Hier komt ie...
Volgens de factorisatiestelling van Weierstrass kunnen gehele functies weergegeven worden door een oneindig product, waarin hun (complexe) nulpunten een rol spelen (met het Hadamard product van de non-triviale nulpunten van
\(\zeta(s)\)
als één van de bekendste).Ben begonnen met het omdraaien van de stelling en met het construeren van oneindige producten van "gefabriceerde" complexe nulpunten om te zien of er onder bepaalde condities een gehele functie uit afgeleid zou kunnen worden:
Dat lukte aardig. Neem dit oneindige product als uitgangspunt:
\(
\displaystyle \prod_{n=1}^\infty \left(1- \frac{s}{\mu} \right) \left(1- \frac{s}{1-\mu} \right)\)
en dan allereerst \displaystyle \prod_{n=1}^\infty \left(1- \frac{s}{\mu} \right) \left(1- \frac{s}{1-\mu} \right)\)
\(\mu = a + n x i\)
en \(a,x \in \mathbb{R}, s \in \mathbb{C}\)
Ik vond al snel de volgende gesloten formule die (volgens mij) geldt voor alle waarden van s, a en x (behalve wanneer x=0):\(\displaystyle F(s,a,x) := \frac{\left( a^2-a \right)} {\left( a^2-a+s-s^2 \right)}\dfrac{\Gamma \left( {\frac {-ia}{x}} \right) \Gamma \left( {\frac {-i \left( a-1 \right) }{x}} \right)}{\Gamma \left( {\frac {-i \left( a-s \right) }{x}} \right) \Gamma \left( {\frac {-i \left( a+s-1 \right) }{x}} \right)}\)
en die voor \(a=\frac12\)
verder gereduceerd kan worden tot:\(\displaystyle F(s,\frac12,x) := \dfrac{1}{(2s-1)} \dfrac{\sinh \left( {\frac { \left( 2s-1 \right) \pi }{2x}} \right)} { \sinh \left({\frac {\pi }{2x}} \right)}
\)
Aangemoedigd door dit resultaat nam ik vervolgens:\)
\(\mu = a + \Im(\rho_n) x i\)
en \(a,x \in \mathbb{R}, s \in \mathbb{C}\)
waarbij \(\rho_n\)
een non-triviaal nulpunt van \( \zeta(s)\)
is. Met andere woorden: i.p.v. van door de integers \(n=1..\infty\)
te lopen, doorloop ik nu de imaginaire waardes van de non-triviale nulpunten \(\rho\)
.Het Hadamard product is reeds bekend:
\(\displaystyle \prod_\rho \left(1- \frac{s}{\rho} \right) \left(1- \frac{s}{1-\rho} \right) = \dfrac{2(s-1)\Gamma(1+\frac{s}{2}){\zeta(s)}}{ \pi^{\frac{s}{2}}}\)
en aannemende dat de RH waar is, dus alle \(\Re(\rho_n) =\frac12\)
, dan geldt ook (gevonden met hulp van een wiskundige op een ander forum):\(
\displaystyle H(s,\frac12,x) := \frac{x^2-4(s-\frac12)^2}{x^2-1}\pi^{-s/2x}\frac{\Gamma(\frac{1}{4}-\frac{1}{4x}+\frac{s}{2x})}{\Gamma(\frac14-\frac{1}{4x})}\frac{\zeta(\frac12+\frac{s}{x}-\frac{1}{2x})}{\zeta(\frac12-\frac{1}{2x})}\)
Hiermee kan ik al de dichtheid van de non-triviale nulpunten over de verticale as (via x) naar willekeur regelen, maar waar ik naar toe zou willen is een gesloten formule \displaystyle H(s,\frac12,x) := \frac{x^2-4(s-\frac12)^2}{x^2-1}\pi^{-s/2x}\frac{\Gamma(\frac{1}{4}-\frac{1}{4x}+\frac{s}{2x})}{\Gamma(\frac14-\frac{1}{4x})}\frac{\zeta(\frac12+\frac{s}{x}-\frac{1}{2x})}{\zeta(\frac12-\frac{1}{2x})}\)
\(H(s,a,x)\)
waarmee ik (via a) de nulpunten ook horizontaal kan verschuiven en waarbij het bovengenoemde Hadamard product dan hopelijk precies gelijk blijkt te zijn aan de gereduceerde vorm \(H(s,\frac12,1)\)
...Zo'n formule is helaas niet bekend, maar toch ik heb het vermoeden dat hij zou kunnen bestaan (dit echter puur o.b.v. van een gevoel voor symmetrie. Een gesloten vorm bestaat voor
\(F(s,a,x)\)
, dus waarom niet voor \(H(s,a,x)\)
?).In ieder geval weet ik dat als zo'n functie bestaat, deze moet voldoen aan de volgende voorwaarden:
- \(H(0,a,x) =1, H(1,a,x)=1\),\(H(\frac12,a,x)\)is het minimum van de functie.
- \(H(s,a,x) = H(1-s,a,x)\).
- \(H(s,a,x) = \overline{H(s,1-a,x)}\).
- \(H(s,a,x)\)moet reduceren tot de bovenstaande functies voor\( H(s,\frac12,x)\)en\(H(s,\frac12,1)\).
- De functie moet 'geheel' zijn (dus alle polen moeten keurig door nulpunten geannihileerd worden).
- De "bron" voor de nulpunten is de \(\zeta(s)\)en (aannemende dat de RH waar is) zal er een component in moeten zitten a la:\(\zeta(\frac12 + s - a)\)(dus zodra\(\Re(s) = a\)dan wordt\(\Re(s)\)in\(\zeta\)vervangen door\(\frac12\)).
