1}^n A_{ik} B_{kj}\)

? Hier bedoelen we met C_ij het element van de matrix C op plaats (i, j)...

[Dominus Temporis]

ik weet wat je bedoelt (door zelfscholing over het sommatieteken ), maar wij hebben nagenoeg niet echt op school iets gezien over het sommatieteken..

[Drieske]

Okee. Dan bekijken we bovenstaande formule eerst eens voor (2x2)-matrices. De rest (grotere matrices) is analoog qua redenering. Als je 2 matrices vermenigvuldigt, zet je op plaats (1, 1) het resultaat van de eerste rij van A te "vermenigvuldigen" met de eerste kolom van B. Zie je dat terugkomen in bovenstaande formule?

[Dominus Temporis]

ja, dat zie ik.

[Drieske]

Prima. Nu weet je ook dat de transpose van een matrix neerkomt op wat op plaats (i, j) staat nu op plaats (j, i) zetten. Kun je daar wat mee?

PS: ik werk nu toe naar een bewijs. Ik weet niet of dit ook is wat je wilt?

[Dominus Temporis]

\(C_{11}=A_1B_1+A_2B_1\)

dit klopt toch, he? dat ik niet de hele tijd verkeerd bezig zou zijn :/

bedoel je dat als je dan C zou transponeren, er op C11 zou staan: B1A1 + B1A2?

een bewijs zou inderdaad het antwoord op mijn vraag verduidelijken.

(is het trouwens belangrijk te weten wat (de inverse van) een reguliere matrix is? wij hebben dit ook niet gezien..)

[Drieske]

\(C_{11}=A_1B_1+A_2B_1\)

dit klopt toch, he? dat ik niet de hele tijd verkeerd bezig zou zijn :/

Nee, niet volledig.

\(C_{11} = A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21}\)

.

[Dominus Temporis]

Nee, niet volledig.

\(C_{11} = A_{11} B_{11} + A_{12} B_{21}\)

.

ah ja, inderdaad..

[Drieske]

Okee, dan gaan we nu kijken naar de transpose en we zien dat

\((B^T A^T)_{ij} = \sum_{k = 1}^n (A^T)_{ik} (B^T)_{kj}\)

. Maar we weten nu ook nog dat

\((A^T)_{ik} = A_{ki}\)

. Snap je het tot hier?

[Dominus Temporis]

als je uiteindelijk C transponeert, en je maakt het product van de getransponeerde A, en getransponeerde B, dan heb je bewezen dat dit niet hetzelfde is...je hebt dan natuurlijk nog niet bewezen dat dit wel zo is als A en B omgedraaid worden..maar elk bewijs is ergens op gebaseerd..waar zou dit op gebaseerd zijn?

je kan natuurlijk niet zomaar zeggen dat als ze omgedraaid zijn en het komt hetzelfde uit, dat het bewezen is..je moet een 'motief' zijn om dit om te draaien, niet?

aub, verbeter me als ik fout ben,

dat snap ik, trouwens.

[Drieske]

Wat bedoel je met "motief"? Overigens snap ik niet goed wat je bedoelt met

je kan natuurlijk niet zomaar zeggen dat als ze omgedraaid zijn en het komt hetzelfde uit, dat het bewezen is

Natuurlijk is het wél een bewijs als je gelijkheid kunt aantonen voor willekeurige matrices. Dat is net het punt van een bewijs. Of bedoel je misschien iets als "hoe is men op het idee gekomen om het om te draaien?"?

[Dominus Temporis]

dat is inderdaad het 'motief' waar ik het over heb

[Drieske]

Goh, hoe ze ooit op dat idee zijn gekomen, kan ik ook niet echt exact zeggen. Maar ik vermoed dat dat ongeveer zo ging: men nam concrete matrices A en B en men stelde vast dat (AB)^T en A^TB^T meestal niet hetzelfde waren. Dit betekende dat er, hopelijk, een andere gelijkheid was die wel gold. Het ligt een beetje voor de hand om te gaan kijken naar (AB)^T en B^TA^T en te hopen dat het hier wel klopte. Men stelde vast dat alle voorbeelden die men probeerde werkten. Dan is het tijd om aan een bewijs te denken. Lukt dat bewijs niet, geeft het je waarschijnlijk weer een idee welke matrices voor een tegenvoorbeeld kunnen zorgen. Maar zoals we nu ook bezig zijn, het bewijs gaat wel werken dus was het okee. Is dit een beetje een antwoord?

[Dominus Temporis]

dat klinkt logisch, en beantwoordt precies m'n vraag

bedankt