Transponeren

[Drieske]

Graag gedaan . Nu nog het bewijs afmaken, of...?

[Dominus Temporis]

ja, mij goed wil je even uitleggen hoe ik een matrix toevoeg in TeX?

[Dominus Temporis]

Matrix test

\(
A^{n\times m}=\begin{bmatrix}

x_{11} & x_{12} & . & . & . & x_{1m} \\

x_{21} & x_{22} & . & . & . & x_{2m} \\

. & . & . & & & . \\

. & . & & . & & . \\

. & . & & & . & . \\

x_{n1} & x_{n2} & . & . & . & x_{nm}

\end{bmatrix}
\)

fieuw...veel werk voor zo 1 matrixje ik zal proberen de gelijkheid van C^T en (AB)^T = B^TA^T te plaatsen

[Dominus Temporis]

\(
A^{n\times m}=\begin{bmatrix}

x_{11} & x_{12} & . & . & . & x_{1m} \\

x_{21} & x_{22} & . & . & . & x_{2m} \\

. & . & . & & & . \\

. & . & & . & & . \\

. & . & & & . & . \\

x_{n1} & x_{n2} & . & . & . & x_{nm}

\end{bmatrix}

\\

B^{n\times m}=\begin{bmatrix}

y_{11} & y_{12} & . & . & . & y_{1m} \\

y_{21} & y_{22} & . & . & . & y_{2m} \\

. & . & . & & & . \\

. & . & & . & & . \\

. & . & & & . & . \\

y_{n1} & y_{n2} & . & . & . & y_{nm}

\end{bmatrix}

\\

\\

\\

C=A\cdot B=\begin{bmatrix}

x_{11} & x_{12} & . & . & . & x_{1m} \\

x_{21} & x_{22} & . & . & . & x_{2m} \\

. & . & . & & & . \\

. & . & & . & & . \\

. & . & & & . & . \\

x_{n1} & x_{n2} & . & . & . & x_{nm}

\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}

y_{11} & y_{12} & . & . & . & y_{1m} \\

y_{21} & y_{22} & . & . & . & y_{2m} \\

. & . & . & & & . \\

. & . & & . & & . \\

. & . & & & . & . \\

y_{n1} & y_{n2} & . & . & . & y_{nm}

\end{bmatrix}

\\

=\begin{bmatrix}

x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21}+...+x_{1m}y{n1} & . & . & . & x_{n1}y_{11}+x_{n2}y_{21}+...+x_{nn}y_{n1}\\

. & . & & & . \\

. & & . & & . \\

. & & & . & . \\

x_{n1}y_{11}+x_{n2}y{21}+...+x_{nm}y_{n1} & . & . & . & x_{n1}y{1m}+x_{n2}y_{2m}+...+x_{nm}y_{nm}

\end{bmatrix}
\)

Klopt het nog? Zodat ik weet dat ik geen moeite zal verspillen aan het transponeren?

[Drieske]

Die matrices steeds uittypen is wat veel werk hoor. Je probeert het beter op mijn manier van hierboven: bewijs dat de elementen op plaats (i, j) overeenkomen. Vermits dit zo is voor alle i en j, hebben we gelijkheid van matrices, snap je?

[Dominus Temporis]

ok ik zal het morgen eens opschrijven

[Drieske]

Prima. De aanzet tot het bewijs vind je in deze post.

[eezacque]

..//..

Klopt het nog? Zodat ik weet dat ik geen moeite zal verspillen aan het transponeren?

Nee, je kunt A en B alleen vermenigvuldigen als het aantal kolommen van A gelijk is aan het aantal rijen van B...

[Dominus Temporis]

nu ja..daar we toch het bewijs gingen toepassen op a x a matrices, gaan we ervan uit dat n = m, en zodat A te vermenigvuldigen is met B...

[eezacque]

nu ja..daar we toch het bewijs gingen toepassen op a x a matrices, gaan we ervan uit dat n = m, en zodat A te vermenigvuldigen is met B...

Ik daag je uit het bewijs te geven voor willekeurige matrices, waarvoor vermenigvuldiging gedefinieerd is...

[Drieske]

Ik daag je uit het bewijs te geven voor willekeurige matrices, waarvoor vermenigvuldiging gedefinieerd is...

@Stekelbaarske: Eens het bewijs is gegeven op mijn manier heb je het voor algemene matrices hoor. Zie je dat?

[Dominus Temporis]

@Stekelbaarske: Eens het bewijs is gegeven op mijn manier heb je het voor algemene matrices hoor. Zie je dat?

het lukt me niet om een begin te krijgen voor het bewijs..kun je helpen?

[Drieske]

Uiteraard . We hadden dus:

\((B^T A^T)_{ij} = \sum_{k = 1}^n (A^T)_{ik} (B^T)_{kj}\)

en

\((A^T)_{ik} = A_{ki}\)

. Dus krijgen we

\((B^T A^T)_{ij} = \sum_{k = 1}^n (A^T)_{ik} (B^T)_{kj} = \sum_{k = 1}^n A_{ki} B_{jk}\)

. Maar nu zijn

\(A_{ki}, B_{kj}\)

gewoon getallen. Het zijn geen matrices meer ofzo. Dus geldt er

\(A_{ki}B_{jk} = B_{jk} A_{ki}\)

. En dus

\((B^T A^T)_{ij} = \sum_{k = 1}^n (A^T)_{ik} (B^T)_{kj} = \sum_{k = 1}^n A_{ki} B_{jk} = \sum_{k = 1}^n B_{jk}A_{ki}\)

. Zie je het nu al?

[Dominus Temporis]

fieuw, tis wel even nadenken he, met die sommaties

[Drieske]

Dat snap ik. Het enige wat ik gebruik is eigenlijk die sommatie die we in het begin hebben proberen te begrijpen. Degene die zegt dat op plaats (i, j) het product van rij i met kolom j staat. Daarna verwissel ik gewoon wat zaken binnen de sommatie van plaats.