Overerving van topologische ruimten

[Siron]

hallo,

Hoe kan ik nagaan of

\(T_1\)

en

\(T_0\)

, samenhang, wegsamenhang en locale samenhang overerft op quotienten.

En hoe zit het bij overerving op initiale en finale topologie?

Volstaat het dan om te bewijzen dat het overerft bij continue afbeeldingen?

[Drieske]

Begin eens met (lokale, weg) samenhang. Dat zou een relatief makkelijke moeten zijn.

Wat T1 betreft: dit zal niet altijd waar zijn. Vind wanneer het wel waar is en je hebt de weg naar een voorbeeld . Hint: je equivalentieklassen moeten open/gesloten zijn (schrap wat niet past ) opdat het waar is.

En dan T0 nog: ook niet waar. Hint: doe iets met R en Q.

[Siron]

Begin eens met (lokale, weg) samenhang. Dat zou een relatief makkelijke moeten zijn.

Wat T1 betreft: dit zal niet altijd waar zijn. Vind wanneer het wel waar is en je hebt de weg naar een voorbeeld . Hint: je equivalentieklassen moeten open/gesloten zijn (schrap wat niet past ) opdat het waar is.

En dan T0 nog: ook niet waar. Hint: doe iets met R en Q.

Maar hoe bewijs ik het in het algemeen dan voor wegsamenhang, lokale samenhang en samenhang? Ik weet wel dat samenhang bewaard blijft onder continue surjecties en dus zou ik denken dat die ook overgaat op quotientvorming, maar voor lokale en weg niet echt meteen een idee.

Zou je het kunnen zeggen? (Ik heb nogal weinig tijd )

[Drieske]

Ruwe schets dan : neem twee punten in je quotient. Kijk nu naar het invers beeld. Neem hier een pad. Neem nu het beeld van dat pad. Zie in (door continuïteit) dat dit je een pad geeft.

Lokaal: ken je volgende "een ruimte X is lokaal samenhangend asa alle componenten van open verzamelingen zijn open in X"?

En ben je iets met mijn hints voor T0 en T1?

[Siron]

Ruwe schets dan : neem twee punten in je quotient. Kijk nu naar het invers beeld. Neem hier een pad. Neem nu het beeld van dat pad. Zie in (door continuïteit) dat dit je een pad geeft.

Lokaal: ken je volgende "een ruimte X is lokaal samenhangend asa alle componenten van open verzamelingen zijn open in X"?

En ben je iets met mijn hints voor T0 en T1?

Voor lokaal samenhangend die bewering ken ik inderdaad, het probleem is dat we de samenhangscomponenten in mijn cursus niet gedefinieerd wordt aan de hand van een equivalentierelatie.

Voor

\(T_1\)

denk ik dat ik het weet, in mijn cursus staat een voorbeeld van het feit dat Hausdorff eigenschap niet wordt overgeerfd door quotienten door een homeomorfisme met Sierpinski ruimte te maken, maar de Sierpinski ruimte is noch Hausdorff noch

\(T_1\)

dus dat is in orde.

En voor

\(T_0\)

, hmm ik zie niet direct een interessante equivalentierelatie.

EDIT: ik kan wel een continue surjectie vinden tussen die

\(T_0\)

niet bewaard. Is dat voldoende?

[Drieske]

Gebruik volgende equivalentie: x ~ y asa x-y in Q. Bewering: denige opens in de quotient topology zijn de triviale opens. Neem een open O in X/~, en zij q de afbeelding die x afbeeldt op [x] (de equivalentieklasse). Nu is q^-1(O) open in R en bevat dus een interval, zeg I. Zij x nu willekeurig in R. Dan bestaan er een q in Q en een y in I zodat x = y+q. Dus x zit in [y] en dus q(x) = q(y). Kun je het afmaken?

Dat je die karakterisatie kent, helpt . Zij O een open omgeving van een punt y in Y en C(y) de component van y in O. We willen dat C(Y) open is of dus C := f^-1[C(y)] is open. Enig idee hoe verder te gaan?

[Siron]

Gebruik volgende equivalentie: x ~ y asa x-y in Q. Bewering: denige opens in de quotient topology zijn de triviale opens. Neem een open O in X/~, en zij q de afbeelding die x afbeeldt op [x] (de equivalentieklasse). Nu is q^-1(O) open in R en bevat dus een interval, zeg I. Zij x nu willekeurig in R. Dan bestaan er een q in Q en een y in I zodat x = y+q. Dus x zit in [y] en dus q(x) = q(y). Kun je het afmaken?

Dat je die karakterisatie kent, helpt . Zij O een open omgeving van een punt y in Y en C(y) de component van y in O. We willen dat C(Y) open is of dus C := f^-1[C(y)] is open. Enig idee hoe verder te gaan?

Ik ben niet erg goed met die samenhangscomponenten, omdat die nogal vaag uitgelegd zijn in m'n cursus.

Maar de conclusie is allesinds dat wegsamenhang, samenhang en lokale samenhang bewaart moet blijven bij quotienten?

[Drieske]

Ja. Maar wat begrijp je niet aan bovenstaande? Of bedoel je dat je niet weet hoe verder te gaan met het bewijs? Kun je het voorbeeld afmaken?

[Siron]

Ik weet niet echt hoe ik verder moet nee

[Drieske]

Dat voorbeeld is toch quasi af? Er volgt nu dat q(x) in O zit. De willekeurigheid van x geeft je nu de bewering. Akkoord?

Dan nu het lokaal : zij x een punt in C, dan bestaat er een open O_x zodat deze x bevat en en zodat O_xeen deel is van f^{-1}(O). Als beeld van een samenhangende is f(O_x) samenhangend en "snijdt" C[y] in f(x). Nu is C[y] unie f(O_x) samenhangend en deel van O. Maar we weten dat C[y] een component is van O, dus moet dan wel gelden dat C[y] unie f(O_x) gelijk is aan C[y], of f(O_x) is een deel van C[y]. Dit zegt ons dat (door inverse beelden te nemen) O_x een deel is van C en dus is x een inwendig punt van C.

We zien nu dat alle punten inwendige punten zijn en C is open. Dus C[y] is open en Y is lokaal samenhangend daar alle componenten van open verzamelingen open zijn.