Stel gegeven
\(X=[0,1] \times [0,1]\)
met de euclidische topologie. Als we op deze ruimten volgende equivalentierelatie zetten \((x,y) \sim (x',y')\)
als en slechts als één van de volgende voorwaarden voldaan zijn:1.
\((x,y)=(x',y')\)
2. \(\{x,x'\}=\{0,1\} \ \mbox{en} \ y=y'\)
3. \(\{y,y'\}=\{0,1\} \mbox{en} \ x=x'\)
4. \(\{x,x',y,y'\}\subseteq \{0,1\}\)
Dan bestaat er een homeomorfisme tussen \(X/\sim\)
en de eenheidscirkel \(S^{1}\)
met de euclidische topologie. Bestaat er een homeomorfisme tussen \(S^{1}\)
en \(S^{1} \times S^{1}\)
?Ik ben eerst eens gaan kijken naar hoe de quotientverzameling eruit ziet. Het blijkt dat de equivalentieklasse van de bijzondere punten
\((0,0),(1,0),(0,1)\)
en \((1,1)\)
gelijk zijn aan elkaar, dus stel deze equivalentieklasse voor door \(m\)
. Voor elk ander willekeurig punt uit \(X\)
van de vorm \((a,b)\)
waarbij \((a,b)\)
alle punten zijn verschillend van de 4 die ik hierboven heb gegeven geldt dat ze in hun equivalentieklasse slechts 1 element hebben, nl. zichzelf.Dus
\(X/\sim =\{m,(x,y)|(x,y) \in [0,1] \times [0,1] \ \mbox{en} \ (x,y)\neq (0,0)\neq (1,0) \neq (0,1) \neq (1,1)\}\)
Hoe ik het nu bezie is dat we eigenlijk de 4 hoekpunten (die 'bijzondere' punten) van het vierkant naar 1 punt hebben toegeknepen d.m.v equivalentierelatie naar 1 punt, dus ik vermoed dat \(m\)
het middelpunt wordt en de anderen gewoon de punten van de cirkel. Ik vraag me echter af hoe ik een functie opstel tussen beide ruimten?Bvd!
. Heb je nu een idee van de bewering (is dat overigens een vraag "bestaat er zo'n homeo" of is het een feit dat deze bestaat?)? Hiervoor is het handig om je eens voor te stellen wat je ruimte nu juist is uiteraard.