Wortel 4

[Xenion]

Ja ik ben bekend met complexe getallen

Maar hoe kan i² -1 zijn? want een kwadraat is altijd positief...

Deze posts spreken elkaar tegen. i² = -1 is de basis van heel het complexe systeem...

[perdarx]

Als je bekend bent met complexe getallen weet je toch dat i² = -1?

Zie ook de opmerking van Evilbro.

Ja maar de vraag is waarom dat zo is

[Drieske]

Euhm, dat is gewoon definitie... Je definieert i als (een van de twee) oplossing(en) van de vergelijking x² = -1. De andere oplossing is dan -i. Of: je definieert i met de eigenschap dat i² = -1.

[perdarx]

Dat is duidelijk. Maar eigenlijk is dit dus gebaseerd op namen die gewoon door een random persoon zijn gedefinieerd ?

Als je bijvoorbeeld kijkt naar π. Die heeft ook een definitie van 3.1415926535897323846264338327950288419716939935710..... maar dat is gebaseerd op hoeveel keer een cirkel zijn eigen diameter nodig heeft om de omtrek te krijgen.

Voor zover ik weet is i gewoon een trucje om eigenlijk onmogelijke berekeningen uit te voeren door die eerst te gebruiken en daarna weer weg te werken net zoals je in een berekening soms alles x2 doet zodat je de getallen makkelijker kan vereenvoudigen of i.e.d.

Is de i daar ook voor bedoeld?

[Drieske]

Als je bedoeld dat de letter random is: ja en nee. Ja omdat je evengoed een andere letter mag kiezen (bijv. de letter j wordt soms ook wel gebruikt). Nee omdat hij gekozen is voor zijn verwijzing naar "imaginair". Maar de definitie van i is wel ondubbelzinnig, net zoals deze van het getal pi. Hier is i gedefinieerd als i² = -1.

Waarom men dit heeft uitgevonden, is onder meer inderdaad voor het oplossen van (veelterm)vergelijkingen die daarvoor geen oplossingen hadden, of minder oplossingen dan de graad van de veelterm. Kijk eventueel ook eens hier.

[perdarx]

Nee omdat hij gekozen is voor zijn verwijzing naar "imaginair". Maar de definitie van i is wel ondubbelzinnig, net zoals deze van het getal pi. Hier is i gedefinieerd als i² = -1.

Maar pi heeft een duidelijke (geometrische) verklaring en 'afkomst' en voor zover ik weet i niet

[perdarx]

Maar is er iemand die mij het bewijs kan geven/uitleggen/laten zien dat wortel 4 gelijk is aan -2?

[Drieske]

Zo'n bewijs is er niet. Zoals op de vorige pagina staat: de wortel uit een (positief) getal is steeds positief per definitie. Wat wel zo is, is dat x² = 4 twee oplossingen heeft (2 en -2).

[mathfreak]

Maar pi heeft een duidelijke (geometrische) verklaring en 'afkomst' en voor zover ik weet i niet

In dat geval even een beetje geschiedenis: in de 16e eeuw slaagde men er in Italië in om de algemene oplossing voor een derdegraadsvergelijking te vinden. Daarbij kwam nog wel eens een uitdrukking voor waarbij de wortel uit een negatief getal gebruikt werd. Men noemde zo'n uitdrukking een imaginair getal. Het was de 18e-eeuwse wiskundige Leonhard Euler die voor de wortel uit -1 het symbool i introduceerde. We definiëren i inmiddels als een niet-reëel getal met de eigenschap dat i² = -1, waarbij we i de imaginaire eenheid noemen.

[perdarx]

Zo'n bewijs is er niet. Zoals op de vorige pagina staat: de wortel uit een (positief) getal is steeds positief per definitie. Wat wel zo is, is dat x² = 4 twee oplossingen heeft (2 en -2).

Ja klopt dat had ik zelf ook uitgevonden

Maar dat is toch nog steeds geen bewijs dat wortel 4 gelijk is aan -2?

In dat geval even een beetje geschiedenis: in de 16e eeuw slaagde men er in Italië in om de algemene oplossing voor een derdegraadsvergelijking te vinden. Daarbij kwam nog wel eens een uitdrukking voor waarbij de wortel uit een negatief getal gebruikt werd. Men noemde zo'n uitdrukking een imaginair getal. Het was de 18e-eeuwse wiskundige Leonhard Euler die voor de wortel uit -1 het symbool i introduceerde. We definiëren i inmiddels als een niet-reëel getal met de eigenschap dat i² = -1, waarbij we i de imaginaire eenheid noemen.

Aha, dat is duidelijk en zoals ik al dacht is het dus bedacht door een paar wiskundigen. Dankjewel

[Drieske]

Maar dat is toch nog steeds geen bewijs dat wortel 4 gelijk is aan -2?

Ik zeg toch: dat kun je niet bewijzen want dat is niet zo. Plot op je GRM maar eens de functie

\(f(x) = \sqrt{x}\)

.

[perdarx]

Ik zeg toch: dat kun je niet bewijzen want dat is niet zo. Plot op je GRM maar eens de functie

\(f(x) = \sqrt{x}\)

.

Ja precies.. dat was mijn probleem ook... Als je hem plot komt het getal nooit onder 0 logisch want een wortel is positief. Alleen wat ik vreemd vindt, is:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

\([/color]

f(x) = \sqrt{x}

[color=#aa0000]\)

[/color]Handleiding werken met LaTeX

[url=javascript:toonOfVerberg(]sluiten[/url]

(x²)^0.5= x

Maar bij x<0 geldt hier:

(x²)^0.5= -x

[Xenion]

Nee dat slaat nergens op.

Stel dat x = -2.

x² = (-2)*(-2) = 4

Stel dat x = +2

x² = (+2)*(+2) = 4

\(\sqrt{4} = ?\)

Als je enkel 4 als 'informatie' krijgt dan kan je op geen enkele manier te weten komen of x nu 2 of -2 was. Het is de gewoonte om steeds de positieve wortel te nemen. Als de negatieve nodig is dan moet je een minteken voor het wortelteken plaatsen.

\(\sqrt{4} = 2\)

Het is anders in de context van het oplossen van een vergelijking.

Als ik je vraag om volgende vergelijking op te lossen naar x: x² = 4

dan moet jij als antwoord geven dat er twee oplossingen zijn, namelijk x=2 en x=-2.

[perdarx]

Nee dat slaat nergens op.

Stel dat x = -2.

x² = (-2)*(-2) = 4

Stel dat x = +2

x² = (+2)*(+2) = 4

\(\sqrt{4} = ?\)

Als je enkel 4 als 'informatie' krijgt dan kan je op geen enkele manier te weten komen of x nu 2 of -2 was. Het is de gewoonte om steeds de positieve wortel te nemen. Als de negatieve nodig is dan moet je een minteken voor het wortelteken plaatsen.

\(\sqrt{4} = 2\)

Maar de oplossing van

\(\sqrt{4}\)

is 2 en -2 volgens jou?

[Xenion]

Nee